Введение
Дискретная группа преобразований Мёбиуса
В математике, группа Клейна — это дискретная подгруппа группы изометрий, сохраняющих ориентацию, гиперболического 3-мерного пространства H^(3). Последнее, отождествляемое с PSL(2, ℂ), является фактор-группой группы 2x2 комплексных матриц с детерминантом 1 по своему центру, состоящему из единичной матрицы и её произведения на -1. PSL(2, ℂ) имеет естественное представление как преобразования, сохраняющие ориентацию и конформность, сферы Римана, а также как преобразования, сохраняющие ориентацию и конформность, открытого единичного шара B^(3) в ℝ^(3). Группа преобразований Мёбиуса также связана как группа изометрий, не сохраняющих ориентацию, пространства H^(3), PGL(2, ℂ). Таким образом, группу Клейна можно рассматривать как дискретную подгруппу, действующую на одном из этих пространств.
История
Теория общих клейнианских групп была основана и , которые назвали их в честь Феликса Клейна. Частный случай групп Шоттки был изучен за несколько лет до этого, в 1877 году, Шоттки.
Определения
Одно из современных определений группы Клейнина — это группа, действующая на 3-шар как дискретная группа гиперболических изометрий. Гиперболическое 3-пространство имеет естественную границу; в модели шара она может быть отождествлена с 2-сферой. Мы называем её сферой в бесконечности и обозначаем её ∞. Гиперболическая изометрия продолжается до конформного гомеоморфизма сферы в бесконечности (и наоборот, каждый конформный гомеоморфизм на сфере в бесконечности единственным образом продолжается до гиперболической изометрии на шаре посредством расширения Пуанкаре). Стандартный результат комплексного анализа заключается в том, что конформные гомеоморфизмы на сфере Римана — это именно преобразования Мёбиуса, которые, в свою очередь, могут быть отождествлены с элементами проективной линейной группы PGL(2, ℂ). Таким образом, группу Клейнина также можно определить как подгруппу Γ группы PGL(2, ℂ). Классически требовалось, чтобы группа Клейнина действовала корректно разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но в современной практике допускается любая дискретная подгруппа. Если Γ изоморфна фундаментальной группе гиперболического 3-многообразия, то фактор-пространство H³/Γ становится моделью Клейнина этого многообразия. Многие авторы используют термины «модель Клейнина» и «группа Клейнина» как взаимозаменяемые, считая одно синонимом другого. Дискретность подразумевает, что точки во внутренней области гиперболического 3-пространства имеют конечные стабилизаторы и дискретные орбиты относительно группы Γ. С другой стороны, орбита Γp точки p обычно будет стремиться к границе замкнутого шара. Множество предельных точек Γp в ∞ называется предельным множеством Γ и обычно обозначается ∂Γ. Дополнение ∂Γ называется областью разрывности, обычной областью или регулярной областью. Теорема о конечности Ахлфорса утверждает, что если группа конечно порождена, то ∂Γ является орбисферой Римана конечного типа. Единичный шар B³ с его конформной структурой является моделью Пуанкаре гиперболического 3-пространства. Если рассматривать его метрически, с метрикой
The set of accumulation points of Γp in is called the limit set of Γ, and usually denoted The complement is called the domain of discontinuity or the ordinary set or the regular set. Ahlfors' finiteness theorem implies that if the group is finitely generated then is a Riemann surface orbifold of finite type. The unit ball B3 with its conformal structure is the Poincaré model of hyperbolic 3 space. When we think of it metrically, with metric
it is a model of 3 dimensional hyperbolic space H3. The set of conformal self maps of B3 becomes the set of isometries (i. e. distance preserving maps) of H3 under this identification. Such maps restrict to conformal self maps of , which are Möbius transformations. There are isomorphisms
The subgroups of these groups consisting of orientation preserving transformations are all isomorphic to the projective matrix group: PSL(2,C) via the usual identification of the unit sphere with the complex projective line P1(C).
ds² = 4(dx² + dy² + dz²)/(1 - x² - y² - z²),
The set of accumulation points of Γp in is called the limit set of Γ, and usually denoted The complement is called the domain of discontinuity or the ordinary set or the regular set. Ahlfors' finiteness theorem implies that if the group is finitely generated then is a Riemann surface orbifold of finite type. The unit ball B3 with its conformal structure is the Poincaré model of hyperbolic 3 space. When we think of it metrically, with metric
it is a model of 3 dimensional hyperbolic space H3. The set of conformal self maps of B3 becomes the set of isometries (i. e. distance preserving maps) of H3 under this identification. Such maps restrict to conformal self maps of , which are Möbius transformations. There are isomorphisms
The subgroups of these groups consisting of orientation preserving transformations are all isomorphic to the projective matrix group: PSL(2,C) via the usual identification of the unit sphere with the complex projective line P1(C).
то он является моделью 3-мерного гиперболического пространства H³. Множество конформных самоотображений B³ становится множеством изометрий (т. е. отображений, сохраняющих расстояние) H³ при этой идентификации. Такие отображения ограничиваются конформными самоотображениями ∞, которые являются преобразованиями Мёбиуса. Существуют изоморфизмы:
The set of accumulation points of Γp in is called the limit set of Γ, and usually denoted The complement is called the domain of discontinuity or the ordinary set or the regular set. Ahlfors' finiteness theorem implies that if the group is finitely generated then is a Riemann surface orbifold of finite type. The unit ball B3 with its conformal structure is the Poincaré model of hyperbolic 3 space. When we think of it metrically, with metric
it is a model of 3 dimensional hyperbolic space H3. The set of conformal self maps of B3 becomes the set of isometries (i. e. distance preserving maps) of H3 under this identification. Such maps restrict to conformal self maps of , which are Möbius transformations. There are isomorphisms
The subgroups of these groups consisting of orientation preserving transformations are all isomorphic to the projective matrix group: PSL(2,C) via the usual identification of the unit sphere with the complex projective line P1(C).
Подгруппы этих групп, состоящие из ориентационно-сохраняющих преобразований, все изоморфны проективной матричной группе: PSL(2, ℂ) посредством обычной идентификации единичной сферы со сложной проективной прямой P¹(ℂ).
The set of accumulation points of Γp in is called the limit set of Γ, and usually denoted The complement is called the domain of discontinuity or the ordinary set or the regular set. Ahlfors' finiteness theorem implies that if the group is finitely generated then is a Riemann surface orbifold of finite type. The unit ball B3 with its conformal structure is the Poincaré model of hyperbolic 3 space. When we think of it metrically, with metric
it is a model of 3 dimensional hyperbolic space H3. The set of conformal self maps of B3 becomes the set of isometries (i. e. distance preserving maps) of H3 under this identification. Such maps restrict to conformal self maps of , which are Möbius transformations. There are isomorphisms
The subgroups of these groups consisting of orientation preserving transformations are all isomorphic to the projective matrix group: PSL(2,C) via the usual identification of the unit sphere with the complex projective line P1(C).
Типы
Группа Клейна называется группой конечного типа, если область ее прерывности имеет конечное число орбит компонент относительно действия группы, а фактор каждого компонента по его стабилизатору является компактной поверхностью Римана с конечно удаленными точками, и покрытие ветвится в конечном числе точек. Группа Клейна называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих. Теорема Альфорса о конечности утверждает, что такая группа является группой конечного типа. Группа Клейнина Γ имеет конечный кообъем, если H3/Γ имеет конечный объем. Любая группа Клейнина с конечным кообъемом конечно порождена. Группа Клейна называется геометрически конечной, если она имеет фундаментальный многогранник (в гиперболическом 3-пространстве) с конечным числом граней. Альфорс показал, что если предельное множество не является всей сферой Римана, то оно имеет меру 0. Группа Клейнина Γ называется арифметической, если она соизмерима с группой элементов нормы 1 порядка кватернионной алгебры A, разветвленной во всех вещественных местах над числовым полем k, имеющим ровно одно комплексное место. Арифметические группы Клейнина имеют конечный кообъем. Группа Клейнина Γ называется кокомпактной, если H3/Γ компактна, или, эквивалентно, SL(2, C)/Γ компактна. Кокомпактные группы Клейнина имеют конечный кообъем. Группа Клейна называется топологически умеренной, если она конечно порождена и ее гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренней части компактного многообразия с границей. Группа Клейна называется геометрически умеренной, если ее концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены. Группу Клейна называют группой типа 1, если ее предельное множество является всей сферой Римана, и группой типа 2 в противном случае.
Группы Бьянки
Группа Бьянки — это клеинова группа вида PSL(2, Od), где O<sub>d</sub> — кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля при d, являющемся положительным целым числом, свободным от квадратов.
Элементарные и редуцируемые группы Клейнина
Группа Клейнина называется элементарной, если её предельное множество конечно, в этом случае предельное множество содержит 0, 1 или 2 точки. Примеры элементарных клейнианских групп включают конечные клейнианские группы (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические клейнианские группы. Группа Клейнина называется редуцируемой, если все её элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Редуцируемые клейнианские группы являются элементарными, но некоторые элементарные конечные клейнианские группы не являются редуцируемыми.
Группы Фукса
Любая группа Фукса (дискретная подгруппа PSL(2, R)) является группой Клейна, и наоборот, любая группа Клейна, сохраняющая вещественную прямую (при своем действии на сфере Римана), является группой Фукса. В более общем случае, любая группа Клейна, сохраняющая окружность или прямую линию на сфере Римана, сопряжена с группой Фукса.
Квази-фуксианские группы
Группа Клейнина, сохраняющая кривую Жордана, называется квазифуксианской группой. Если кривая Жордана является окружностью или прямой линией, то такие группы сопряжены группам Фукса посредством конформных преобразований. Конечно порожденные квазифуксианские группы сопряжены группам Фукса посредством квазиконформных преобразований. Предельное множество содержится в инвариантной кривой Жордана, и если оно совпадает с кривой Жордана, то группа называется группой первого рода, иначе – группой второго рода.
Группы Шоттки
Пусть $C_i$ — граничные окружности конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, порожденная инверсией относительно каждой окружности, имеет предельное множество, являющееся множеством Кантора, а факторпространство $H^3/G$ представляет собой зеркальную орбифолду с базовым пространством в виде шара. Она двукратно накрывается корпусом (handlebody); соответствующая подгруппа индекса 2 является группой Клейна, называемой группой Шоттки.
Кристаллографические группы
Пусть T — периодическая тесселяция гиперболического 3-мерного пространства. Группа симметрий тесселяции является группой Клейна.
Фундаментальные группы гиперболических 3-многообразий
Фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического 3-многообразия является группой Клейнина. Существует множество примеров таких групп, как, например, дополнение к фигуре восьмерки или пространство Зейферта — Вебера. Обратно, если группа Клейнина не содержит нетривиальных элементов кручения, то она является фундаментальной группой гиперболического 3-многообразия.
Дегенерирующие группы Клейнина
Группа Клейнина называется вырожденной, если она не является элементарной и ее предельный набор просто связан. Такие группы можно построить, взяв подходящий предел квазифуксианских групп, при котором один из двух компонентов регулярных точек стремится к пустому множеству; эти группы называются одинарно вырожденными. Если оба компонента регулярного множества стремятся к пустому множеству, то предельный набор становится кривой, заполняющей пространство, и группа называется дважды вырожденной. Существование вырожденных групп Клейнина впервые было показано косвенно , а первый явный пример был найден Йоргенсеном. привел примеры дважды вырожденных групп и пространственно заполняющих кривых, связанных с псевдо-Аносовскими отображениями.