Кіріспе

Математикалық термин
Математикада, жергілікті жиынтық топологиялық топ G, егер тривиальды өкілдік, Фелл топологиясымен жабдықталған унитарлық дуалындағы оқшауланған нүкте болса, (T) қасиетіне ие. Бұл, бейресми түрде, G егер бірлікпен Гилберт кеңістігінде әрекет етсе және "жартылай инвариантты векторлары" болса, онда оның нөлден өзгеше инвариантты векторы болады дегенді білдіреді. Дэвид Каждан (1967 ж.) енгізген формальды анықтама, осыған нақты, сандық мағына береді. Бастапқыда ирредукцияланбайтын өкілдіктер тұрғысынан анықталғанмен, (T) қасиетін унитарлық дуаль туралы білім аз немесе жоқ болған кезде де тексеруге болады. (T) қасиеті топтық өкілдік теориясы, алгебралық топтардағы жергілікті өрістердегі торлар, эргодикалық теория, геометриялық топ теориясы, кеңейткіштер, операторлық алгебралар және желілер теориясы салаларында маңызды қолданысқа ие.

Анықтамалар

G σ-тығыз, жергілікті тығыз топологиялық топ және π : G → U(H) – G-нің (кешенді) Гилберт кеңістігіндегі бірлік өкілдігі болсын. Егер ε > 0 және K – G-нің тығыз кіші жиыны болса, онда H-дегі бірлік вектор ξ (ε, K) инвариантты вектор деп аталады, егер

G-дегі келесі шарттардың бәрі G-нің Кажданның (T) қасиетіне эквивалентті, және олардың кез келгенін (T) қасиетінің анықтамасы ретінде пайдалануға болады. (1) Тривиальды өкілдік – Фелл топологиясымен жабдықталған G-нің бірлік дуалының оқшауланған нүктесі. (2) G-дегі кез келген үздіксіз, оң анықталған функциялар тізбегі, тығыз кіші жиындарда біркелкі түрде 1-ге жақынсаса, G-де біркелкі түрде 1-ге жақынсады.

(3) G-нің кез келген бірлік өкілдігі, кез келген ε > 0 және кез келген тығыз кіші жиын K үшін (ε, K) инвариантты бірлік векторға ие болса, нөлдік емес инвариантты векторға ие болады. (4) G-нің ε > 0 және тығыз K кіші жиыны бар, сонда G-нің (ε, K) инвариантты бірлік векторы бар әрбір бірлік өкілдігінде нөлдік емес инвариантты вектор бар. (5) G-нің нақты Гилберт кеңістігіндегі кез келген үздіксіз аффинді изометриялық әрекеті тұрақты нүктеге ие (қасиет (FH)). Егер H – G-нің жабық кіші тобы болса, онда (G, H) жұбы Маргулистің салыстырмалы (T) қасиетіне ие деп айтылады, егер ε > 0 және G-нің тығыз K кіші жиыны бар болса, G-нің бірлік өкілдігінде (ε, K) инвариантты бірлік вектор болғанда, онда ол H-мен бекітілген нөлдік емес векторға ие болады.

Талқылау

4) Анықтама (4) әлдеқашан анықтама (3) дегенді білдіреді. Керісінше екенін көрсету үшін, G тобы жергілікті тығыз болсын және (3) шартын қанағаттандырсын. Қарсылыққа түсу арқылы, әрбір K және ε үшін (K, ε) инвариантты бірлік векторлары бар, бірақ инвариантты векторы жоқ унитарлық бейнелеу бар деп есептейік. Мұндай бейнелеулердің тікелей қосындысын қарастырайық, ол (4) шартын жоққа шығарады. (4) және (5) (FH қасиеті) теңдігі – Делорм-Гишарде теоремасы. (5) (4) дегенді білдіреді деген фактіні дәлелдеу үшін G σ-жинақты (және жергілікті жинақты) деп қарастыру қажет (Bekka және басқалар, 2.12.4 теоремасы).

Жалпы қасиеттері

Қасиет (T) үлестіктерде сақталады: егер G қасиет (T)-ға ие болса және H, G-нің үлестік тобы болса, онда H да қасиет (T)-ға ие болады. Балама түрінде, егер G тобының гомоморфты бейнесі қасиет (T)-ға ие болмаса, онда G-нің өзі де қасиет (T)-ға ие болмайды. Егер G қасиет (T)-ға ие болса, онда G/[G, G] жиынтығы тығыз болады. Қасиет (T)-ға ие кез келген саналатын дискретті топ шекті түрде туындайды. Қасиет (T)-ға ие аменабельдік топ міндетті түрде тығыз болады. Аменабельдік пен қасиет (T) шамамен қарама-қарсы: олар дерлік инвариант векторларды табуды оңай немесе қиын етеді. Каждан теоремасы: Егер Γ, Лай тобы G-дегі тор болса, онда Γ қасиет (T)-ға ие, егер және тек қана G қасиет (T)-ға ие болса. Осылайша, n ≥ 3 үшін, арнайы сызықтық топ SL(n, Z) қасиет (T)-ға ие.

Дискретті топтар

Тарихи тұрғыдан алғанда, (T) қасиеті дискретті топтар Γ үшін оларды нақты немесе p-адық Ли топтарына тор ретінде енгізу арқылы орнатылды, мұнда топтардың (T) қасиеті бар. Қазір бірнеше тікелей әдістер қолжетімді. Шалмның алгебралық әдісі Γ = SL(n, R) болғанда қолданылады, мұнда R – сақина және n ≥ 3; әдіс Γ-ның шекті түрде туындатылуына негізделген, яғни оны оңайырақ кіші топтардың шекті көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады, мысалы, сәйкестік матрицасынан бір белгілі диагональдық емес позицияда ерекшеленетін матрицалардан тұратын элементарлық кіші топтар. Геометриялық әдістің бастауы Гарланд, Громов және Пьер Пансу идеяларында жатыр. Оның ең қарапайым комбинаторлық нұсқасы Зукқа тиесілі: Γ болсын дискретті топ, ол шекті жиынтық S арқылы туындатылады, керілерге қатысты жабық және сәйкестік элементін қамтымайды, және S нүктелерімен төбелері бар шекті графты анықтаңыз, ал g және h арасында g⁻¹h S-де жатқанда жиек. Егер бұл граф байланысқан болса және сәйкес қарапайым кездейсоқ жүрістің Лапласианының ең кіші нөлдік емес өзіндік мәні > болса, онда Γ (T) қасиетіне ие. Цук пен [автор аты] егер дискретті топ Γ әр төбедегі сілтемеге қойылған бірдей граф теориялық шарттармен жиырылатын 2 өлшемді қарапайым кешенде дұрыс үзіліссіз және кокомпактты түрде әрекет етсе, онда Γ (T) қасиетіне ие екенін көрсетеді. Бұл әдіс арқылы (T) қасиеті бар гиперболалық топтардың көптеген жаңа мысалдарын көрсетуге болады. Компьютерлік көмек көрсетілген әдіс Нарутака Озаваның ұсынысына негізделген және бірнеше зерттеушілер оны сәтті жүзеге асырды. Ол (T) қасиетінің алгебралық сипаттамасына негізделген, ол нақты топ алгебрасындағы теңсіздікпен байланысты, оның шешімі компьютерде жартылай белгілі бағдарламалау мәселесін сандық түрде шешу арқылы табылуы мүмкін. Атап айтқанда, бұл әдіс кемінде 5-ші дәрежелі еркін топтың автоморфизм тобының (T) қасиетін растады. Бұл нәтижеге адам дәлелі әзірленбеген.

Қолданбалар

Григорий Маргулис SL(n, Z) (n ≥ 3) тобының (T) қасиетіне ие екенін пайдаланып, кеңейтілген графтардың нақты отбасыларын құрастырды, яғни кез келген ішкі жиынның біркелкі үлкен "шекарасы" болатын графтарды. Бұл байланыс Каждан тұрақтыларының нақты есебін беруші, нақты бір топ пен туынды жиын үшін (T) қасиетін мөлшерлейтін бірқатар жаңа зерттеулерге әкелді. Ален Конн саналатын негізгі тобы бар II1 типті факторлардың мысалдарын табу үшін (T) қасиетіне ие дискретті топтарды қолданды, сондықтан олар оң нақты сандардың толық жиыны емес. Сорин Попа кейіннен тривиалды негізгі тобы бар II1 типті факторды алу үшін дискретті топтардың салыстырмалы (T) қасиетін пайдаланды. (T) қасиетіне ие топтар Серренің FA қасиетіне де ие. Тошиказу Сунада жабық көпқырлылықтағы "бұрылған" Лапласиан спектрінің ең төменгі мәнінің оң болуы негізгі топтың (T) қасиетімен байланысты екенін байқады. Бұл байқау Брукс нәтижесіне сәйкес келеді: M-нің негізгі тобы орынды болса және тек сонда ғана жабық Риман көпқырлылығының жалпы жапқыш көпқырлылығындағы Лапласиан спектрінің ең төменгі бөлігі нөлге тең болады.