Введение
Математический термин
В математике локально компактная топологическая группа G обладает свойством (T), если тривиальное представление является изолированной точкой в её унитарном дуале, снабжённом топологией Фелла. Неформально это означает, что если G действует унитарно на гильбертовом пространстве и имеет "почти инвариантные векторы", то у неё есть ненулевой инвариантный вектор. Формальное определение, предложенное Дэвидом Кажданом в 1967 году, придает этому точный количественный смысл. Хотя изначально оно было сформулировано в терминах неприводимых представлений, свойство (T) часто можно проверить даже при небольшом или полном отсутствии явных знаний об унитарном дуале. Свойство (T) имеет важные применения в теории представлений групп, решётках в алгебраических группах над локальными полями, эргодической теории, геометрической теории групп, расширителях, операторных алгебрах и теории сетей.
In mathematics, a locally compact topological group G has property (T) if the trivial representation is an isolated point in its unitary dual equipped with the Fell topology. Informally, this means that if G acts unitarily on a Hilbert space and has "almost invariant vectors", then it has a nonzero invariant vector. The formal definition, introduced by David Kazhdan (1967), gives this a precise, quantitative meaning. Although originally defined in terms of irreducible representations, property (T) can often be checked even when there is little or no explicit knowledge of the unitary dual. Property (T) has important applications to group representation theory, lattices in algebraic groups over local fields, ergodic theory, geometric group theory, expanders, operator algebras and the theory of networks.
Определения
Пусть G — σ-компактная, локально компактная топологическая группа и π : G → U(H) — унитарное представление G на (комплексном) гильбертовом пространстве H. Если ε > 0 и K — компактное подмножество G, то единичный вектор ξ в H называется (ε, K)-инвариантным вектором, если следующие условия на G эквивалентны тому, что G обладает свойством (T) Каждана, и любое из них может быть использовано в качестве определения свойства (T). (1) Тривиальное представление является изолированной точкой унитарного дуала G с топологией Фелла. (2) Любая последовательность непрерывных положительно определенных функций на G, сходящаяся к 1 равномерно на компактных подмножествах, сходится к 1 равномерно на G. (3) Любое унитарное представление G, имеющее (ε, K)-инвариантный единичный вектор для любого ε > 0 и любого компактного подмножества K, имеет ненулевой инвариантный вектор. (4) Существует ε > 0 и компактное подмножество K группы G, такое что любое унитарное представление G, имеющее (ε, K)-инвариантный единичный вектор, имеет ненулевой инвариантный вектор. (5) Любое непрерывное аффинное изометрическое действие G на вещественном гильбертовом пространстве имеет фиксированную точку (свойство (FH)). Если H — замкнутая подгруппа G, то пара (G, H) обладает относительным свойством (T) Маргулиса, если существует ε > 0 и компактное подмножество K группы G, такое что всякий раз, когда унитарное представление G имеет (ε, K)-инвариантный единичный вектор, то у него есть ненулевой вектор, фиксированный H.
The following conditions on G are all equivalent to G having property (T) of Kazhdan, and any of them can be used as the definition of property (T). (1) The trivial representation is an isolated point of the unitary dual of G with Fell topology. (2) Any sequence of continuous positive definite functions on G converging to 1 uniformly on compact subsets, converges to 1 uniformly on G.
(3) Every unitary representation of G that has an (ε, K) invariant unit vector for any ε > 0 and any compact subset K, has a non zero invariant vector. (4) There exists an ε > 0 and a compact subset K of G such that every unitary representation of G that has an (ε, K) invariant unit vector, has a nonzero invariant vector. (5) Every continuous affine isometric action of G on a real Hilbert space has a fixed point (property (FH)). If H is a closed subgroup of G, the pair (G,H) is said to have relative property (T) of Margulis if there exists an ε > 0 and a compact subset K of G such that whenever a unitary representation of G has an (ε, K) invariant unit vector, then it has a non zero vector fixed by H.
Обсуждение
Определение (4) очевидно следует из определения (3). Чтобы доказать обратное, пусть G — локально компактная группа, удовлетворяющая условию (3). Предположим противного, что для любого K и ε существует унитарное представление, имеющее (K, ε)-инвариантный единичный вектор, но не имеющее инвариантного вектора. Рассмотрим прямую сумму всех таких представлений; это опровергнет условие (4). Эквивалентность (4) и (5) (свойство (FH)) — это теорема Делорм — Гишарде. Доказательство того, что (5) влечет (4), требует предположения, что G является σ-компактной (и локально компактной) (Bekka et al., теорема 2.12.4).
Общие свойства
Свойство (T) сохраняется при факторгруппах: если группа G обладает свойством (T), и H является факторгруппой G, то H обладает свойством (T). Эквивалентно, если гомоморфный образ группы G не обладает свойством (T), то и сама группа G не обладает свойством (T). Если G обладает свойством (T), то G/[G, G] является компактной группой. Любая счетная дискретная группа, обладающая свойством (T), конечно порождена. Аменабельная группа, обладающая свойством (T), обязательно компактна. Аменабельность и свойство (T) в некотором смысле противоположны: они делают почти инвариантные векторы либо легкими, либо трудными для обнаружения. Теорема Каждана: Если Γ является решеткой в группе Ли G, то Γ обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда G обладает свойством (T). Следовательно, для n ≥ 3 специальная линейная группа SL(n, Z) обладает свойством (T).
Дискретные группы
Исторически свойство (T) было установлено для дискретных групп Γ путем встраивания их в виде решеток в вещественные или p-адические группы Ли, обладающие свойством (T). В настоящее время существует несколько прямых методов. Алгебраический метод Шалома применим, когда Γ = SL(n, R), где R – кольцо и n ≥ 3; метод основан на том факте, что Γ можно ограниченно породить, то есть представить в виде конечного произведения более простых подгрупп, таких как элементарные подгруппы, состоящие из матриц, отличающихся от единичной матрицы в одной заданной внедиагональной позиции. Геометрический метод берет свое начало в идеях Гарланда, Громова и Пьера Пансу. Его простейшая комбинаторная версия принадлежит Зуку: пусть Γ – дискретная группа, порожденная конечным подмножеством S, замкнутым относительно взятия обратных элементов и не содержащим единичный элемент, и определим конечный граф с вершинами S и ребром между g и h, если g−1h принадлежит S. Если этот граф связен, и наименьшее ненулевое собственное значение лапласиана соответствующего простого случайного блуждания больше , то Γ обладает свойством (T). Более общая геометрическая версия, разработанная Зуком и , утверждает, что если дискретная группа Γ действует правильно разрывно и кокомпактно на стягиваемом двухмерном симплициальном комплексе, с теми же графо-теоретическими условиями, наложенными на связность в каждой вершине, то Γ обладает свойством (T). С помощью этого метода можно продемонстрировать множество новых примеров гиперболических групп, обладающих свойством (T). Компьютерный метод основан на предложении Нарутаки Озавы и успешно реализован несколькими исследователями. Он базируется на алгебраической характеристизации свойства (T) в терминах неравенства в вещественной групповой алгебре, решение которого можно найти численным решением задачи полунеопределенного программирования на компьютере. В частности, этот метод подтвердил свойство (T) для группы автоморфизмов свободной группы ранга не менее 5. Человеческого доказательства этого результата пока не известно.
Приложения
Григорий Маргулис использовал тот факт, что SL(n, Z) (для n ≥ 3) обладает свойством (T), чтобы построить явные семейства расширяющихся графов, то есть графов, для которых каждое подмножество имеет равномерно большую "границу". Эта связь привела к ряду недавних исследований, дающих явную оценку констант Каждана, что позволяет количественно оценить свойство (T) для конкретной группы и генерирующего множества. Ален Конн использовал дискретные группы со свойством (T) для нахождения примеров факторов типа II1 с счетной фундаментальной группой, и, следовательно, не являющихся всеми положительными действительными числами. Сорин Попа впоследствии использовал относительное свойство (T) для дискретных групп для построения фактора типа II1 с тривиальной фундаментальной группой. Группы, обладающие свойством (T), также обладают свойством FA Серра. Тошиказу Сунада заметил, что положительность нижней границы спектра "скрученного" лапласиана на замкнутом многообразии связана со свойством (T) фундаментальной группы. Это наблюдение приводит к результату Брукса, утверждающему, что нижняя граница спектра лапласиана на универсальном накрывающем многообразии над замкнутым римановым многообразием M равна нулю тогда и только тогда, когда фундаментальная группа M является податливой.