Төрт өлшемді кеңістік

Кіріспе

Төрт өлшемді кеңістік (4D) – үш өлшемді кеңістік (3D) тұжырымдамасының математикалық кеңейтімі. Үш өлшемді кеңістік – күнделікті әлемдегі заттардың өлшемдерін немесе орналасуын сипаттау үшін өлшемдер деп аталатын үш сан ғана қажет деген байқаудың ең қарапайым абстракциясы. Мысалы, тіктөртбұрышты қораптың көлемін оның ұзындығы, ені және биіктігін өлшеп, көбейту арқылы табамыз (әдетте x, y және z деп белгіленеді). Бұл қарапайым кеңістік тұжырымдамасы Евклид кеңістігі деп аталады, себебі ол Евклид геометриясына сәйкес келеді, ол бастапқыда күнделікті өмірдің кеңістіктік тәжірибесінен туындаған. Төртінші өлшемді қосу идеясы Жан Ле Ронд д’Алембердің 1754 жылы жарық көрген «Өлшемдер» еңбегінде кездеседі, бірақ үш өлшемнен артық математика 19 ғасырда ғана пайда болды. Евклид кеңістігінің кез келген санындағы өлшемдерді қамтитын жалпы тұжырымдамасын 1853 жылға дейін швейцар математигі Людвиг Шлефли толыққанды дамытты. Шлефлидің еңбегі өмірінде көп назар алмады және 1901 жылы, оның қайтысынан кейін ғана жарияланды, бірақ осы уақыт аралығында төртінші Евклидтік өлшем басқалар тарапынан қайта ашылды. 1880 жылы Чарльз Говард Хинтон «Төртінші өлшем не?» атты мақаласында оны танымал етті, онда ол «төрт өлшемді куб» тұжырымдамасын түсіндірді, сызықтардың, шаршылардың және кубтардың қасиеттерін қадамдық түрде жалпылап көрсетті. Хинтон әдісінің ең қарапайым түрі – екі қарапайым 3D кубты 2D кеңістікте салу, бірін екіншісінің ішіне орналастырып, «көрінбейтін» қашықтықпен бөліп, содан кейін олардың сәйкес төбелері арасында сызықтар жүргізу. Бұл анимацияда көрінеді, ол үлкен сыртқы кубтың ішінде кішігірім ішкі кубты көрсетеді. Бұл жағдайда екі кубтың төбелерін байланыстыратын сегіз сызық «көрінбейтін» төртінші өлшемдегі бір бағытты көрсетеді. Жоғары өлшемді кеңістіктер (үштен үлкен) содан бері қазіргі заманғы математика мен физиканы ресми түрде білдірудің негіздерінің біріне айналды. Бұл тақырыптардың көп бөлігі осындай кеңістіктерді пайдаланбастан қазіргі күйінде болуы мүмкін емес. Эйнштейннің салыстырмалылық теориясы 4D кеңістікте құрастырылған, бірақ Евклидтік 4D кеңістікте емес. Эйнштейннің кеңістік-уақыт тұжырымдамасы Шлефлидің Евклидтік 4D кеңістігінің төрт симметриялық кеңістіктік өлшемдерінің орнына үш кеңістіктік өлшем мен бір уақыт өлшеміне негізделген Минковский құрылымын қолданады, бұл Евклидтік емес геометрия болып табылады. Евклидтік 4D кеңістіктегі нақты бір орналасқан жерлер векторлар немесе 4-тіктер түрінде берілуі мүмкін, яғни сандардың реттелген тізімі, мысалы (x, y, z, w). Осындай орналасқан жерлер күрделі пішіндерге біріктірілгенде ғана жоғары өлшемді кеңістіктердің толық байлығы мен геометриялық күрделілігі көрінеді. Бұл күрделіліктің бір көрінісі – 3D кубқа ұқсас ең қарапайым 4D нысандардың бірі – тессеракттың 2D анимациясы.

Geometric space with four dimensions

Four dimensional space (4D) is the mathematical extension of the concept of three dimensional space (3D). Three dimensional space is the simplest possible abstraction of the observation that one needs only three numbers, called dimensions, to describe the sizes or locations of objects in the everyday world. For example, the volume of a rectangular box is found by measuring and multiplying its length, width, and height (often labeled x, y, and z). This concept of ordinary space is called Euclidean space because it corresponds to Euclid's geometry, which was originally abstracted from the spatial experiences of everyday life. The idea of adding a fourth dimension appears in Jean le Rond d'Alembert's "Dimensions", published in 1754, but the mathematics of more than three dimensions only emerged in the 19th century. The general concept of Euclidean space with any number of dimensions was fully developed by the Swiss mathematician Ludwig Schläfli before 1853. Schläfli's work received little attention during his lifetime and was published only posthumously, in 1901, but meanwhile the fourth Euclidean dimension was rediscovered by others. In 1880 Charles Howard Hinton popularized it in an essay, "What is the Fourth Dimension? ", in which he explained the concept of a "four dimensional cube" with a step by step generalization of the properties of lines, squares, and cubes. The simplest form of Hinton's method is to draw two ordinary 3D cubes in 2D space, one encompassing the other, separated by an "unseen" distance, and then draw lines between their equivalent vertices. This can be seen in the accompanying animation whenever it shows a smaller inner cube inside a larger outer cube. The eight lines connecting the vertices of the two cubes in this case represent a single direction in the "unseen" fourth dimension. Higher dimensional spaces (greater than three) have since become one of the foundations for formally expressing modern mathematics and physics. Large parts of these topics could not exist in their current forms without using such spaces. Einstein's theory of relativity is formulated in 4D space, although not in a Euclidean 4D space. Einstein's concept of spacetime has a Minkowski structure based on a non Euclidean geometry with three spatial dimensions and one temporal dimension, rather than the four symmetric spatial dimensions of Schläfli's Euclidean 4D space. Single locations in Euclidean 4D space can be given as vectors or 4 tuples, i. e., as ordered lists of numbers such as (x, y, z, w). It is only when such locations are linked together into more complicated shapes that the full richness and geometric complexity of higher dimensional spaces emerge. A hint of that complexity can be seen in the accompanying 2D animation of one of the simplest possible regular 4D objects, the tesseract, which is analogous to the 3D cube.

Тарих

Лагранж өзінің «Аналитикалық механика» (1788 жылы жарық көрген, 1755 жылғы жұмыстарға негізделген) еңбегінде, механиканы төрт өлшемді кеңістікте жұмыс істейтіндей қарастыруға болатынын жазды – үш кеңістік өлшемі және бір уақыт өлшемі. 1827 жылы Мёбиус төртінші кеңістіктік өлшемнің үш өлшемді нысанды оның көлеңкесіне айналдыруға мүмкіндік беретінін түсінді. Кез келген өлшемдегі Евклид кеңістігінің толық тұжырымын швейцар математигі Людвиг Шлефли 19-ғасырдың ортасында жасады, сол кезде Кейли, Грассман және Мёбиус ғана геометрияның үш өлшемнен артық болу мүмкіндігін ойластырған болатын. 1853 жылы Шлефли жоғары өлшемдердегі барлық тұрақты политоптарды, соның ішінде Платон денелерінің төрт өлшемді аналогтарын тапты. Уильям Роуэн Гамильтон 1843 жылы «кватерниондар» деп аталатын төрт кеңістіктік өлшемнің арифметикасын анықтады. Майкл Дж. Кроудың «Векторлық талдау тарихы» еңбегінде айтылғандай, бұл ассоциативтік алгебра үш өлшемдегі векторлық талдау ғылымының бастауы болды. Содан кейін тессариндер мен кокватерниондар R кеңістігіндегі басқа төрт өлшемді алгебралар ретінде енгізілді. 1886 жылы Виктор Шлегель төрт өлшемді нысандарды Шлегель диаграммалары арқылы бейнелеу әдісін сипаттады. Төртінші өлшемді алғаш танымал түсіндірушілердің бірі – Чарльз Говард Хинтон, ол 1880 жылы Дублин университеті журналында жарияланған «Төртінші өлшем не?» атты мақаласымен бастады. Ол «Жаңа ой дәуірі» кітабында «тессеракт», «ана» және «ката» терминдерін енгізді, ал «Төртінші өлшем» кітабында төртінші өлшемді кубтарды пайдалану арқылы бейнелеу әдісін ұсынды. Хинтонның идеялары Мартин Гарднердің 1962 жылғы қаңтардағы Scientific American журналындағы «Математикалық ойындар» бағанында жарияланған «Төртінші өлшем шіркеуі» туралы фантастикалық әңгімеге әсер етті. Жоғары өлшемді Евклид емес кеңістіктер Бернхард Риманның 1854 жылғы «Геометрия негізінде жатқан гипотезалар туралы» диссертациясымен нығайтылды, онда ол «нүкте» ұғымын координаттардың кез келген тізбегі (x1, …, xn) деп қарастырды. 1908 жылы Герман Минковский уақытты төртінші өлшемді кеңістік ретінде бекітетін мақала ұсынды, бұл Эйнштейннің арнайы және жалпы салыстырмалылық теорияларының негізі болды. Бірақ кеңістік-уақыттың геометриясы Евклид емес, Шлефли зерттеген және Хинтон танымал еткен геометриядан түбегейлі өзгеше. Минковский кеңістігін зерттеу үшін Риманның математикасы қажет болды, ол төрт өлшемді Евклид кеңістігінен мүлдем өзгеше болғандықтан, басқа бағытта дамыды. Бұл айырмашылық кеңістік туралы халықтың түсінігінде осыншалықты анық болмады, көркем әдебиет пен философиялық еңбектер арасындағы шекаралар нашарлағандықтан, 1973 жылы Х. С. М. Коксетер жазуға мәжбүр болды:

Lagrange wrote in his Mécanique analytique (published 1788, based on work done around 1755) that mechanics can be viewed as operating in a four dimensional space— three dimensions of space, and one of time. As early as 1827, Möbius realized that a fourth spatial dimension would allow a three dimensional form to be rotated onto its mirror image. The general concept of Euclidean space with any number of dimensions was fully developed by the Swiss mathematician Ludwig Schläfli in the mid 19th century, at a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived the possibility of geometry in more than three dimensions. By 1853 Schläfli had discovered all the regular polytopes that exist in higher dimensions, including the four dimensional analogs of the Platonic solids. An arithmetic of four spatial dimensions, called quaternions, was defined by William Rowan Hamilton in 1843. This associative algebra was the source of the science of vector analysis in three dimensions as recounted by Michael J. Crowe in A History of Vector Analysis. Soon after, tessarines and coquaternions were introduced as other four dimensional algebras over R. In 1886, Victor Schlegel described his method of visualizing four dimensional objects with Schlegel diagrams. One of the first popular expositors of the fourth dimension was Charles Howard Hinton, starting in 1880 with his essay What is the Fourth Dimension?, published in the Dublin University magazine. He coined the terms tesseract, ana and kata in his book A New Era of Thought and introduced a method for visualizing the fourth dimension using cubes in the book Fourth Dimension. Hinton's ideas inspired a fantasy about a "Church of the Fourth Dimension" featured by Martin Gardner in his January 1962 "Mathematical Games column" in Scientific American. Higher dimensional non Euclidean spaces were put on a firm footing by Bernhard Riemann's 1854 thesis, Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, in which he considered a "point" to be any sequence of coordinates (x1, , xn). In 1908, Hermann Minkowski presented a paper consolidating the role of time as the fourth dimension of spacetime, the basis for Einstein's theories of special and general relativity. But the geometry of spacetime, being non Euclidean, is profoundly different from that explored by Schläfli and popularised by Hinton. The study of Minkowski space required Riemann's mathematics which is quite different from that of four dimensional Euclidean space, and so developed along quite different lines. This separation was less clear in the popular imagination, with works of fiction and philosophy blurring the distinction, so in 1973 H. S. M. Coxeter felt compelled to write:

Ортогоналдылық және сөздіктер

Күнделікті өмірдің таныс үш өлшемді кеңістігінде x, y және z деп аталатын үш координаттық ось бар, әр осі қалған екеуіне перпендикуляр болып табылады. Бұл кеңістіктегі алты басты бағытты жоғары, төмен, шығыс, батыс, солтүстік және оңтүстік деп атауға болады. Бұл осьтер бойындағы орналасуларды биіктік, бойлық және ендік деп атауға болады. Бұл осьтер бойынша өлшенген ұзындықтарды биіктік, ен және тереңдік деп атауға болады. Қарама-қарсылығы, төрт өлшемді кеңістікте басқа үш оське перпендикуляр қосымша координаттық ось бар, ол әдетте w деп белгіленеді. Екі қосымша басты бағытты сипаттау үшін Чарльз Говард Хинтон грек тілінен "жоғарыға қарай" және "төменге қарай" деген мағына беретін ана және ката терминдерін енгізді. Бұл беттер екі өлшемді болғандықтан, олар 3D кеңістіктегі сымдарға қарағанда әлдеқайда күрделі түйіндер құра алады. Клейн бөтелкесі – мұндай түйінді беттің мысалы. Тағы бір осындай бет – нақты проекциялық жазықтық.

Гиперсфера

Евклидтік 4 кеңістіктегі, белгілі бір P0 нүктесінен бірдей R қашықтықта жатқан нүктелер жиынтығы 3 сфера деп аталатын гипербет құрайды. Оралып жатқан кеңістіктің гиперкөлемі:

Бұл жалпы салыстырмалылық теориясындағы Фридманн-Лемайтр-Робертсон-Уокер метрикасының бір бөлігі болып табылады, онда R функциясы R(t) арқылы алмастырылады, мұнда t — ғаламның космологиялық жасын көрсетеді. Уақыт өте келе R-дің өсуі немесе азаюы ғаламның кеңеюі немесе құлауы дегенді білдіреді, бұл оның ішіндегі масса тығыздығына байланысты.

Адамның төрт өлшемді қабылдау қабілеті

Виртуалды шындық қолданылған зерттеулерде адамдар үш өлшемді әлемде өмір сүрсе де, ерекше жаттығусыз, төртінші өлшемдегі сызық сегменттері туралы олардың ұзындығы (бір өлшемді) және арасындағы бұрыш (екі өлшемді) негізінде кеңістіктік шешімдер қабылдай алатыны анықталды. Зерттеушілер «біздің зерттеуімізге қатысушылардың осы тапсырмаларда тәжірибесі аз болды және 4D виртуалды ортада қабылдау тәжірибесін арттыру арқылы 4D бейнелеуді тұрақты, нақты және толықтыруға бола ма деген сұрақ әлі де ашық» деп атап өтті. Адамның 2D, 3D және 4D лабиринттерде бағдалану қабілеті тексерілді. Әр лабиринт кездейсоқ ұзындығы бар төрт жол сегментінен тұрады және тік бұрыштармен байланысты, бірақ тармақтар мен тізбектер жоқ (дегенмен, бұл шын мәнінде лабиринттер). Графикалық интерфейс Джон МакИнтоштің тегін 4D Maze ойынына негізделген. Қатысушылар жолды өтіп, соңында бастапқы нүктеге дейінгі бағытты бағалау керек болды. Зерттеушілер кейбір қатысушылардың 4D-де жаттығудан кейін өздерінің жолын ойша біріктіре алатынын анықтады (төмен өлшемді жағдайлар салыстыру үшін және қатысушылар әдісті үйренуі үшін болды). Дегенмен, 2020 жылғы шолуда осы зерттеулердің үлгісінің шағын және көбінесе колледж студенттерінен тұратыны көрсетілді. Сондай-ақ, болашақ зерттеулер шешуі керек басқа мәселелерді атап өтті: артефактілерді жою (олар, мысалы, 4D бейнелеуді пайдаланбастан тапсырманы шешу стратегиясынан немесе зерттеушілердің бейімделуді жеделдету үшін берген 4D ойлау және кері байланысынан туындауы мүмкін) және қатысушылар арасындағы айырмашылықтарды талдау (егер 4D қабылдау мүмкін болса, оны меңгеру адамдардың белгілі бір тобына, белгілі бір кезеңге немесе назар мен ынтаға байланысты болуы мүмкін). Сонымен қатар, 4 өлшемді бейнелеудің ең тиімді жолы бар-жоғы белгісіз (өйткені 4 өлшемді бейнелеуге ешқандай шектеулер жоқ). Зерттеушілер сондай-ақ адамның 4D қабылдауды меңгеруі мидың визуалды аймақтары мен энторинальды қабықты белсендіруі мүмкін деп болжады. Егер осылай болса, оны 4D кеңістікті қабылдаудың сенімді көрсеткіші ретінде пайдалануға болады. Авторлар сонымен қатар әртүрлі нейрондық желі архитектураларын (әртүрлі бастапқы болжамдармен) қайсысының оқуға қабілетті екенін немесе оқуға қабілетсіз екенін түсіну үшін пайдалануды ұсынды.

Research using virtual reality finds that humans, despite living in a three dimensional world, can, without special practice, make spatial judgments about line segments embedded in four dimensional space, based on their length (one dimensional) and the angle (two dimensional) between them. The researchers noted that "the participants in our study had minimal practice in these tasks, and it remains an open question whether it is possible to obtain more sustainable, definitive, and richer 4D representations with increased perceptual experience in 4D virtual environments". the ability of humans to orient themselves in 2D, 3D, and 4D mazes has been tested. Each maze consisted of four path segments of random length and connected with orthogonal random bends, but without branches or loops (i. e. actually labyrinths). The graphical interface was based on John McIntosh's free 4D Maze game. The participating persons had to navigate through the path and finally estimate the linear direction back to the starting point. The researchers found that some of the participants were able to mentally integrate their path after some practice in 4D (the lower dimensional cases were for comparison and for the participants to learn the method). However, a 2020 review underlined how these studies are composed of a small subject sample and mainly of college students. It also pointed out other issues that future research has to resolve: elimination of artifacts (these could be caused, for example, by strategies to resolve the required task that don't use 4D representation/4D reasoning and feedback given by researchers to speed up the adaptation process) and analysis on inter subject variability (if 4D perception is possible, its acquisition could be limited to a subset of humans, to a specific critical period, or to people's attention or motivation). Furthermore, it is undetermined if there is a more appropriate way to project the 4 dimension (because there are no restrictions on how the 4 dimension can be projected). Researchers also hypothesized that human acquisition of 4D perception could result in the activation of brain visual areas and entorhinal cortex. If so they suggest that it could be used as a strong indicator of 4D space perception acquisition. Authors also suggested using a variety of different neural network architectures (with different a priori assumptions) to understand which ones are or are not able to learn.

Өлшемдік ұқсастық

Төрт өлшемді кеңістіктің мәнін түсіну үшін өлшемдік аналогия деп аталатын әдіс жиі қолданылады. Өлшемдік аналогия – (n-1) өлшемдердің n өлшемдермен қалай байланысқанын зерттеу, содан кейін n өлшемдердің (n+1) өлшемдермен қалай байланысатынын болжау. Эдвин Эбботт Эбботт Flatland кітабында осы өлшемдік аналогияны пайдаланған, онда қағаз беті сияқты екі өлшемді әлемде өмір сүретін квадрат туралы әңгіме баяндалады. Осы квадраттың көзқарасынан алғанда, үш өлшемді иелік құдайға тән қабілеттерге ие болып көрінеді, мысалы, сейфті бұзбай-ақ ішіндегі заттарды алып тастау (оларды үшінші өлшемде жылжыту арқылы), екі өлшемді көзқарас бойынша қабырғалардың артында жасырылған барлық нәрсені көру және үшінші өлшемде бірнеше сантиметр қашықтықта тұрып толығымен көрінбей қалу. Өлшемдік аналогияны қолдану арқылы төрт өлшемді иелік үш өлшемді көзқарас бойынша осындай мүмкіндіктерге ие болатынын болжауға болады. Руди Раккер өзінің "Ғарыш елі" романында осыны көрсетеді, онда басты кейіпкер осындай күштерді көрсететін төрт өлшемді жандармен кездеседі.

Көлденең қималар

Үш өлшемді нысан екі өлшемді жазықтық арқылы өтетін болса, осы жазықтықтағы екі өлшемді тіршілік иелері үш өлшемді нысанның қимасын ғана көреді. Мысалы, шар қағаз бетінен өткенде, қағаз бетіндегі тіршілік иелері алдымен бір нүктені байқайды. Содан кейін шеңбер біртіндеп ұлғаяды, шардың диаметріне жетеді, одан кейін тағы да кішірейіп, бір нүктеге дейін қысқарып, жоғалады. Екі өлшемді тіршілік иелері шеңберді үш өлшемді тіршілік иелері сияқты емес, тек олардың бір өлшемді "торлы қабығына" түсетін проекциясын көреді. Сол сияқты, төрт өлшемді нысан үш өлшемді (гипер) бет арқылы өткенде, төрт өлшемді нысанның үш өлшемді қимасын көруге болады. Мысалы, гиперсфера алдымен нүкте ретінде пайда болып, содан кейін өсе бастаған шар түрінде (гиперсфераның "гипердиаметріне" жеткенге дейін) көрінеді, одан кейін шар бір нүктеге дейін қысқарып, жоғалады. Төртінші өлшемнің кейбір аспектілерін осылай бейнелеу тәсілі "Флатланд" романында, сондай-ақ Чарльз Говард Хинтонның бірнеше еңбектерінде қолданылған. "Space has Four Dimensions" – неміс философы және эксперименталды психологы Густав Фехнердің 1846 жылы "Dr. Mises" псевдонимімен жариялаған қысқа әңгімесі. Әңгімедегі басты кейіпкер – басқа көлеңкелерді сезіне білетін және олармен байланыса алатын, бірақ екі өлшемді бетке тігіліп қалған көлеңке. Фехнердің сөзіне қарағанда, бұл "көлеңкелі адам" үшінші өлшемді уақыт ретінде қабылдайды. Бұл оқиға Платонның "Мемлекет" (б.з.д. 380 ж.) еңбегіндегі "Үңгірдегі миф" сияқты келеді. Саймон Ньюкомб 1898 жылы "Америка математикалық қоғамының бюллетені" журналында "Гиперкеңістіктің философиясы" деген мақала жариялады. Линда Далримпл Хендерсон 1983 жылғы диссертациясында жоғары өлшемдерді метафизикалық тақырыптарды зерттеу үшін қолданатын жазуды сипаттау үшін "гиперкеңістік философиясы" терминін енгізді. "Гиперкеңістік философтарының" мысалы ретінде 1888 жылы "тессеракт" сөзін алғаш қолданған Чарльз Говард Хинтон және орыс эзотеригі П. Д. Успенскийті атауға болады.

As a three dimensional object passes through a two dimensional plane, two dimensional beings in this plane would only observe a cross section of the three dimensional object within this plane. For example, if a sphere passed through a sheet of paper, beings in the paper would see first a single point. A circle gradually grows larger, until it reaches the diameter of the sphere, and then gets smaller again, until it shrinks to a point and disappears. The 2D beings would not see a circle in the same way as three dimensional beings do; rather, they only see a one dimensional projection of the circle on their 1D "retina". Similarly, if a four dimensional object passed through a three dimensional (hyper) surface, one could observe a three dimensional cross section of the four dimensional object. For example, a hypersphere would appear first as a point, then as a growing sphere (until it reaches the "hyperdiameter" of the hypersphere), with the sphere then shrinking to a single point and then disappearing. This means of visualizing aspects of the fourth dimension was used in the novel Flatland and also in several works of Charles Howard Hinton. "Space has Four Dimensions" is a short story published in 1846 by German philosopher and experimental psychologist Gustav Fechner under the pseudonym "Dr. Mises". The protagonist in the tale is a shadow who is aware of and able to communicate with other shadows, but who is trapped on a two dimensional surface. According to Fechner, this "shadow man" would conceive of the third dimension as being one of time. The story bears a strong similarity to the "Allegory of the Cave" presented in Plato's The Republic ( 380 BC). Simon Newcomb wrote an article for the Bulletin of the American Mathematical Society in 1898 entitled "The Philosophy of Hyperspace". Linda Dalrymple Henderson coined the term "hyperspace philosophy", used to describe writing that uses higher dimensions to explore metaphysical themes, in her 1983 thesis about the fourth dimension in early twentieth century art. Examples of "hyperspace philosophers" include Charles Howard Hinton, the first writer, in 1888, to use the word "tesseract"; and the Russian esotericist P. D. Ouspensky.