Четырёхмерное пространство: математическое обобщение геометрии

Введение

Четырехмерное пространство (4D) является математическим расширением концепции трехмерного пространства (3D). Трехмерное пространство – это самая простая возможная абстракция, основанная на наблюдении, что для описания размеров или местоположений объектов в повседневном мире требуется всего три числа, называемые измерениями. Например, объем прямоугольной коробки определяется путем измерения и умножения ее длины, ширины и высоты (обычно обозначаемых x, y и z). Эта концепция обычного пространства называется евклидовым пространством, поскольку она соответствует геометрии Евклида, которая изначально была абстрагирована из пространственного опыта повседневной жизни. Идея добавления четвертого измерения появляется в работе Жана Ле Ронда д’Алембера «Размерности», опубликованной в 1754 году, но математика, описывающая более трех измерений, возникла только в XIX веке. Общая концепция евклидова пространства с любым количеством измерений была полностью разработана швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. Работа Шлефли не получила широкого признания при его жизни и была опубликована лишь посмертно, в 1901 году, но тем временем четвертое евклидово измерение было заново открыто другими исследователями. В 1880 году Чарльз Говард Хинтон популяризировал его в эссе «Что такое четвертое измерение?», в котором он объяснил концепцию «четырехмерного куба» путем последовательного обобщения свойств линий, квадратов и кубов. Простейшая форма метода Хинтона заключается в том, чтобы нарисовать два обычных 3D-куба в 2D-пространстве, один внутри другого, разделенных «невидимым» расстоянием, а затем соединить линии между их соответствующими вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов в этом случае, представляют собой одно направление в «невидимом» четвертом измерении. Пространства более высокой размерности (более трех) с тех пор стали одним из фундаментальных элементов для формального выражения современной математики и физики. Значительная часть этих областей не могла бы существовать в их нынешнем виде без использования таких пространств. Теория относительности Эйнштейна сформулирована в 4D-пространстве, хотя и не в евклидовом 4D-пространстве. Концепция пространства-времени Эйнштейна имеет структуру Минковского, основанную на неевклидовой геометрии с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением, а не на четырех симметричных пространственных измерениях евклидова 4D-пространства Шлефли. Отдельные точки в евклидовом 4D-пространстве могут быть заданы в виде векторов или 4-кортежей, то есть упорядоченных списков чисел, таких как (x, y, z, w). Только когда такие точки соединяются в более сложные фигуры, проявляется полное богатство и геометрическая сложность пространств более высокой размерности. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из самых простых возможных регулярных 4D-объектов – тессеракта, который аналогичен 3D-кубу.

Geometric space with four dimensions

Four dimensional space (4D) is the mathematical extension of the concept of three dimensional space (3D). Three dimensional space is the simplest possible abstraction of the observation that one needs only three numbers, called dimensions, to describe the sizes or locations of objects in the everyday world. For example, the volume of a rectangular box is found by measuring and multiplying its length, width, and height (often labeled x, y, and z). This concept of ordinary space is called Euclidean space because it corresponds to Euclid's geometry, which was originally abstracted from the spatial experiences of everyday life. The idea of adding a fourth dimension appears in Jean le Rond d'Alembert's "Dimensions", published in 1754, but the mathematics of more than three dimensions only emerged in the 19th century. The general concept of Euclidean space with any number of dimensions was fully developed by the Swiss mathematician Ludwig Schläfli before 1853. Schläfli's work received little attention during his lifetime and was published only posthumously, in 1901, but meanwhile the fourth Euclidean dimension was rediscovered by others. In 1880 Charles Howard Hinton popularized it in an essay, "What is the Fourth Dimension? ", in which he explained the concept of a "four dimensional cube" with a step by step generalization of the properties of lines, squares, and cubes. The simplest form of Hinton's method is to draw two ordinary 3D cubes in 2D space, one encompassing the other, separated by an "unseen" distance, and then draw lines between their equivalent vertices. This can be seen in the accompanying animation whenever it shows a smaller inner cube inside a larger outer cube. The eight lines connecting the vertices of the two cubes in this case represent a single direction in the "unseen" fourth dimension. Higher dimensional spaces (greater than three) have since become one of the foundations for formally expressing modern mathematics and physics. Large parts of these topics could not exist in their current forms without using such spaces. Einstein's theory of relativity is formulated in 4D space, although not in a Euclidean 4D space. Einstein's concept of spacetime has a Minkowski structure based on a non Euclidean geometry with three spatial dimensions and one temporal dimension, rather than the four symmetric spatial dimensions of Schläfli's Euclidean 4D space. Single locations in Euclidean 4D space can be given as vectors or 4 tuples, i. e., as ordered lists of numbers such as (x, y, z, w). It is only when such locations are linked together into more complicated shapes that the full richness and geometric complexity of higher dimensional spaces emerge. A hint of that complexity can be seen in the accompanying 2D animation of one of the simplest possible regular 4D objects, the tesseract, which is analogous to the 3D cube.

История

Лагранж писал в своей Mécanique analytique (опубликованной в 1788 году, основанной на работе, проделанной около 1755 года), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве — трех измерениях пространства и одном измерении времени. Уже в 1827 году Мёбиус осознал, что четвертое пространственное измерение позволит вращать трехмерную форму до совпадения с ее зеркальным отражением. Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью разработана швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века, в то время как Кейли, Грассман и Мёбиус были единственными другими людьми, которые когда-либо представляли себе возможность геометрии в более чем трех измерениях. К 1853 году Шлефли обнаружил все правильные политопы, существующие в высших измерениях, включая четырехмерные аналоги платоновых тел. Арифметика четырех пространственных измерений, называемая кватернионами, была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра стала источником науки о векторном анализе в трех измерениях, как описано Майклом Дж. Кроу в книге «История векторного анализа». Вскоре после этого тессарины и кокватернионы были введены как другие четырехмерные алгебры над R. В 1886 году Виктор Шлегель описал свой метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля. Одним из первых популярных популяризаторов четвертого измерения был Чарльз Говард Хинтон, начиная с 1880 года со своего эссе «Что такое четвертое измерение?», опубликованного в журнале Дублинского университета. Он ввел термины тессеракт, ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и предложил метод визуализации четвертого измерения с использованием кубов в книге «Четвертое измерение». Идеи Хинтона вдохновили фантазию о «Церкви четвертого измерения», представленную Мартином Гарднером в его колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в январе 1962 года. Высшие измерения неевклидовых пространств были положены на прочную основу диссертацией Бернарда Римана 1854 года «Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen», в которой он рассматривал «точкой» любую последовательность координат (x1, …, xn). В 1908 году Герман Минковский представил статью, объединяющую роль времени как четвертого измерения пространства-времени, основу для теорий специальной и общей относительности Эйнштейна. Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой, принципиально отличается от той, которую исследовал Шлефли и популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского требовало математики Римана, которая существенно отличается от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалось по совершенно иным направлениям. Это разделение было менее очевидным в популярном воображении, поскольку произведения художественной литературы и философии размывали это различие, поэтому в 1973 году Х. С. М. Коксетер почувствовал необходимость написать:

Lagrange wrote in his Mécanique analytique (published 1788, based on work done around 1755) that mechanics can be viewed as operating in a four dimensional space— three dimensions of space, and one of time. As early as 1827, Möbius realized that a fourth spatial dimension would allow a three dimensional form to be rotated onto its mirror image. The general concept of Euclidean space with any number of dimensions was fully developed by the Swiss mathematician Ludwig Schläfli in the mid 19th century, at a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived the possibility of geometry in more than three dimensions. By 1853 Schläfli had discovered all the regular polytopes that exist in higher dimensions, including the four dimensional analogs of the Platonic solids. An arithmetic of four spatial dimensions, called quaternions, was defined by William Rowan Hamilton in 1843. This associative algebra was the source of the science of vector analysis in three dimensions as recounted by Michael J. Crowe in A History of Vector Analysis. Soon after, tessarines and coquaternions were introduced as other four dimensional algebras over R. In 1886, Victor Schlegel described his method of visualizing four dimensional objects with Schlegel diagrams. One of the first popular expositors of the fourth dimension was Charles Howard Hinton, starting in 1880 with his essay What is the Fourth Dimension?, published in the Dublin University magazine. He coined the terms tesseract, ana and kata in his book A New Era of Thought and introduced a method for visualizing the fourth dimension using cubes in the book Fourth Dimension. Hinton's ideas inspired a fantasy about a "Church of the Fourth Dimension" featured by Martin Gardner in his January 1962 "Mathematical Games column" in Scientific American. Higher dimensional non Euclidean spaces were put on a firm footing by Bernhard Riemann's 1854 thesis, Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, in which he considered a "point" to be any sequence of coordinates (x1, , xn). In 1908, Hermann Minkowski presented a paper consolidating the role of time as the fourth dimension of spacetime, the basis for Einstein's theories of special and general relativity. But the geometry of spacetime, being non Euclidean, is profoundly different from that explored by Schläfli and popularised by Hinton. The study of Minkowski space required Riemann's mathematics which is quite different from that of four dimensional Euclidean space, and so developed along quite different lines. This separation was less clear in the popular imagination, with works of fiction and philosophy blurring the distinction, so in 1973 H. S. M. Coxeter felt compelled to write:

Ортогональность и лексика

В знакомом трехмерном пространстве повседневной жизни есть три координатные оси, обычно обозначаемые x, y и z, причем каждая ось ортогональна (т.е. перпендикулярна) другим двум. Шесть основных направлений в этом пространстве можно назвать: вверх, вниз, восток, запад, север и юг. Положения вдоль этих осей можно назвать высотой, долготой и широтой. Длины, измеряемые вдоль этих осей, можно назвать высотой, шириной и глубиной. Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную координатную ось, ортогональную к другим трем, которая обычно обозначается w. Чтобы описать два дополнительных основных направления, Чарльз Говард Хинтон ввел термины ana и kata, от греческих слов, означающих соответственно "вверх к" и "вниз от". Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем нити в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна – пример такой заузленной поверхности. Другой такой поверхностью является вещественная проективная плоскость.

Гиперсфера

Набор точек в евклидовом 4-мерном пространстве, находящихся на одинаковом расстоянии R от фиксированной точки P0, образует гиперповерхность, известную как 3-сфера. Гиперобъем замкнутого пространства равен:

Это часть метрики Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера в общей теории относительности, где R заменяется функцией R(t), а t обозначает космологический возраст Вселенной. Увеличение или уменьшение R со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри неё.

Четырехмерное восприятие у людей

Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на жизнь в трехмерном мире, способны, без специальной подготовки, делать пространственные суждения о линейных сегментах, встроенных в четырехмерное пространство, основываясь на их длине (одномерной) и угле (двухмерном) между ними. Исследователи отметили, что "участники нашего исследования имели минимальный опыт в решении подобных задач, и остается открытым вопрос о том, возможно ли получить более устойчивые, однозначные и полные 4D-представления при увеличении опыта восприятия в 4D виртуальных средах". Проверялась способность людей ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех участков пути случайной длины, соединенных ортогональными случайными поворотами, но без ветвлений или петель (то есть, по сути, это были лабиринты). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре 4D Maze, разработанной Джоном МакИнтошем. Участникам необходимо было пройти по пути и затем оценить линейное направление обратно к начальной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые участники смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи с меньшей размерностью использовались для сравнения и для обучения участников методу). Однако, обзор 2020 года подчеркнул, что эти исследования проводились на небольшой выборке испытуемых, состоящей в основном из студентов. В нем также были указаны другие вопросы, которые необходимо решить в будущих исследованиях: устранение артефактов (которые могут быть вызваны, например, стратегиями решения задачи, не использующими 4D-представление/4D-рассуждения, или обратной связью от исследователей, ускоряющей процесс адаптации) и анализ межсубъектной вариативности (если 4D-восприятие возможно, его приобретение может быть ограничено определенной частью людей, конкретным критическим периодом или вниманием и мотивацией). Кроме того, не установлено, существует ли более подходящий способ проецирования четвертого измерения (поскольку нет ограничений на то, как может быть спроецировано четвертое измерение). Исследователи также предположили, что приобретение человеком 4D-восприятия может приводить к активации зрительных областей мозга и энторинальной коры. Если это так, то они считают, что это можно использовать в качестве надежного индикатора приобретения 4D пространственного восприятия. Авторы также предложили использовать различные архитектуры нейронных сетей (с различными априорными предположениями), чтобы определить, какие из них способны, а какие нет, к обучению.

Research using virtual reality finds that humans, despite living in a three dimensional world, can, without special practice, make spatial judgments about line segments embedded in four dimensional space, based on their length (one dimensional) and the angle (two dimensional) between them. The researchers noted that "the participants in our study had minimal practice in these tasks, and it remains an open question whether it is possible to obtain more sustainable, definitive, and richer 4D representations with increased perceptual experience in 4D virtual environments". the ability of humans to orient themselves in 2D, 3D, and 4D mazes has been tested. Each maze consisted of four path segments of random length and connected with orthogonal random bends, but without branches or loops (i. e. actually labyrinths). The graphical interface was based on John McIntosh's free 4D Maze game. The participating persons had to navigate through the path and finally estimate the linear direction back to the starting point. The researchers found that some of the participants were able to mentally integrate their path after some practice in 4D (the lower dimensional cases were for comparison and for the participants to learn the method). However, a 2020 review underlined how these studies are composed of a small subject sample and mainly of college students. It also pointed out other issues that future research has to resolve: elimination of artifacts (these could be caused, for example, by strategies to resolve the required task that don't use 4D representation/4D reasoning and feedback given by researchers to speed up the adaptation process) and analysis on inter subject variability (if 4D perception is possible, its acquisition could be limited to a subset of humans, to a specific critical period, or to people's attention or motivation). Furthermore, it is undetermined if there is a more appropriate way to project the 4 dimension (because there are no restrictions on how the 4 dimension can be projected). Researchers also hypothesized that human acquisition of 4D perception could result in the activation of brain visual areas and entorhinal cortex. If so they suggest that it could be used as a strong indicator of 4D space perception acquisition. Authors also suggested using a variety of different neural network architectures (with different a priori assumptions) to understand which ones are or are not able to learn.

Аналогия размеров

Для понимания природы четырехмерного пространства обычно используется метод, называемый аналогией размерностей. Аналогия размерностей – это изучение того, как (n − 1) измерений соотносятся с n измерениями, а затем построение предположений о том, как n измерений будут соотносятся с (n + 1) измерениями. Эдвин Эббот Эббот использовал аналогию размерностей в книге «Плоскоземье», которая повествует о квадрате, живущем в двухмерном мире, подобном поверхности листа бумаги. С точки зрения этого квадрата, трехмерное существо обладает, казалось бы, божественными способностями, такими как возможность извлекать предметы из сейфа, не взламывая его (перемещая их в третьем измерении), видеть все, что с двухмерной точки зрения скрыто за стенами, и оставаться совершенно невидимым, находясь всего в нескольких дюймах в третьем измерении. Применяя аналогию размерностей, можно предположить, что четырехмерное существо способно на подобные же действия с точки зрения трехмерного пространства. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе «Космос», в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих подобные силы.

Поперечные сечения

Когда трехмерный объект проходит сквозь двухмерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости наблюдают лишь поперечное сечение этого объекта. Например, если сфера проходит сквозь лист бумаги, существа на бумаге сначала увидят одну точку. Круг постепенно увеличивается, пока не достигнет диаметра сферы, а затем снова уменьшается, пока не сожмется до точки и не исчезнет. Двумерные существа не видят круг так, как его видят трехмерные; они воспринимают лишь одномерную проекцию круга на свою одномерную "сетчатку". Аналогично, если четырехмерный объект проходит сквозь трехмерную (гипер) поверхность, можно наблюдать трехмерное сечение четырехмерного объекта. Например, гиперсфера сначала появится как точка, затем как растущая сфера (пока не достигнет "гипердиаметра" гиперсферы), после чего сфера уменьшится до единственной точки и исчезнет. Этот способ визуализации аспектов четвертого измерения был использован в романе "Плоская страна", а также в нескольких работах Чарльза Говарда Хинтона. Рассказ "Пространство имеет четыре измерения" был опубликован в 1846 году немецким философом и экспериментальным психологом Густавом Фехнером под псевдонимом "Доктор Мизес". Главный герой рассказа – тень, осознающая и способная общаться с другими тенями, но заключенная на двухмерной поверхности. По мнению Фехнера, этот "теневой человек" воспринимал третье измерение как измерение времени. Этот рассказ имеет большое сходство с "Аллегорией пещеры", представленной Платоном в "Государстве" (380 г. до н.э.). Саймон Ньюкомб опубликовал статью под названием "Философия гиперпространства" в "Бюллетене Американского математического общества" в 1898 году. Линда Далримпл Хендерсон в своей диссертации 1983 года о четвертом измерении в искусстве начала XX века ввела термин "гиперпространственная философия", используемый для описания текстов, использующих высшие измерения для исследования метафизических тем. Примерами "гиперпространственных философов" являются Чарльз Говард Хинтон, который в 1888 году впервые использовал слово "тессеракт", и русский эзотерик П. Д. Успенский.

As a three dimensional object passes through a two dimensional plane, two dimensional beings in this plane would only observe a cross section of the three dimensional object within this plane. For example, if a sphere passed through a sheet of paper, beings in the paper would see first a single point. A circle gradually grows larger, until it reaches the diameter of the sphere, and then gets smaller again, until it shrinks to a point and disappears. The 2D beings would not see a circle in the same way as three dimensional beings do; rather, they only see a one dimensional projection of the circle on their 1D "retina". Similarly, if a four dimensional object passed through a three dimensional (hyper) surface, one could observe a three dimensional cross section of the four dimensional object. For example, a hypersphere would appear first as a point, then as a growing sphere (until it reaches the "hyperdiameter" of the hypersphere), with the sphere then shrinking to a single point and then disappearing. This means of visualizing aspects of the fourth dimension was used in the novel Flatland and also in several works of Charles Howard Hinton. "Space has Four Dimensions" is a short story published in 1846 by German philosopher and experimental psychologist Gustav Fechner under the pseudonym "Dr. Mises". The protagonist in the tale is a shadow who is aware of and able to communicate with other shadows, but who is trapped on a two dimensional surface. According to Fechner, this "shadow man" would conceive of the third dimension as being one of time. The story bears a strong similarity to the "Allegory of the Cave" presented in Plato's The Republic ( 380 BC). Simon Newcomb wrote an article for the Bulletin of the American Mathematical Society in 1898 entitled "The Philosophy of Hyperspace". Linda Dalrymple Henderson coined the term "hyperspace philosophy", used to describe writing that uses higher dimensions to explore metaphysical themes, in her 1983 thesis about the fourth dimension in early twentieth century art. Examples of "hyperspace philosophers" include Charles Howard Hinton, the first writer, in 1888, to use the word "tesseract"; and the Russian esotericist P. D. Ouspensky.