Кіріспе
Топологиялық топтар теориясындағы түсінік
Топологиялық жабу тобы
Математикада, H топологиялық тобының жабу тобы – G топологиялық тобы және p: G → H жабу картасы үздіксіз топ гомоморфизмі болатын H кеңістігін жабатын G кеңістігі. P картасы жабу гомоморфизмі деп аталады. Көбінесе кездесетін жағдай – екі еселі жабу тобы, онда H-тың G-дегі индексі 2-ге тең болады; мысалдарға спин тобы, пин тобы және метаплектикалық топтар жатады. Шамамен айтқанда, мысалы, метаплектикалық топ Mp2n симплектикалық топ Sp2n-нің екі еселі жабуы екені, метаплектикалық топта симплектикалық топтағы бір элементті бейнелейтін әрқашан екі элемент болатынын білдіреді.
topological covering group
In mathematics, a covering group of a topological group H is a covering space G of H such that G is a topological group and the covering map p : G → H is a continuous group homomorphism. The map p is called the covering homomorphism. A frequently occurring case is a double covering group, a topological double cover in which H has index 2 in G; examples include the spin groups, pin groups, and metaplectic groups. Roughly explained, saying that for example the metaplectic group Mp2n is a double cover of the symplectic group Sp2n means that there are always two elements in the metaplectic group representing one element in the symplectic group.
Қасиеттері
G тобы H тобының жабу тобы болсын. Жабу гомоморфизмінің ядросы K, H-дағы бірлікке сәйкес талшық болып табылады және G-нің дискретті нормальды кіші тобы болып табылады. K ядросы G-де жабық, егер және тек қана G Хаусдорф болса (және егер және тек қана H Хаусдорф болса). Кері бағытта, егер G кез келген топологиялық топ болса және K, G-нің дискретті нормальды кіші тобы болса, онда p: G → G/K коэффициенттік бейнелеуі – жабу гомоморфизмі болады. Егер G байланысты болса, онда K дискретті нормальды кіші топ ретінде, міндетті түрде G-нің орталығында жатады және демек, абельдік болады. Бұл жағдайда 1=H = G/K орталығы берілген. Барлық жабу кеңістіктері сияқты, G-нің негізгі тобы H-ның негізгі тобына енгізіледі. Топологиялық топтың негізгі тобы әрқашан абельдік болғандықтан, әрбір жабу тобы қалыпты жабу кеңістігі болып табылады. Атап айтқанда, егер G жолмен байланысқан болса, онда π1(H) / π1(G) коэффициенттік тобы K-ге изоморфты. K тобы оң көбейту арқылы талшықтарда (сол жақ косеттер) қарапайым транзитивті әрекет етеді. Онда G тобы H үстіндегі негізгі K шоғыры болады. Егер G, H тобының жабу тобы болса, онда G және H топтары жергілікті изоморфты болады. Сонымен қатар, егер кез келген екі байланысты жергілікті изоморфты H1 және H2 топтары берілген болса, онда дискретті нормальды кіші топтары K1 және K2 болатын G топологиялық тобы бар, онда H1, G/K1-ге изоморфты және H2, G/K2-ге изоморфты.
As with all covering spaces, the fundamental group of G injects into the fundamental group of H. Since the fundamental group of a topological group is always abelian, every covering group is a normal covering space. In particular, if G is path connected then the quotient group π1(H) / π1(G) is isomorphic to K. The group K acts simply transitively on the fibers (which are just left cosets) by right multiplication. The group G is then a principal K bundle over H.
If G is a covering group of H then the groups G and H are locally isomorphic. Moreover, given any two connected locally isomorphic groups H1 and H2, there exists a topological group G with discrete normal subgroups K1 and K2 such that H1 is isomorphic to G / K1 and H2 is isomorphic to G / K2.
Қаптамалық кеңістікте топтық құрылым
H топологиялық топ болсын және G, H кеңістігінің жабылатын кеңістігі болсын. Егер G және H екеуі де жолмен байланысқан және жергілікті жолмен байланысқан болса, онда e ∈ H үстіндегі талшықтағы e* элементінің кез келген таңдауы үшін, G-де e* сәйкестік ретінде болатын бірегей топологиялық топтық құрылым болады, осылайша жабылатын карта p: G → H гомоморфизмге айналады. Құрылысы былай: a және b G элементтері болсын, ал f және g G-дегі жолдар болсын, олар e*-ден басталып, сәйкесінше a және b нүктелерінде аяқталады. h жолын I → H, h(t) = p(f(t))p(g(t)) арқылы анықтаңыз. Жабылатын кеңістіктердің жол көтеру қасиетіне сәйкес, бастапқы нүктесі e* болатын h жолының G-ге бірегей көтерілісі болады. ab көбейтіндісі осы жолдың соңғы нүктесі ретінде анықталады. Құрылысы бойынша p(ab) = p(a)p(b) болады. Бұл анықтама f және g жолдарын таңдауға тәуелсіз екенін, сондай-ақ топтық амалдар үздіксіз екенін көрсету қажет. G-дегі топтық заңдылықты G × G → H × H картасының көтеру қасиетін пайдаланып, H × H → H топтық заңдылығын G-ге көтеру арқылы құрастыруға болады. Байланыссыз жағдай қызығушылық тудырады және оны Тейлор мен Браун Мукуктың төменде көрсетілген еңбектерінде зерттеді. Негізінен, жапсырма картасы морфизм болатын, сонымен қатар топологиялық топ болатын жапсырманың болуына кедергі бар: бұл кедергі G компоненттері тобының үшінші когомология тобында, G-дің негізгі тобындағы коэффициенттерімен сәйкестік нүктесінде жатыр.
The non connected case is interesting and is studied in the papers by Taylor and by Brown Mucuk cited below. Essentially there is an obstruction to the existence of a universal cover that is also a topological group such that the covering map is a morphism: this obstruction lies in the third cohomology group of the group of components of G with coefficients in the fundamental group of G at the identity.
Универсалды жабу тобы
Егер H – жол байланысты, жергілікті жол байланысты және жартылай жергілікті жай байланысты топ болса, онда оның жалпы жапқышы бар. Алдыңғы құрылым бойынша әмбебап жапқышты қаптама картасы үздіксіз гомоморфизммен топологиялық топқа айналдыруға болады. Бұл топ H-ның әмбебап жапқыш тобы деп аталады. Төменде келтірілген тікелей құрылым да бар. PH H-ның жол тобы болсын. Яғни, PH – сәйкестікке негізделген H-дегі жолдар кеңістігі, компакт ашық топологиямен жабдықталған. Жолдардың көбейтіндісі нүктелік көбейту арқылы беріледі, яғни (fg)(t) = f(t)g(t). Бұл PH-қа топологиялық топтың құрылымын береді. PH → H – жолды оның соңғы нүктесіне жіберу арқылы анықталатын табиғи топтық гомоморфизм бар. H-ның әмбебап жапқышы PH-ның нөлдік гомотоптық циклдердің нормальды субтобымен бөлінген үлесі ретінде беріледі. PH → H проекциясы жапқыш картаны беретін үлесге дейін төмендейді. әмбебап жапқыш жай байланысты және ядросы H-ның негізгі тобы екенін көрсетуге болады. Яғни, бізде қысқа дәл тізбек бар:
, мұндағы – H-ның әмбебап жапқышы. Нақтырақ айтқанда, H-ның әмбебап жапқыш тобы – H-дегі жолдардың гомотопиялық сыныптарының кеңістігі, жолдардың нүктелік көбеюімен жабдықталған. Жапқыш карта әрбір жол класын оның соңғы нүктесіне жібереді.
Қаптама топтарының торлары
Жоғарыда айтылғандай, егер топта әмбебап жапқыш тобы болса (егер ол жолмен байланысты, жергілікті жолмен байланысты және жартылай жергілікті түрде жай ғана байланысты болса), дискретті орталығы болса, онда әмбебап жапқыш топпен қамтылған барлық топологиялық топтардың жиынтығы тор құрайды, ол әмбебап жапқыш топтың ортасындағы кіші топтар торына сәйкес келеді: кіші топтарды қосу үлестік топтарды жабуға сәйкес келеді. Максималды элемент – бұл әмбебап жапқыш топ, ал минималды элемент – оның орталығы бойынша әмбебап жапқыш топ. Бұл алгебралық тұрғыдан әмбебап толық орталық кеңейтуге (аналогия бойынша «жапқыш топ» деп аталады) максималды элемент ретінде, ал топ – оның орталығы бойынша минималды элемент ретінде сәйкес келеді. Бұл Ли топтары үшін ерекше маңызды, өйткені бұл топтар белгілі бір Ли алгебрасының барлық (байланыс) іске асырылуы болып табылады. Көптеген Ли топтары үшін орталық скалярлық матрицалар тобы болып табылады, сондықтан орталығынан алынған топ Ли тобының проективтенуі болып табылады. Бұл жапқыштар Ли топтарының проекциялық бейнелеулерін зерттеуде маңызды, ал спиндік бейнелеулер спиндік топтарды ашуға әкеледі: Ли тобының проекциялық бейнелеуі міндетті түрде топтың сызықтық бейнелеуінен туындамайды, бірақ кейбір жапқыш топтың сызықтық бейнелеуінен туындайды, әсіресе әмбебап жапқыш топтан. Шектеулі аналогы жоғарыда айтылғандай, жапқыш топқа немесе Шур жапқышына әкелді. Басты мысал SL2(R) тобынан туындайды, онда орталық және негізгі топ Z болады. Бұл орталықсыз проективті арнайы сызықтық топтың екі еселенген жапқышы PSL2(R) болып табылады, ол орталықтан үлесті алу арқылы алынады. Ивасава ыдырауы бойынша екі топ та күрделі жоғарғы жарты жазықтықтағы шеңбер бундельдері болып табылады, ал олардың әмбебап жабуы – жарты жазықтықтағы Тёрстонның сегіз геометриясының біреуін құрайтын нақты сызық бунделі. Жарты жазықтық жиырылатын болғандықтан, барлық бундельдік құрылымдар тривиальды. SL2(Z) преобразы әмбебап жапқышта үш жіпті тоқ топқа изоморфты.
This corresponds algebraically to the universal perfect central extension (called "covering group", by analogy) as the maximal element, and a group mod its center as minimal element. This is particularly important for Lie groups, as these groups are all the (connected) realizations of a particular Lie algebra. For many Lie groups the center is the group of scalar matrices, and thus the group mod its center is the projectivization of the Lie group. These covers are important in studying projective representations of Lie groups, and spin representations lead to the discovery of spin groups: a projective representation of a Lie group need not come from a linear representation of the group, but does come from a linear representation of some covering group, in particular the universal covering group. The finite analog led to the covering group or Schur cover, as discussed above. A key example arises from SL2(R), which has center and fundamental group Z. It is a double cover of the centerless projective special linear group PSL2(R), which is obtained by taking the quotient by the center. By Iwasawa decomposition, both groups are circle bundles over the complex upper half plane, and their universal cover is a real line bundle over the half plane that forms one of Thurston's eight geometries. Since the half plane is contractible, all bundle structures are trivial. The preimage of SL2(Z) in the universal cover is isomorphic to the braid group on three strands.
Лей топтары
Жоғарыдағы анықтамалар мен құрылымдардың барлығы Ли топтарының ерекше жағдайына қатысты. Атап айтқанда, кез келген көптүрлінің жабыны – өзі көптүрлі болып табылады, ал жабу гомоморфизмі тегіс бейнелеуге айналады. Сол сияқты, егер Ли тобының кез келген дискретті нормаль кіші тобы берілсе, онда бөлу тобы Ли тобы болады және бөлу бейнелеуі жабу гомоморфизмі болады. Екі Ли тобы олардың Ли алгебралары изоморфты болса және тек сонда ғана жергілікті изоморфты болады. Бұл, Ли топтарының φ: G → H гомоморфизмі, егер және тек қана Ли алгебраларындағы туындаған бейнелеу изоморфизм болса, онда жабу гомоморфизмі болады дегенді білдіреді. Кез келген Ли алгебрасы үшін, Lie алгебрасы 1 = \mathfrak g-мен бірегей жай байланысқан Ли тобы G бар, сондықтан байланысты Ли тобының жалпы жапқыш тобы H, H-мен бірдей Ли алгебрасын қамтитын (бірден-бір) жай байланысқан Ли тобы G болып табылады.
is an isomorphism. Since for every Lie algebra there is a unique simply connected Lie group G with Lie algebra 1= \mathfrak g , from this follows that the universal covering group of a connected Lie group H is the (unique) simply connected Lie group G having the same Lie algebra as H.
Мысалдар
Шеңбер тобы T-ның әмбебап жабу тобы – (R, +) нақты сандардың қосу тобы, жабу гомоморфизмі R → T : x ↦ exp(2πix) бейнелеуімен берілген. Бұл бейнелеудің ядросы Z-ге изоморфты. Кез келген n бүтін саны үшін z-ді n-ге жіберетін T → T шеңбердің өзін жабатын тобы бар. Бұл гомоморфизмнің ядросы – бірліктің n-ші түбірінен тұратын циклдік топ. SO(3) айналу тобының әмбебап жабуы SU(2) тобы болып табылады, ол кватерниондардағы версорлар тобына изоморфты. Бұл қос жабу, өйткені ядроның реті 2-ге тең. (Танглоидтарды қараңыз.) U(n) бірлік тобы 1=p(z, A) = zA гомоморфизмімен берілген T × SU(n) жиырма топпен жабылады. әмбебап жабуы R × SU(n) болып табылады. SO(n) арнайы ортогональды тобы Spin(n) спин тобы деп аталатын қос жабуға ие. n ≥ 3 үшін спин тобы SO(n)-ның әмбебап жабуы болып табылады. n ≥ 2 үшін SL(n, R) арнайы сызықтық тобының әмбебап жабуы матрицалық топ емес (яғни, оның адал шекті өлшемді бейнелеулері жоқ).