Введение

Понятие в топологической теории групп – топологическая накрывающая группа.
В математике накрывающая группа топологической группы H – это накрывающее пространство G группы H, такое что G является топологической группой, а отображение накрытия p : G → H является непрерывным групповым гомоморфизмом. Отображение p называется накрывающим гомоморфизмом. Частым случаем является группа двойного накрытия, то есть топологическое двойное накрытие, в котором индекс H в G равен 2; примерами служат спиновые группы, пин-группы и метаплектические группы. Если говорить упрощенно, утверждение о том, что, например, метаплектическая группа Mp2n является двойным накрытием симплектической группы Sp2n, означает, что каждому элементу симплектической группы соответствуют два элемента в метаплектической группе.

Свойства

Пусть G является покрывающей группой H. Ядро K покрывающего гомоморфизма является просто волокном над единичным элементом в H и является дискретной нормальной подгруппой G. Ядро K замкнуто в G тогда и только тогда, когда G является хаусдорфовым пространством (и тогда и только тогда, когда H является хаусдорфовым пространством). В обратном направлении, если G – любая топологическая группа, а K – дискретная нормальная подгруппа G, то факторное отображение p : G → G / K является покрывающим гомоморфизмом. Если G связна, то K, будучи дискретной нормальной подгруппой, обязательно лежит в центре G и, следовательно, является абелевой. В этом случае центр G/K = H задается как…

Как и для всех покрывающих пространств, фундаментальная группа G мономорфно вкладывается в фундаментальную группу H. Поскольку фундаментальная группа топологической группы всегда абелева, любая покрывающая группа является нормальным покрывающим пространством. В частности, если G путь-связна, то фактор-группа π₁ (H) / π₁ (G) изоморфна K. Группа K действует просто транзитивно на волокна (которые являются просто левыми классами по модулю) посредством правого умножения. Тогда группа G является главным K-расслоением над H.

Если G является покрывающей группой H, то группы G и H локально изоморфны. Более того, для любых двух связных локально изоморфных групп H₁ и H₂, существует топологическая группа G с дискретными нормальными подгруппами K₁ и K₂, таких что H₁ изоморфна G / K₁ и H₂ изоморфна G / K₂.

Групповая структура на покрывающем пространстве

Пусть H — топологическая группа, а G — покрывающее пространство H. Если G и H связаны по пути и локально связаны по пути, то для любого выбора элемента e* в волокне над e ∈ H существует единственная топологическая групповая структура на G, с e* в качестве единицы, для которой покрывающее отображение p : G → H является гомоморфизмом. Построение следующее: пусть a и b — элементы G, а f и g — пути в G, начинающиеся в e* и заканчивающиеся соответственно в a и b. Определим путь h : I → H как h(t) = p(f(t))p(g(t)). Благодаря свойству подъема путей для покрывающих пространств существует единственный подъем h в G с начальной точкой e*. Произведение ab определяется как конечная точка этого пути. По построению имеем p(ab) = p(a)p(b). Необходимо показать, что это определение не зависит от выбора путей f и g, а также что групповые операции непрерывны. Альтернативно, групповой закон на G можно построить, подняв групповой закон H × H → H в G, используя свойство подъема покрывающего отображения G × G → H × H.

Несвязный случай интересен и изучается в работах Тейлора и Брауна-Мукука, упомянутых ниже. По существу, существует препятствие к существованию универсального покрытия, которое также является топологической группой, так что покрывающее отображение является морфизмом: это препятствие лежит в третьей когомологической группе группы компонент G с коэффициентами в фундаментальной группе G в единице.

Универсальная группа покрытия

Если H – связная, локально связная по путям и полулокально просто связная группа, то она имеет универсальное накрытие. При предыдущем построении универсальное накрытие можно представить как топологическую группу с покрывающим отображением, являющимся непрерывным гомоморфизмом. Эта группа называется универсальной группой накрытия для H. Существует также более прямой способ построения, который мы приведем ниже. Пусть PH – группа путей в H. То есть, PH – это пространство путей в H, начинающихся в единице, снабженное компактно-открытой топологией. Операция умножения путей задается поточечным умножением, то есть (fg)(t) = f(t)g(t). Это наделяет PH структурой топологической группы. Существует естественный групповой гомоморфизм PH → H, который отображает каждый путь в его конечную точку. Универсальное накрытие H задается как факторпространство PH по нормальной подгруппе гомотопически тривиальных петель. Проекция PH → H переходит в факторпространство, давая покрывающее отображение. Можно показать, что универсальное накрытие просто связно, а его ядро совпадает с фундаментальной группой H. Таким образом, мы получаем точную последовательность:

где – универсальное накрытие H. Конкретно, универсальная группа накрытия H – это пространство классов гомотопии путей в H с поточечным умножением путей. Покрывающее отображение переводит каждый класс путей в его конечную точку.

Сетка групп покрытия

Как показано выше, если группа имеет универсальную покрывающую группу (если она пути связна, локально пути связна и полулокально просто связна), с дискретным центром, то множество всех топологических групп, которые покрываются универсальной покрывающей группой, образует решетку, соответствующую решетке подгрупп центра универсальной покрывающей группы: включение подгрупп соответствует покрытию фактор-групп. Максимальный элемент – это универсальная покрывающая группа, а минимальный элемент – универсальная покрывающая группа по модулю её центра. Это алгебраически соответствует универсальному совершенному центральному расширению (называемому "покрывающей группой" по аналогии) как максимальному элементу, а группе по модулю её центра – как минимальному элементу. Это особенно важно для групп Ли, поскольку эти группы являются всеми (связными) реализациями конкретной алгебры Ли. Для многих групп Ли центр – это группа скалярных матриц, и, следовательно, группа по модулю её центра – это проективизация группы Ли. Эти покрытия важны для изучения проективных представлений групп Ли, а спинорные представления приводят к открытию спиновых групп: проективное представление группы Ли не обязательно происходит из линейного представления группы, но происходит из линейного представления некоторой покрывающей группы, в частности, универсальной покрывающей группы. Конечное аналогичное понятие привело к покрывающей группе или покрытию Шура, как обсуждалось выше. Ключевой пример возникает из SL₂(ℝ), которая имеет центр и фундаментальную группу ℤ. Это двойное покрытие безцентровой проективной специальной линейной группы PSL₂(ℝ), которая получается путем взятия фактор-группы по центру. По разложению Ивасавы обе группы являются круговыми расслоениями над верхней полуплоскостью комплексной плоскости, а их универсальное покрытие является вещественным линейным расслоением над полуплоскостью, которое образует одну из восьми геометрий Турстона. Поскольку полуплоскость стягиваема, все структуры расслоения тривиальны. Прообраз SL₂(ℤ) в универсальном покрытии изоморфен группе кос на три нити.

Группы лжи

Все вышеперечисленные определения и построения применимы к частному случаю групп Ли. В частности, любое покрытие многообразия само является многообразием, а покрывающий гомоморфизм становится гладким отображением. Аналогично, для любой дискретной нормальной подгруппы группы Ли факторгруппа является группой Ли, а факторное отображение – покрывающим гомоморфизмом. Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда их алгебры Ли изоморфны. Это влечет за собой, что гомоморфизм φ : G → H групп Ли является покрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение на алгебрах Ли является изоморфизмом. Поскольку для каждой алгебры Ли существует единственная простосвязная группа Ли G с алгеброй Ли 1= \mathfrak g , из этого следует, что универсальной покрывающей группой связной группы Ли H является (единственная) простосвязная группа Ли G, имеющая ту же алгебру Ли, что и H.

Примеры

Универсальная группа покрытия круговой группы T является аддитивной группой действительных чисел (R, +) с покрывающим гомоморфизмом, заданным отображением R → T: x ↦ exp(2πix). Ядро этого отображения изоморфно Z. Для любого целого числа n существует покрытие круга самим собой T → T, которое отображает z в n. Ядро этого гомоморфизма – циклическая группа, состоящая из n-х корней из единицы. Группа вращений SO(3) имеет в качестве универсального покрытия группу SU(2), которая изоморфна группе версоров в кватернионах. Это двойное покрытие, поскольку ядро имеет порядок 2. (см. танглоиды.) Унитарная группа U(n) покрывается компактной группой T × SU(n) с покрывающим гомоморфизмом, заданным как p(z, A) = zA. Универсальное покрытие – R × SU(n). Специальная ортогональная группа SO(n) имеет двойное покрытие, называемое спиновой группой Spin(n). Для n ≥ 3 спиновая группа является универсальным покрытием SO(n). Для n ≥ 2 универсальное покрытие специальной линейной группы SL(n, R) не является матричной группой (т.е. не имеет верных конечномерных представлений).