Группалық өкілдіктердегі басымдық жүйесінің математикалық негіздері
System of imprimitivity
Импримитивті жүйелер математикада, әсіресе топтар теориясында маңызды. Маккейдің индукцияланған өкілдіктерінде қолданылады. Топтар мен топшалар арасындағы байланыс түсіндіріледі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Импримитивтік жүйе ұғымы математикада, әсіресе алгебра мен талдауда, топтық бейнелеулер теориясы аясында қолданылады. Оны Джордж Макки жергілікті компактты топтардың индукцияланған унитарлық бейнелеулер теориясының негізі ретінде пайдаланды. Ең қарапайым жағдай, және идея алғаш рет байқалған контекст – шекті топтар (бастапқы пермутация тобы). G тобын және H және K кіші топтарын қарастырайық, мұнда K, H-ның ішінде жатыр. Содан кейін G-дегі H-ның сол жақ косеттерінің әрқайсысы K-ның сол жақ косеттерінің бірігімі болып табылады. Ғана емес, G-нің кез келген g элементімен жасалатын ауыстыру (бір жағынан) осы жіктелуді сақтайды. Индукцияланған бейнелеулермен байланысы – косеттердегі пермутациялық бейнелеу, тривиальды бейнелеуден индукцияланған бейнелеудің ерекше жағдайы болып табылады. Бұл жағдайда ауыстыру арқылы сақталатын комбинаторлық құрылым, K-ның G-нің максималды кіші тобы екенін, немесе импримитивтік жүйе бар екенін көрсетеді (шамамен толық "араласудың" болмауы). Мұны басқа жағдайларда жалпылау үшін, ұғым қайтадан тұжырымдалады: біріншіден, K косеттерінде G тұрақты функциялары түрінде, содан кейін проекция операторлары (мысалы, топтық алгебра элементтерінің K косеттері бойынша орташа мәні). Макки бұл идеяны конфигурациялық кеңістікке әсер ететін туыстық топтарын сақтау негізінде кванттау теориясын түсіндіру үшін де қолданды. Бұл Эвгений Вигнер және басқалардың жұмысын жалпылады және көбінесе канондық кванттаудағы пионерлік идеялардың бірі саналады.
The concept of a system of imprimitivity is used in mathematics, particularly in algebra and analysis, both within the context of the theory of group representations. It was used by George Mackey as the basis for his theory of induced unitary representations of locally compact groups. The simplest case, and the context in which the idea was first noticed, is that of finite groups (see primitive permutation group). Consider a group G and subgroups H and K, with K contained in H. Then the left cosets of H in G are each the union of left cosets of K. Not only that, but translation (on one side) by any element g of G respects this decomposition. The connection with induced representations is that the permutation representation on cosets is the special case of induced representation, in which a representation is induced from a trivial representation. The structure, combinatorial in this case, respected by translation shows that either K is a maximal subgroup of G, or there is a system of imprimitivity (roughly, a lack of full "mixing"). In order to generalise this to other cases, the concept is re expressed: first in terms of functions on G constant on K cosets, and then in terms of projection operators (for example the averaging over K cosets of elements of the group algebra). Mackey also used the idea for his explication of quantization theory based on preservation of relativity groups acting on configuration space. This generalized work of Eugene Wigner and others and is often considered to be one of the pioneering ideas in canonical quantization.
Мысал
(G,X) жұбының H бөлінетін Хилберт кеңістігіндегі (U, π) импримитивтілік жүйесі, егер және тек қана барлық g ∈ G және X-тің Борель жиыны A үшін Ug және π(A) операторларына қатысты инвариантты жабық қосалқы кеңістіктер тек H немесе {0} болса, қайталанбас болып табылады. Егер (U, π) қайталанбас болса, онда π гомогенді. Сонымен қатар, бұрынғы теорема бойынша X-тегі сәйкес өлшем эргодикалық болады.
A system of imprimitivity (U, π) of (G,X) on a separable Hilbert space H is irreducible if and only if the only closed subspaces invariant under all the operators Ug and π(A) for g and element of G and A a Borel subset of X are H or {0}. If (U, π) is irreducible, then π is homogeneous. Moreover, the corresponding measure on X as per the previous theorem is ergodic.