Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Понятие системы импримитивности используется в математике, особенно в алгебре и анализе, в контексте теории представлений групп. Джордж Макки использовал его в качестве основы для своей теории индуцированных унитарных представлений локально компактных групп. Самый простой случай, и контекст, в котором эта идея была впервые замечена, – это случай конечных групп (см. примитивную группу перестановок). Рассмотрим группу G и подгруппы H и K, причём K содержится в H. Тогда левые классы по модулю H в G являются объединением левых классов по модулю K. Более того, сдвиг (с одной стороны) любым элементом g из G сохраняет это разложение. Связь с индуцированными представлениями заключается в том, что представление по перестановкам на классах является частным случаем индуцированного представления, в котором представление индуцируется из тривиального представления. Структура, комбинаторная в данном случае, сохраняемая сдвигом, показывает, что либо K является максимальной подгруппой G, либо существует система импримитивности (грубо говоря, отсутствие полного "перемешивания"). Чтобы обобщить это на другие случаи, концепция переформулируется: сначала в терминах функций на G, постоянных на классах по модулю K, а затем в терминах операторов проекции (например, усреднение по классам по модулю K элементов групповой алгебры). Макки также использовал эту идею для своего объяснения теории квантования, основанной на сохранении групп относительности, действующих на конфигурационное пространство. Эта обобщённая работа Юджина Вигнера и других часто считается одной из основополагающих идей в каноническом квантовании.
The concept of a system of imprimitivity is used in mathematics, particularly in algebra and analysis, both within the context of the theory of group representations. It was used by George Mackey as the basis for his theory of induced unitary representations of locally compact groups. The simplest case, and the context in which the idea was first noticed, is that of finite groups (see primitive permutation group). Consider a group G and subgroups H and K, with K contained in H. Then the left cosets of H in G are each the union of left cosets of K. Not only that, but translation (on one side) by any element g of G respects this decomposition. The connection with induced representations is that the permutation representation on cosets is the special case of induced representation, in which a representation is induced from a trivial representation. The structure, combinatorial in this case, respected by translation shows that either K is a maximal subgroup of G, or there is a system of imprimitivity (roughly, a lack of full "mixing"). In order to generalise this to other cases, the concept is re expressed: first in terms of functions on G constant on K cosets, and then in terms of projection operators (for example the averaging over K cosets of elements of the group algebra). Mackey also used the idea for his explication of quantization theory based on preservation of relativity groups acting on configuration space. This generalized work of Eugene Wigner and others and is often considered to be one of the pioneering ideas in canonical quantization.
Пример
Система импримитивности (U, π) для пары (G, X) на сепарабельном гильбертовом пространстве H называется неприводимой, если и только если единственными замкнутыми подпространствами, инвариантными относительно всех операторов Ug и π(A) для g ∈ G и борелевского множества A ⊆ X, являются H или {0}. Если (U, π) неприводима, то π является однородной. Более того, соответствующее мере на X, как указано в предыдущей теореме, является эргодической.
A system of imprimitivity (U, π) of (G,X) on a separable Hilbert space H is irreducible if and only if the only closed subspaces invariant under all the operators Ug and π(A) for g and element of G and A a Borel subset of X are H or {0}. If (U, π) is irreducible, then π is homogeneous. Moreover, the corresponding measure on X as per the previous theorem is ergodic.