Введение

Математическая формула, выражающая равенство

В математике уравнение — это математическая формула, выражающая равенство двух выражений, соединенных знаком равенства. Слово «уравнение» и его соотвествия в других языках могут иметь несколько различные значения; например, во французском языке уравнение определяется как содержащее одну или несколько переменных, в то время как в английском языке любое корректно составленное выражение, состоящее из двух связанных знаком равенства выражений, является уравнением. Решение уравнения, содержащего переменные, заключается в определении значений переменных, при которых равенство становится истинным. Переменные, для которых уравнение требуется решить, также называются неизвестными, а значения неизвестных, удовлетворяющие равенству, называются решениями уравнения. Существуют два типа уравнений: тождества и уравнения с условиями. Тождество верно для всех значений переменных. Уравнение с условиями верно только для определенных значений переменных. Символ «=», который присутствует в каждом уравнении, был изобретен в 1557 году Робертом Рекордом, который полагал, что ничто не может быть более равным, чем параллельные прямые линии одинаковой длины. Например,

являются параметрическими уравнениями единичной окружности, где t — параметр. Вместе эти уравнения называются параметрическим представлением кривой. Понятие параметрического уравнения было обобщено для поверхностей, многообразий и алгебраических многообразий более высокой размерности, при этом число параметров равно размерности многообразия или многообразия, а число уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность равна единице и используется один параметр, для поверхностей — два измерения и два параметра и т. д.).

Диофантические уравнения

Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более неизвестными, для которого ищутся только целочисленные решения (целочисленное решение — это решение, при котором все неизвестные принимают целые значения). Линейное диофантово уравнение — это уравнение между двумя суммами мономов степени ноль или один. Примером линейного диофантового уравнения является , где a, b и c — константы. Экспоненциальное диофантово уравнение — это уравнение, в котором показатели членов уравнения могут быть неизвестными. Диофантовы задачи имеют меньше уравнений, чем неизвестных переменных, и заключаются в поиске целых чисел, удовлетворяющих всем уравнениям. В более строгой формулировке, они определяют алгебраическую кривую, алгебраическую поверхность или более общий объект и задают вопрос о точках с целыми координатами на них. Термин «диофантово» восходит к эллинистическому математику III века Диофанту Александрийскому, который изучал подобные уравнения и был одним из первых математиков, применивших символику в алгебре. Математическое исследование диофантовых задач, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом.

Алгебраические и трансцендентные числа

Алгебраическое число — это число, являющееся решением ненулевого полиномиального уравнения с одной переменной и рациональными коэффициентами (или, что эквивалентно, после приведения к целым коэффициентам). Числа, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. Почти все действительные и комплексные числа трансцендентны.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — это раздел математики, классически изучающий решения полиномиальных уравнений. Современная алгебраическая геометрия основана на более абстрактных методах абстрактной алгебры, особенно коммутативной алгебры, используя язык и постановку задач геометрии. Основными объектами изучения в алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия, являющиеся геометрическим воплощением решений систем полиномиальных уравнений. Примерами наиболее изучаемых классов алгебраических многообразий являются: плоские алгебраические кривые, включающие прямые, окружности, параболы, эллипсы, гиперболы, кубические кривые, такие как эллиптические кривые и квартичные кривые, такие как лемнискаты, и овалы Кассини. Точка плоскости принадлежит алгебраической кривой, если её координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению. Основные вопросы связаны с изучением точек особого интереса, таких как сингулярные точки, точки перегиба и точки на бесконечности. Более сложные вопросы касаются топологии кривой и соотношений между кривыми, заданными различными уравнениями.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение – это математическое уравнение, связывающее некоторую функцию с её производными. В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные – скорости их изменения, а уравнение определяет взаимосвязь между ними. Решение дифференциального уравнения заключается в нахождении выражения для функции, не содержащего производных. Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, включающих скорости изменения переменных, и применяются в таких областях, как физика, химия, биология и экономика. В чистой математике дифференциальные уравнения изучаются с различных точек зрения, в основном с точки зрения их решений – множества функций, удовлетворяющих уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения могут быть решены аналитически с помощью явных формул; однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения можно определить, не находя их точного вида. Если аналитическая формула для решения недоступна, решение может быть численно аппроксимировано с использованием компьютеров. Теория динамических систем делает акцент на качественном анализе систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как разработано множество численных методов для определения решений с заданной степенью точности.

Обычные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение, или ОДУ, – это уравнение, содержащее функцию одной независимой переменной и её производные. Термин "обыкновенное" используется в отличие от частного дифференциального уравнения, которое может быть задано относительно нескольких независимых переменных. Линейные дифференциальные уравнения, решения которых можно складывать и умножать на коэффициенты, хорошо изучены и понятны, и для них получаются точные решения в замкнутой форме. В отличие от них, ОДУ, не имеющие линейных комбинаций решений, являются нелинейными, и их решение гораздо сложнее, поскольку их редко удаётся представить элементарными функциями в замкнутой форме: вместо этого точные и аналитические решения ОДУ выражаются в виде рядов или интегралов. Графические и численные методы, применяемые вручную или с помощью компьютера, могут приближённо решать ОДУ и, возможно, давать полезную информацию, часто оказываясь достаточными при отсутствии точных аналитических решений.

Частичные дифференциальные уравнения

Частичное дифференциальное уравнение (ПДУ) – это дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. (В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, которые оперируют функциями одной переменной и их производными.) ПДУ используются для математической формулировки задач, связанных с функциями многих переменных, и могут быть решены аналитически или использованы для создания соответствующей компьютерной модели. ПДУ позволяют описывать широкий спектр явлений, таких как звук, теплопроводность, электростатика, электродинамика, течение жидкости, упругость или квантовая механика. Эти, на первый взгляд, различные физические явления могут быть формализованы схожим образом с помощью ПДУ. Подобно тому, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы, частичные дифференциальные уравнения часто моделируют многомерные системы. Обобщением ПДУ являются стохастические уравнения в частных производных.