Фиттинг топшасы және оның қасиеттері

Кіріспе

Математикада, әсіресе алгебраның топтық теория деп аталатын саласында, Ханс Фитингтің есімімен аталған шекті топтың F Fitting кіші тобы – G тобының ең үлкен нормальді нилпотентті кіші тобы болып табылады. Шартты түрде, ол G шешілмелі болғанда G тобының құрылымын "бақылайтын" ең кіші кіші топты көрсетеді. G шешілмесе, ұқсас рөлді F* жалпыланған Fitting кіші тобы атқарады, ол Fitting кіші тобы мен G тобының компоненттері арқылы жасалады.

Кез келген (қажетті түрде шекті емес) G тобы үшін Fitting кіші тобы – G тобының нилпотентті нормальді кіші топтары арқылы жасалған кіші топ деп анықталады. Шексіз топтар үшін Fitting кіші тобы әрқашан нилпотентті болмайды. Осы мақаланың қалған бөлігі тек шекті топтарды қарастырады.

Қосымша топ

Фитинг теоремасы бойынша, шекті топтың Фитинг субтобының нөлдік потенциясы кепілдендіріледі, яғни G-дің нормальді нөлдік потенциялық субтоптарының шекті жиынтығының көбейтіндісі қайтадан нормальді нөлдік потенциялық субтоп болады. Ол сондай-ақ, G-нің ретін бөлетін барлық p сандары бойынша G-нің p-ядроларының көбейтіндісі ретінде нақты құрастырылуы мүмкін.

Егер G – шекті, тривиальды емес шешілетін топ болса, онда Фитинг субтобы әрқашан тривиальды емес, яғни егер G≠1 шекті шешілетін болса, онда F(G)≠1. Сол сияқты, егер G өзі нильпотентті болмаса, G/F(G)-нің Фитинг субтобы тривиальды емес болады, бұл Фитинг ұзындығы деген ұғымды тудырады. Шекті шешілетін топтың Фитинг субтобы өзінің орталықтандырғышын қамтитындықтан, бұл шекті шешілетін топтарды нильпотентті топтардың адал автоморфизм топтары арқылы нильпотентті топтардың кеңейтулері ретінде түсінуге мүмкіндік береді. Нильпотентті топта, әрбір бас фактор әрбір элементпен орталықтандырылады. Шартты сәл жеңілдетіп, әрбір бас факторды орталықтандыратын жалпы шекті топтың элементтерінің субтобын алғанда, қайтадан Фитинг субтобын аламыз: p-нильпотентті топтарға жалпылау ұқсас.

Жалпыланған "Қою" кіші тобы

Топтың құрамдас бөлігі — субнормальды квазижарпайым субтоп. (Топ, егер ол жай топтың орталық толық кеңейтімі болса, квазижарпайым болып табылады.) Топтың E(G) немесе L(G) қабаты — барлық құрамдастардан құрылған кіші топ. Кез келген екі құрамдас топ өзара тепе-теңдікке ие, сондықтан қабат — жай топтардың көбейтіндісінің орталық толық кеңейтімі және бұл құрылыммен G-дің ең үлкен қалыпты кіші тобы болып табылады. Жалпыланған Fitting кіші тобы F*(G) — қабат пен Fitting кіші тобынан құрылған кіші топ. Қабат Fitting кіші тобымен өзара тепе-теңдікке ие, сондықтан жалпыланған Fitting кіші тобы p-топтары мен жай топтардың көбейтіндісінің орталық кеңейтімі болып табылады. Қабат сондай-ақ максималды қалыпты жартылайжарпайым кіші топ болып табылады, егер топ жай топтардың көбейтіндісінің орталық толық кеңейтімі болса, онда топ жартылайжарпайым деп аталады. Жалпыланған Fitting кіші тобының бұл анықтамасы оның кейбір мақсатты қолданыстарымен негізделуі мүмкін. Өзінің орталықтандырғышы мен Fitting тобын қамтитын G-дің H қалыпты кіші тобын анықтауға тырысу мәселесін қарастырайық. Егер C — H-дің орталықтандырғышы болса, онда C H-де қамтылғанын дәлелдегіміз келеді. Егер жоқ болса, C/Z(H)-ның минималды сипаттамалық кіші тобын M/Z(H) таңдаңыз, мұнда Z(H) — H-дің орталығы, бұл C және H қиылысына тең. Содан кейін M/Z(H) — жай немесе циклдік топтардың көбейтіндісі, өйткені ол сипаттамалық жай. Егер M/Z(H) — циклдік топтардың көбейтіндісі болса, онда M Fitting кіші тобында болуы керек. Егер M/Z(H) — абельдік емес жай топтардың көбейтіндісі болса, онда M-нің туынды кіші тобы M/Z(H)-ға гомоморфты болатын қалыпты жартылайжарпайым кіші топ болып табылады. Егер H құрамында Fitting кіші тобы және барлық қалыпты жартылайжарпайым кіші топтар болса, онда M/Z(H) тривиальды болуы керек, сондықтан H өзінің орталықтандырғышын қамтиды. Жалпыланған Fitting кіші тобы — Fitting кіші тобы мен барлық қалыпты жартылайжарпайым кіші топтарды қамтитын ең кіші кіші топ. Жалпыланған Fitting кіші тобын бас факторлардың жалпыланған орталықтандырғышы ретінде де қарастыруға болады. Абельдік емес жартылайжарпайым топ өзін орталықтастыра алмайды, бірақ ол ішкі автоморфизмдер ретінде өзіне әрекет етеді. Топ квази-нилпотентті деп аталады, егер әрбір элемент әрбір бас факторда ішкі автоморфизм ретінде әрекет етсе. Жалпыланған Fitting кіші тобы — бұл ең үлкен subnormal квази-нилпотентті кіші топ және бүкіл топтың әрбір бас факторы бойынша ішкі автоморфизмдер ретінде әрекет ететін барлық элементтердің жиынына тең: Мұнда g элементі HCG(H/K) егер және егер H-де қандай да бір h болса, онда H-де әр x үшін xg ≡ xh (mod K).

A component of a group is a subnormal quasisimple subgroup. (A group is quasisimple if it is a perfect central extension of a simple group.) The layer E(G) or L(G) of a group is the subgroup generated by all components. Any two components of a group commute, so the layer is a perfect central extension of a product of simple groups, and is the largest normal subgroup of G with this structure. The generalized Fitting subgroup F*(G) is the subgroup generated by the layer and the Fitting subgroup. The layer commutes with the Fitting subgroup, so the generalized Fitting subgroup is a central extension of a product of p groups and simple groups. The layer is also the maximal normal semisimple subgroup, where a group is called semisimple if it is a perfect central extension of a product of simple groups. This definition of the generalized Fitting subgroup can be motivated by some of its intended uses. Consider the problem of trying to identify a normal subgroup H of G that contains its own centralizer and the Fitting group. If C is the centralizer of H we want to prove that C is contained in H. If not, pick a minimal characteristic subgroup M/Z(H) of C/Z(H), where Z(H) is the center of H, which is the same as the intersection of C and H. Then M/Z(H) is a product of simple or cyclic groups as it is characteristically simple. If M/Z(H) is a product of cyclic groups then M must be in the Fitting subgroup. If M/Z(H) is a product of non abelian simple groups then the derived subgroup of M is a normal semisimple subgroup mapping onto M/Z(H). So if H contains the Fitting subgroup and all normal semisimple subgroups, then M/Z(H) must be trivial, so H contains its own centralizer. The generalized Fitting subgroup is the smallest subgroup that contains the Fitting subgroup and all normal semisimple subgroups. The generalized Fitting subgroup can also be viewed as a generalized centralizer of chief factors. A nonabelian semisimple group cannot centralize itself, but it does act on itself as inner automorphisms. A group is said to be quasi nilpotent if every element acts as an inner automorphism on every chief factor. The generalized Fitting subgroup is the unique largest subnormal quasi nilpotent subgroup, and is equal to the set of all elements which act as inner automorphisms on every chief factor of the whole group :

Here an element g is in HCG(H/K) if and only if there is some h in H such that for every x in H, xg ≡ xh mod K.

Қасиеттері

Егер G – шекті шешілетін топ болса, онда Fitting кіші тобы өзінің орталықтандырғышын қамтиды. Fitting кіші тобының орталықтандырғышы – Fitting кіші тобының центрі болып табылады. Бұл жағдайда, жалпыланған Fitting кіші тобы Fitting кіші тобымен бірдей. Көбірек айтқанда, егер G – шекті топ болса, онда жалпыланған Fitting кіші тобы өзінің орталықтандырғышын қамтиды. Бұл, белгілі бір мағынада, жалпыланған Fitting кіші тобы G-ні бақылайды дегенді білдіреді, себебі G, F*(G) орталықтандырғышы бойынша алынғанда, F*(G) автоморфизмдер тобының ішінде болады, ал F*(G) орталықтандырғышы F*(G)-нің ішінде орналасқан. Атап айтқанда, берілген жалпыланған Fitting кіші тобына ие топтардың саны шекті.

Қолданбалар

Шекті топтың тривиалды емес p-ішкі топтарының нормализаторлары p-локалды кіші топтар деп аталады және топтың құрылымына зор ықпал етеді (жергілікті талдау жүргізуге мүмкіндік береді). Егер F*(G) әрбір p-локалды кіші топ үшін p-топ болса, онда шекті топ сипаттамалық p-типті деп аталады, себебі сипаттамасы p-ге тең өріс үстінде анықталған кез келген Lie-типті топтың мұндай қасиеті бар. Бұл шекті қарапайым топтарды жіктеу кезінде қарапайым топты қай өріс үстінде анықтау керектігін болжауға көмектеседі. Кейбір топтардың бірнеше p-ге сипаттамалық p-типті болатынын ескеру қажет.

Егер қарапайым топ берілген сипаттамалық p өрісі үстінде Lie-типті болмаса, онда p-локалды кіші топтарының көбінесе жалпыланған Fitting кіші тобында компоненттері болады, бірақ кіші дәрежелі, кіші өрістерде анықталған немесе спорадикалық топтар үшін көптеген ерекшеліктер бар. Бұл шекті қарапайым топтарды жіктеу үшін қолданылады, өйткені егер p-локалды кіші топтың белгілі компоненті болса, онда бүкіл топты анықтау мүмкін. Шекті қарапайым топтарды олардың максималды кіші топтарының жалпыланған Fitting кіші топтарының құрылымы мен енгізілуі арқылы талдауды Гельмут Бендер бастады және ол Бендер әдісі деп танылды. Бұл әсіресе компоненттер немесе сигнализатор функторларын қолдану мүмкін болмайтын ерекше жағдайларда тиімді.