Введение

В математике, особенно в области алгебры, известной как теория групп, фитингова подгруппа F конечной группы G, названная в честь Ханса Фитинга, является единственной наибольшей нормальной нильпотентной подгруппой G. Интуитивно, она представляет собой наименьшую подгруппу, которая "управляет" структурой G, когда G разрешима. Когда G не разрешима, аналогичную роль играет обобщённая фитингова подгруппа F*, которая порождается фитинговой подгруппой и компонентами G. Для произвольной (не обязательно конечной) группы G фитингова подгруппа определяется как подгруппа, порождённая нильпотентными нормальными подгруппами G. Для бесконечных групп фитингова подгруппа не всегда является нильпотентной. Остальная часть статьи посвящена исключительно конечным группам.

Подгруппа "Приспособления"

Нилпотентность подгруппы Фитинга конечной группы гарантируется теоремой Фитинга, которая утверждает, что произведение конечного числа нормальных нилпотентных подгрупп группы G снова является нормальной нилпотентной подгруппой. Её также можно явно построить как произведение p-ядер группы G по всем простым числам p, делящим порядок G.

Если G – конечная нетривиальная разрешимая группа, то подгруппа Фитинга всегда нетривиальна, то есть, если G≠1 конечно разрешима, то F(G)≠1. Аналогично, подгруппа Фитинга группы G/F(G) будет нетривиальной, если G сама не является нилпотентной, что приводит к понятию длины Фитинга. Поскольку подгруппа Фитинга конечной разрешимой группы содержит свой собственный централизатор, это дает возможность изучать конечные разрешимые группы как расширения нилпотентных групп посредством верных групп автоморфизмов нилпотентных групп. В нилпотентной группе каждый главный фактор централизуется каждым элементом. Несколько ослабив это условие и рассматривая подгруппу элементов общей конечной группы, централизующих каждый главный фактор, мы снова получаем подгруппу Фитинга:

Обобщение на p-нилпотентные группы аналогично.

Обобщенная подгруппа "Приспособления"

Компонентом группы является субнормальная квазипростая подгруппа. (Группа называется квазипростой, если она является идеальным центральным расширением простой группы.) Слой E(G) или L(G) группы — это подгруппа, порожденная всеми компонентами. Любые два компонента группы коммутируют, поэтому слой является идеальным центральным расширением произведения простых групп и является наибольшей нормальной подгруппой G с такой структурой. Обобщенная подгруппа Fitting F*(G) — это подгруппа, порожденная слоем и подгруппой Fitting. Слой коммутирует с подгруппой Fitting, поэтому обобщенная подгруппа Fitting является центральным расширением произведения p-групп и простых групп. Слой также является максимальной нормальной полупростой подгруппой, где группа называется полупростой, если она является идеальным центральным расширением произведения простых групп. Это определение обобщенной подгруппы Fitting может быть мотивировано некоторыми из ее предполагаемых применений. Рассмотрим задачу определения нормальной подгруппы H группы G, которая содержит свой собственный централизатор и группу Fitting. Если C — централизатор H, мы хотим доказать, что C содержится в H. Если это не так, выберем минимальную характерную подгруппу M/Z(H) в C/Z(H), где Z(H) — центр H, который совпадает с пересечением C и H. Тогда M/Z(H) является произведением простых или циклических групп, поскольку она характеристически проста. Если M/Z(H) является произведением циклических групп, то M должна содержаться в подгруппе Fitting. Если M/Z(H) является произведением неабелевых простых групп, то производная подгруппа M является нормальной полупростой подгруппой, отображающейся на M/Z(H). Следовательно, если H содержит подгруппу Fitting и все нормальные полупростые подгруппы, то M/Z(H) должно быть тривиальным, и, значит, H содержит свой собственный централизатор. Обобщенная подгруппа Fitting — это наименьшая подгруппа, которая содержит подгруппу Fitting и все нормальные полупростые подгруппы. Обобщенную подгруппу Fitting также можно рассматривать как обобщенный централизатор главных факторов. Неабелева полупростая группа не может централизовать себя, но она действует на себя как внутренние автоморфизмы. Группа называется квазинилпотентной, если каждый элемент действует как внутренний автоморфизм на каждом главном факторе. Обобщенная подгруппа Fitting является единственной наибольшей субнормальной квазинилпотентной подгруппой и равна множеству всех элементов, которые действуют как внутренние автоморфизмы на каждом главном факторе всей группы: Здесь элемент g принадлежит HCG(H/K) тогда и только тогда, когда существует элемент h в H, такой что для каждого x в H, xg ≡ xh (mod K).

Свойства

Если G — конечная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга содержит свой собственный централизатор. Централизатор подгруппы Фиттинга является центром подгруппы Фиттинга. В этом случае обобщенная подгруппа Фиттинга равна подгруппе Фиттинга. В более общем случае, если G — конечная группа, то обобщенная подгруппа Фиттинга содержит свой собственный централизатор. Это означает, что в некотором смысле обобщенная подгруппа Фиттинга контролирует G, поскольку факторгруппа G по централизатору F*(G) содержится в группе автоморфизмов F*(G), а централизатор F*(G) содержится в F*(G). В частности, существует лишь конечное число групп с заданной обобщенной подгруппой Фиттинга.

Приложения

Нормализаторы нетривиальных p-подгрупп конечной группы называются p-локальными подгруппами и оказывают значительное влияние на структуру группы (позволяя проводить так называемый локальный анализ). Конечная группа называется группой p-характеристического типа, если F*(G) является p-группой для каждой p-локальной подгруппы, поскольку любая группа типа Ли, определенная над полем характеристики p, обладает этим свойством. В классификации конечных простых групп это позволяет предположить, над каким полем должна быть определена простая группа. Следует отметить, что некоторые группы являются группами p-характеристического типа для более чем одного p.

Если простая группа не является группой типа Ли над полем заданной характеристики p, то p-локальные подгруппы обычно имеют компоненты в обобщенной подгруппе Фиттинга, хотя существует множество исключений для групп с малым рангом, определенных над малыми полями или являющихся спорадическими. Это используется для классификации конечных простых групп, поскольку, если p-локальная подгруппа имеет известный компонент, часто можно идентифицировать всю группу. Анализ конечных простых групп посредством структуры и вложения обобщенных подгрупп Фиттинга их максимальных подгрупп был разработан Гельмутом Бендером и получил название метода Бендера. Он особенно эффективен в исключительных случаях, когда компоненты или сигнализаторы неприменимы.