Кіріспе
Математикада, топ үшін Фөлнер тізбегі – белгілі бір шартты қанағаттандыратын жиындықтардың тізбегі. Егер топтың өзіне әрекет етуіне қатысты Фөлнер тізбегі болса, онда топ қабылданатын болады. Фөлнер торларының көбірек жалпылама түсінігі де ұқсас түрде анықталуы мүмкін және ол санаусыз топтарды зерттеуге ыңғайлы. Фөлнер тізбегі Эрлинг Фөлнердің құрметіне аталған.
Мысалдар
Кез келген шекті топта әрбір сану үшін Фелнер тізбегі болады. Бүтін сандар тобын қарастырайық, ол қосылу арқылы өзінің үстінде әрекет етеді. Егер болса, онда - бұл мен арасындағы бүтін сандардан тұрады. Сонда - бұл мен арасындағы бүтін сандардан тұрады. үлкен болғанда, симметриялық айырманың мөлшері -қа тең, ал үлкен болғанда, алынған қатынас 0-ге жақындайды. Фелнер тізбегінің бастапқы анықтамасы бойынша, топта Фелнер тізбегі бар егер және тек қана егер ол саналатын және қабылданатын болса. Жергілікті ықшам топта (жалпыланған анықтама бойынша) Фелнер тізбегі бар, егер және тек қана егер ол қабылданатын және екінші рет саналатын болса.
Қосымша талаптарға сай екендігін растау
Бізде бір топ және Фөлнер тізбегі бар, және біз топтың кез келген ішкі жиынының қаншалықты көлемді алып жатқанын көрсететін өлшемді анықтауымыз керек. Фөлнер тізбегін пайдаланатын табиғи анықтама былай болар:
Of course, this limit doesn't necessarily exist. To overcome this technicality, we take an ultrafilter on the natural numbers that contains intervals Then we use an ultralimit instead of the regular limit:
It turns out ultralimits have all the properties we need. Namely,
is a probability measure. That is, , since the ultralimit coincides with the regular limit when it exists. is finitely additive. This is since ultralimits commute with addition just as regular limits do. is left invariant. This is since
by the Følner sequence definition.
Әрине, бұл лимит міндетті түрде болуы мүмкін емес. Бұл техникалық қиындықтың үстінен өту үшін, біз интервалдарды қамтитын натурал сандарға ультрафильтр қолданамыз, содан кейін әдеттегі лимит орнына ультралимит қолданамыз:
Of course, this limit doesn't necessarily exist. To overcome this technicality, we take an ultrafilter on the natural numbers that contains intervals Then we use an ultralimit instead of the regular limit:
It turns out ultralimits have all the properties we need. Namely,
is a probability measure. That is, , since the ultralimit coincides with the regular limit when it exists. is finitely additive. This is since ultralimits commute with addition just as regular limits do. is left invariant. This is since
by the Følner sequence definition.
Ультралимиттердің бізге қажетті барлық қасиеттері бар екені анықталды. Атап айтқанда, бұл ықтималдық өлшемі. Яғни, , себебі ультралимит, егер ол бар болса, тұрақты лимитпен сәйкес келеді. Бұл шекті түрде қосылады. Өйткені ультралимиттер, тұрақты лимиттер сияқты, қосумен үйлеседі. Бұл солға қарай өзгермейді. Бұл Фөлнер тізбегінің анықтамасы бойынша.
Of course, this limit doesn't necessarily exist. To overcome this technicality, we take an ultrafilter on the natural numbers that contains intervals Then we use an ultralimit instead of the regular limit:
It turns out ultralimits have all the properties we need. Namely,
is a probability measure. That is, , since the ultralimit coincides with the regular limit when it exists. is finitely additive. This is since ultralimits commute with addition just as regular limits do. is left invariant. This is since
by the Følner sequence definition.