Введение

В математике последовательность Фёльнера для группы — это последовательность множеств, удовлетворяющих определённому условию. Если группа обладает последовательностью Фёльнера относительно своего действия на себя, то эта группа является податливой (или аменной). Более общее понятие сетей Фёльнера может быть определено аналогичным образом и подходит для изучения несчётных групп. Последовательности Фёльнера названы в честь Эрлинга Фёльнера.

Примеры

Любая конечная группа тривиально имеет последовательность Фёльнера для каждой группы. Рассмотрим группу целых чисел, действующую на себя посредством сложения. Пусть множество состоит из целых чисел между и , тогда множество состоит из целых чисел между и . Для больших , симметричная разность имеет размер , в то время как имеет размер . Получающееся отношение равно , которое стремится к 0 при увеличении . Согласно исходному определению последовательности Фёльнера, группа имеет последовательность Фёльнера тогда и только тогда, когда она счетна и податлива. Локально компактная группа имеет последовательность Фёльнера (с обобщенным определением) тогда и только тогда, когда она податлива и счетно вторая.

Доказательство приемлемости

У нас есть группа и последовательность Фёльнера, и нам нужно определить меру на , которая, с философской точки зрения, показывает, какую долю любого подмножества составляет. Естественное определение, использующее нашу последовательность Фёльнера, будет следующим:

Разумеется, этот предел не всегда существует. Чтобы обойти это техническое ограничение, мы берем ультрафильтр на натуральных числах, содержащий интервалы, и используем ультрапредел вместо обычного предела:

Оказывается, ультрапределы обладают всеми необходимыми нам свойствами. А именно, является вероятностной мерой. То есть, , поскольку ультрапредел совпадает с обычным пределом, когда последний существует. является конечно аддитивной. Это связано с тем, что ультрапределы коммутируют с операцией сложения, как и обычные пределы. является левоинвариантной. Это следует из того, что

по определению последовательности Фёльнера.