Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Коммутативті емес геометрия және математиканың осымен байланысты салаларында циклдік гомология және циклдік кохомология – ассоциативтік алгебралар үшін нақты (ко)гомология теориялары, олар манифольдтардың де Рам (ко)гомологиясын кеңейтеді. Бұл ұғымдарды Борис Цыган (гомология) және Ален Конн (кохомология) 1980-ші жылдары тәуелсіз түрде енгізді. Бұл инварианттардың математиканың бірнеше ескі салаларымен көптеген қызықты байланыстары бар, соның ішінде де Рам теориясы, Хохшильд (ко)гомологиясы, топтық кохомология және К-теориясы. Теорияны дамытуға үлес қосқандар: Макс Каруби, Юрий Л. Далецкий, Борис Фейгин, Жан-Люк Бриллинский, Мариуш Водзицкий, Жан-Луи Лодей, Виктор Нистор, Даниэль Куиллен, Йоахим Кунц, Ришард Нест, Ральф Мейер және Майкл Пушниг.
In noncommutative geometry and related branches of mathematics, cyclic homology and cyclic cohomology are certain (co)homology theories for associative algebras which generalize the de Rham (co)homology of manifolds. These notions were independently introduced by Boris Tsygan (homology) and Alain Connes (cohomology) in the 1980s. These invariants have many interesting relationships with several older branches of mathematics, including de Rham theory, Hochschild (co)homology, group cohomology, and the K theory. Contributors to the development of the theory include Max Karoubi, Yuri L. Daletskii, Boris Feigin, Jean Luc Brylinski, Mariusz Wodzicki, Jean Louis Loday, Victor Nistor, Daniel Quillen, Joachim Cuntz, Ryszard Nest, Ralf Meyer, and Michael Puschnigg.
Коммутативтік сақиналар жағдайы
Афиналық алгебралық сан алуандықтағы тұрақты функциялардың коммутативтік алгебрасының циклдік кохомологиясы, сипаттамасы нөлге тең болатын k даласының үстінде, Гротендиктің алгебралық де Рам кешені арқылы есептелуі мүмкін. Атап айтқанда, егер V=Spec A сан алуандығы тегіс болса, A-ның циклдік кохомологиясы V-дің де Рам кохомологиясы арқылы былайша өрнектеледі:
Cyclic cohomology of the commutative algebra A of regular functions on an affine algebraic variety over a field k of characteristic zero can be computed in terms of Grothendieck's algebraic de Rham complex. In particular, if the variety V=Spec A is smooth, cyclic cohomology of A are expressed in terms of the de Rham cohomology of V as follows:
Бұл формула, Конн кеңінен дамытқан, коммутативті емес алгебра A-ның "коммутативті емес спектрі" үшін де Рам кохомологиясын анықтаудың бір жолын ұсынады.
This formula suggests a way to define de Rham cohomology for a 'noncommutative spectrum' of a noncommutative algebra A, which was extensively developed by Connes.
Циклдік гомологияның нұсқалары
Циклдік гомологияның бір себебі – K теориясын шамамен анықтау қажеттілігі болды, ол K теориясынан өзгеше, тізбектік кешеннің гомологиясы ретінде анықталады. Циклдік кохомология, іс жүзінде, K теориясымен жұптастырылған және осы жұптастырудың бұрмаланбауын үміттенеді. Топологиялық алгебралармен, мысалы, Фреше алгебралары, алгебралар және т.б. жақсы үйлесу үшін бірнеше түрлері анықталды. Бұның себебі – K теориясы қосымша құрылымы жоқ алгебраларға қарағанда Банах алгебралары немесе C* алгебралары сияқты топологиялық алгебраларда жақсырақ жұмыс істейді. Алайда, циклдік гомология C* алгебраларында дегенерацияланатындықтан, өзгертілген теорияларды анықтау қажеттігі туындады. Олардың қатарында Ален Конн ұсынған толық циклдік гомология, Ральф Мейердің аналитикалық циклдік гомологиясы және Майкл Пушниггің асимптотикалық және локальді циклдік гомологиясы бар. Соңғысы КК теориясынан алынған екіайнымалы Черн сипаттамасына ие болғандықтан, K теориясына өте жақын.
One motivation of cyclic homology was the need for an approximation of K theory that is defined, unlike K theory, as the homology of a chain complex. Cyclic cohomology is in fact endowed with a pairing with K theory, and one hopes this pairing to be non degenerate. There has been defined a number of variants whose purpose is to fit better with algebras with topology, such as Fréchet algebras, algebras, etc. The reason is that K theory behaves much better on topological algebras such as Banach algebras or C* algebras than on algebras without additional structure. Since, on the other hand, cyclic homology degenerates on C* algebras, there came up the need to define modified theories. Among them are entire cyclic homology due to Alain Connes, analytic cyclic homology due to Ralf Meyer or asymptotic and local cyclic homology due to Michael Puschnigg. The last one is very close to K theory as it is endowed with a bivariant Chern character from KK theory.
Қолданбалар
Циклды гомологияның бір қолданысы – Атия-Сингер индекс теоремасының жаңа дәлелдемелері мен жалпыламаларын табу. Осы жалпыламалардың ішінде спектрлік үштіктерге негізделген индекс теоремалары және Пуассон құрылымдарының деформациялық квантталуы бар. Тығыз тегіс көпқырлылықтағы эллиптикалық оператор D, K-гомологиясындағы класс анықтайды. Бұл кластың бір инварианты – оператордың аналитикалық индексі. Бұл [D] класының HC(C(M)) элементімен 1-ге жұптасуы ретінде қарастырылады. Циклдық кохомологияны эллиптикалық дифференциалдық операторлардың жоғары инварианттарын алудың тәсілі ретінде қарастыруға болады, бұл тек тегіс көпқырлылықтар үшін ғана емес, сонымен қатар жапырақшалар, орбиталық кеңістіктер және коммутативті емес геометрияда кездесетін ерекше кеңістіктер үшін де қолданылады.
One of the applications of cyclic homology is to find new proofs and generalizations of the Atiyah Singer index theorem. Among these generalizations are index theorems based on spectral triples and deformation quantization of Poisson structures. An elliptic operator D on a compact smooth manifold defines a class in K homology. One invariant of this class is the analytic index of the operator. This is seen as the pairing of the class [D], with the element 1 in HC(C(M)). Cyclic cohomology can be seen as a way to get higher invariants of elliptic differential operators not only for smooth manifolds, but also for foliations, orbifolds, and singular spaces that appear in noncommutative geometry.