Циклическая гомология и когомология: обобщение де Рама для некоммутативных пространств.
Cyclic homology
Циклическая гомология и когомология: обобщение де Рама когомологии для некоммутативных алгебр. Разработано Циганом и Коннесом, связано с K-теорией и др.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В некомутативной геометрии и смежных областях математики циклическая гомология и циклическая кохомология — это определенные (ко)гомологические теории для ассоциативных алгебр, обобщающие де Рамову (ко)гомологию многообразий. Эти понятия были независимо введены Борисом Цыганом (гомология) и Аленом Конном (кохомология) в 1980-х годах. Эти инварианты имеют множество интересных связей с различными более ранними областями математики, включая теорию де Рама, гомологию Хохшильда, групповую кохомологию и K-теорию. Среди тех, кто внес вклад в развитие теории, — Макс Каруби, Юрий Л. Далецкий, Борис Фейгин, Жан-Люк Брилинский, Мариуш Водзицкий, Жан-Луи Лоде, Виктор Нистор, Даниэль Квиллен, Йоахим Кунц, Ришар Нест, Ральф Мейер и Майкл Пушнигг.
In noncommutative geometry and related branches of mathematics, cyclic homology and cyclic cohomology are certain (co)homology theories for associative algebras which generalize the de Rham (co)homology of manifolds. These notions were independently introduced by Boris Tsygan (homology) and Alain Connes (cohomology) in the 1980s. These invariants have many interesting relationships with several older branches of mathematics, including de Rham theory, Hochschild (co)homology, group cohomology, and the K theory. Contributors to the development of the theory include Max Karoubi, Yuri L. Daletskii, Boris Feigin, Jean Luc Brylinski, Mariusz Wodzicki, Jean Louis Loday, Victor Nistor, Daniel Quillen, Joachim Cuntz, Ryszard Nest, Ralf Meyer, and Michael Puschnigg.
Случай с коммутативными кольцами
Циклическая когомология коммутативной алгебры А регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии над полем k характеристики ноль может быть вычислена в терминах алгебраического комплекса де Рама Гротендика. В частности, если многообразие V=Spec A гладкое, циклическая когомология A выражается через кохомологии де Рама V следующим образом:
Cyclic cohomology of the commutative algebra A of regular functions on an affine algebraic variety over a field k of characteristic zero can be computed in terms of Grothendieck's algebraic de Rham complex. In particular, if the variety V=Spec A is smooth, cyclic cohomology of A are expressed in terms of the de Rham cohomology of V as follows:
Эта формула наводит на мысль о способе определения кохомологии де Рама для "некоммутативного спектра" некомутативной алгебры A, который был широко разработан Коннесом.
This formula suggests a way to define de Rham cohomology for a 'noncommutative spectrum' of a noncommutative algebra A, which was extensively developed by Connes.
Варианты циклической гомологии
Одной из мотиваций циклической гомологии была потребность в приближении K-теории, которая, в отличие от K-теории, определяется как гомология цепного комплекса. Циклическая кохомология фактически снабжена спариванием с K-теорией, и есть надежда, что это спаривание будет невырожденным. Было определено несколько вариантов, цель которых – лучше соответствовать алгебрам с топологией, таким как алгебры Фреше, алгебры и т.д. Причина в том, что K-теория ведет себя гораздо лучше на топологических алгебрах, таких как банаховы алгебры или C*-алгебры, чем на алгебрах без дополнительной структуры. Поскольку циклическая гомология, с другой стороны, вырождается на C*-алгебрах, возникла необходимость в определении модифицированных теорий. Среди них – полная циклическая гомология, разработанная Аленом Конном, аналитическая циклическая гомология, разработанная Ральфом Мейером, или асимптотическая и локальная циклическая гомология, разработанная Майклом Пушнигом. Последняя очень близка к K-теории, поскольку снабжена бивариантным характером Черна из KK-теории.
One motivation of cyclic homology was the need for an approximation of K theory that is defined, unlike K theory, as the homology of a chain complex. Cyclic cohomology is in fact endowed with a pairing with K theory, and one hopes this pairing to be non degenerate. There has been defined a number of variants whose purpose is to fit better with algebras with topology, such as Fréchet algebras, algebras, etc. The reason is that K theory behaves much better on topological algebras such as Banach algebras or C* algebras than on algebras without additional structure. Since, on the other hand, cyclic homology degenerates on C* algebras, there came up the need to define modified theories. Among them are entire cyclic homology due to Alain Connes, analytic cyclic homology due to Ralf Meyer or asymptotic and local cyclic homology due to Michael Puschnigg. The last one is very close to K theory as it is endowed with a bivariant Chern character from KK theory.
Приложения
Одним из применений циклической гомологии является нахождение новых доказательств и обобщений теоремы об индексе Атия — Сингера. Среди этих обобщений — теоремы об индексе, основанные на спектральных тройках и деформационном квантовании структур Пуассона. Эллиптический оператор D на компактном гладком многообразии определяет класс в K-гомологии. Одним из инвариантов этого класса является аналитический индекс оператора, который рассматривается как спаривание класса [D] с элементом 1 в HC(C(M)). Циклическая кохомология может рассматриваться как способ получения более высоких инвариантов эллиптических дифференциальных операторов не только для гладких многообразий, но и для слоений, орбифолдов и сингулярных пространств, возникающих в некомутативной геометрии.
One of the applications of cyclic homology is to find new proofs and generalizations of the Atiyah Singer index theorem. Among these generalizations are index theorems based on spectral triples and deformation quantization of Poisson structures. An elliptic operator D on a compact smooth manifold defines a class in K homology. One invariant of this class is the analytic index of the operator. This is seen as the pairing of the class [D], with the element 1 in HC(C(M)). Cyclic cohomology can be seen as a way to get higher invariants of elliptic differential operators not only for smooth manifolds, but also for foliations, orbifolds, and singular spaces that appear in noncommutative geometry.