Введение

Основные пространства геометрии

Евклидово пространство является фундаментальным пространством геометрии, предназначенным для представления физического пространства. Изначально, в «Началах» Евклида, это было трехмерное пространство евклидовой геометрии, но в современной математике существуют евклидовы пространства любой положительной целочисленной размерности n, которые называют евклидовыми n-пространствами, когда необходимо указать их размерность. При n, равном одному или двум, они обычно называются соответственно евклидовой прямой и евклидовой плоскостью. Квалификатор «евклидово» используется для различения евклидовых пространств от других пространств, которые позднее рассматривались в физике и современной математике. Древнегреческие геометры ввели евклидово пространство для моделирования физического пространства. Их работы были собраны древнегреческим математиком Евклидом в его «Началах», с важным нововведением – доказательством всех свойств пространства в виде теорем, исходя из небольшого числа фундаментальных свойств, называемых постулатами, которые либо считались очевидными (например, через две точки проходит единственная прямая), либо казались недоказуемыми (параллельный постулат). После появления в конце XIX века неевклидовых геометрий, старые постулаты были переформулированы для определения евклидовых пространств посредством аксиоматической теории. Другое определение евклидовых пространств с использованием векторных пространств и линейной алгебры оказалось эквивалентным аксиоматическому определению. Именно это определение чаще всего используется в современной математике и подробно изложено в данной статье. Во всех определениях евклидово пространство состоит из точек, которые определяются лишь свойствами, необходимыми для формирования евклидова пространства. По существу существует только одно евклидово пространство каждой размерности; то есть все евклидовы пространства данной размерности изоморфны. Поэтому обычно можно работать с конкретным евклидовым пространством, обозначаемым или , которое можно представить с помощью декартовых координат как вещественное n-пространство, снабженное стандартным скалярным произведением.

История определения

Евклидово пространство было введено древними греками как абстракция нашего физического пространства. Их великое нововведение, представленное в «Началах» Евклида, заключалось в построении и доказательстве всей геометрии, исходя из нескольких базовых свойств, абстрагированных из физического мира и не поддающихся математическому доказательству из-за отсутствия более фундаментальных инструментов. Эти свойства называются постулатами или, в современной терминологии, аксиомами. Этот способ определения евклидова пространства до сих пор используется под названием синтетической геометрии. В 1637 году Рене Декарт ввёл декартовы координаты и показал, что они позволяют сводить геометрические задачи к алгебраическим вычислениям с числами. Это сведение геометрии к алгебре стало значительным изменением в подходе, поскольку до этого вещественные числа определялись через длины и расстояния. Евклидова геометрия не применялась к пространствам размерности более трёх до XIX века. Людвиг Шлефли обобщил евклидову геометрию на пространства размерности n, используя как синтетические, так и алгебраические методы, и открыл все правильные политопы (многомерные аналоги платоновых тел), существующие в евклидовых пространствах любой размерности. Несмотря на широкое распространение подхода Декарта, названного аналитической геометрией, определение евклидова пространства оставалось неизменным до конца XIX века. Введение абстрактных векторных пространств позволило использовать их для определения евклидовых пространств с помощью чисто алгебраического определения. Было показано, что это новое определение эквивалентно классическому определению, основанному на геометрических аксиомах. В настоящее время именно это алгебраическое определение чаще всего используется для введения евклидовых пространств.

Мотивация современного определения

Один из способов представить себе Евклидову плоскость — это как множество точек, удовлетворяющих определенным соотношениям, выразимым через расстояния и углы. Например, на плоскости существуют две фундаментальные операции (называемые движениями). Одна из них — это трансляция (перенос), означающая смещение плоскости так, что каждая точка смещается в одном направлении и на одно и то же расстояние. Другая — вращение вокруг фиксированной точки на плоскости, при котором все точки плоскости поворачиваются вокруг этой фиксированной точки на один и тот же угол. Один из основополагающих принципов евклидовой геометрии заключается в том, что две фигуры (обычно рассматриваемые как подмножества) плоскости следует считать эквивалентными (конгруэнтными), если одну из них можно преобразовать в другую некоторой последовательностью трансляций, вращений и отражений (см. ниже). Чтобы сделать все это математически точным, теория должна четко определить, что такое евклидово пространство, и связанные с ним понятия расстояния, угла, трансляции и вращения. Даже при использовании в физических теориях, евклидово пространство является абстракцией, отделенной от конкретных физических местоположений, систем отсчета, измерительных приборов и так далее. Чисто математическое определение евклидова пространства также не учитывает вопросы единиц измерения длины и других физических величин: расстояние в «математическом» пространстве — это число, а не величина, выраженная в дюймах или метрах. Стандартный способ математического определения евклидова пространства, который используется в остальной части этой статьи, заключается в определении его как множества точек, на которых действует вещественное векторное пространство — пространство трансляций, снабженное скалярным произведением. Действие трансляций делает пространство аффинным, что позволяет определять прямые, плоскости, подпространства, размерность и параллельность. Скалярное произведение позволяет определить расстояние и углы. Множество упорядоченных n-ок действительных чисел, снабженное скалярным произведением, является евклидовым пространством размерности n. И наоборот, выбор точки, называемой началом координат, и ортонормального базиса пространства трансляций эквивалентен определению изоморфизма между евклидовым пространством размерности n и рассматриваемым как евклидово пространство. Следовательно, все, что можно сказать об евклидовом пространстве, можно сказать и о . Поэтому многие авторы, особенно на начальном уровне, называют стандартным евклидовым пространством размерности n или просто евклидовым пространством размерности n.

Причина введения такого абстрактного определения евклидовых пространств и работы с ним вместо заключается в том, что часто предпочтительнее работать в безкоординатном и безначальном виде (то есть без выбора предпочтительного базиса и предпочтительного начала координат). Другая причина заключается в том, что в физическом мире нет ни начала координат, ни базиса.

Техническое определение

A является конечномерным пространством с внутренним произведением над действительными числами. Евклидово пространство — это аффинное пространство над действительными числами, для которого ассоциированное векторное пространство является евклидовым векторным пространством. Евклидовы пространства иногда называют евклидовыми аффинными пространствами, чтобы отличать их от евклидовых векторных пространств. Если E — евклидово пространство, его ассоциированное векторное пространство (евклидово векторное пространство) часто обозначается . Элементы E называются точками и обычно обозначаются заглавными буквами. Элементы называются евклидовыми векторами или свободными векторами. Их также называют сдвигами, хотя, строго говоря, сдвиг — это геометрическое преобразование, являющееся результатом действия евклидова вектора на евклидово пространство. Действие сдвига v на точку P дает точку, обозначаемую как P + v. Это действие удовлетворяет условию:

Примечание: второй символ + в левой части обозначает сложение векторов, а каждый другой символ + обозначает действие вектора на точку. Это обозначение не является двусмысленным, поскольку для различения двух значений символа + достаточно посмотреть на природу его левого аргумента. Тот факт, что действие свободно и транзитивно, означает, что для каждой пары точек (P, Q) существует ровно один вектор сдвига v, такой что P + v = Q. Этот вектор v обозначается Q − P или .

Как было объяснено ранее, некоторые из основных свойств евклидовых пространств являются следствием структуры аффинного пространства. Они описаны в и его подразделах. Свойства, вытекающие из внутреннего произведения, объясняются в и его подразделах.

Прототипические примеры

Для любого векторного пространства операция сложения действует свободно и транзитивно на самом себе. Таким образом, евклидово векторное пространство можно рассматривать как евклидово пространство, для которого оно само является ассоциированным векторным пространством. Типичный пример евклидова векторного пространства рассматривается как векторное пространство, снабженное скалярным произведением в качестве внутреннего произведения. Важность этого конкретного примера евклидова пространства заключается в том, что любое евклидово пространство изоморфно ему. Более точно, для евклидова пространства E размерности n выбор точки, называемой началом координат, и ортонормального базиса определяет изоморфизм евклидовых пространств из E в . Поскольку любое евклидово пространство размерности n изоморфно ему, евклидово пространство иногда называют стандартным евклидовым пространством размерности n.

Сродственная структура

Некоторые основные свойства евклидовых пространств зависят лишь от того факта, что евклидово пространство является аффинным пространством. Эти свойства называются аффинными и включают в себя понятия прямых, подпространств и параллельности, которые подробно рассматриваются в следующих подразделах.

Параллелизм

Два подпространства S и T одинаковой размерности в евклидовом пространстве называются параллельными, если они имеют одно и то же направление (то есть одно и то же ассоциированное векторное пространство). Эквивалентно, они параллельны, если существует вектор сдвига v, который переводит одно в другое.

Для данной точки P и подпространства S существует ровно одно подпространство, содержащее P и параллельное S. В случае, когда S является прямой (подпространство размерности один), это свойство является аксиомой Плейфера. Отсюда следует, что в евклидовой плоскости две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Понятие параллельных подпространств было расширено на подпространства различной размерности: два подпространства параллельны, если направление одного из них содержится в направлении другого.

Другие координаты

Поскольку евклидово пространство является аффинным пространством, на нем можно рассматривать аффинный базис, который совпадает с евклидовым базисом, за исключением того, что его векторы не обязаны быть ортонормальными. Это определяет аффинные координаты, иногда называемые косоугольными, чтобы подчеркнуть, что базисные векторы не являются попарно ортогональными. Аффинный базис евклидова пространства размерности n – это набор из n + 1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости. Аффинный базис определяет барицентрические координаты для каждой точки. Многие другие системы координат могут быть определены на евклидовом пространстве E размерности n следующим образом. Пусть f – гомеоморфизм (или, чаще, диффеоморфизм) из плотного открытого подмножества E в открытое подмножество ℝ. Координаты точки x из E – это компоненты f(x). Полярная система координат (в двумерном пространстве) и сферическая и цилиндрическая системы координат (в трехмерном пространстве) определяются таким образом. Для точек, лежащих вне области определения f, координаты иногда определяются как предел координат соседних точек, но эти координаты могут быть не единственными и могут быть не непрерывными в окрестности точки. Например, в сферической системе координат долгота не определена на полюсе, а на антимеридиане долгота претерпевает разрыв, переходя от –180° к +180°. Этот способ определения координат легко обобщается на другие математические структуры, в частности, на многообразия.

Топология

Евклидово расстояние делает евклидово пространство метрическим пространством, а следовательно, и топологическим пространством. Эта топология называется евклидовой топологией. В этом случае она также является топологией произведения. Открытые множества – это подмножества, содержащие открытый шар вокруг каждой своей точки. Иными словами, открытые шары образуют базу топологии. Топологическая размерность евклидова пространства равна его размерности. Это означает, что евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны. Более того, теорема об инвариантности области утверждает, что подмножество евклидова пространства открыто (относительно топологии подпространства) тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства той же размерности. Евклидовы пространства полны и локально компактны. То есть, замкнутое подмножество евклидова пространства компактно, если оно ограничено (то есть содержится в шаре). В частности, замкнутые шары компактны.

Аксиоматические определения

Определение евклидовых пространств, которое описано в этой статье, принципиально отличается от определения Евклида. В действительности, Евклид не давал формального определения пространства, поскольку оно рассматривалось как описание физического мира, существующего независимо от человеческого разума. Необходимость в формальном определении возникла лишь в конце XIX века, с появлением неевклидовых геометрий. Было использовано два различных подхода. Феликс Клейн предложил определять геометрии через их симметрии. Изложение евклидовых пространств, представленное в этой статье, по сути, восходит к его эрлангенской программе, с акцентом на группы сдвигов и изометрий. С другой стороны, Давид Гильберт предложил набор аксиом, вдохновлённых постулатами Евклида. Они относятся к синтетической геометрии, поскольку не содержат никакого определения действительных чисел. Позднее Г. Д. Биркофф и Альфред Тарски предложили более простые наборы аксиом, использующие действительные числа (см. аксиомы Биркоффа и аксиомы Тарски). В геометрической алгебре Эмиль Артин доказал, что все эти определения евклидова пространства эквивалентны. Довольно легко доказать, что все определения евклидовых пространств удовлетворяют аксиомам Гильберта, и что те, которые включают действительные числа (включая данное выше определение), эквивалентны. Сложность доказательства Артина заключается в следующем. В аксиомах Гильберта конгруэнтность является отношением эквивалентности на отрезках. Таким образом, можно определить длину отрезка как его класс эквивалентности. Следовательно, необходимо доказать, что эта длина удовлетворяет свойствам, характеризующим неотрицательные действительные числа. Артин доказал это, используя аксиомы, эквивалентные аксиомам Гильберта.

Использование

С древних греков евклидово пространство используется для моделирования форм в физическом мире. Поэтому оно применяется во многих науках, таких как физика, механика и астрономия. Оно также широко используется во всех технических областях, связанных с формами, фигурами, местоположением и положением, например в архитектуре, геодезии, топографии, навигации, промышленном дизайне или техническом черчении. Пространства с размерностью выше трех встречаются в ряде современных физических теорий; см. Высшие измерения. Они также возникают в пространствах конфигураций физических систем. Помимо евклидовой геометрии, евклидовы пространства широко используются и в других областях математики. Касательные пространства дифференцируемых многообразий являются евклидовыми векторными пространствами. В более общем смысле, многообразие – это пространство, которое локально аппроксимируется евклидовыми пространствами. Большинство неевклидовых геометрий можно представить в виде многообразий и вложить в евклидово пространство большей размерности. Например, эллиптическое пространство можно смоделировать эллипсоидом. Часто в евклидовом пространстве представляются математические объекты, которые изначально не имеют геометрической природы. Одним из многих примеров является обычное представление графов.

Другие геометрические пространства

С момента введения в конце XIX века неевклидовых геометрий было рассмотрено множество различных пространств, в которых можно проводить геометрические рассуждения аналогично евклидовым пространствам. В общем случае, они обладают некоторыми свойствами, общими с евклидовыми пространствами, но могут также иметь свойства, кажущиеся весьма необычными. Некоторые из этих пространств используют евклидову геометрию для своего определения или могут быть представлены в виде подпространств евклидова пространства большей размерности. Когда такое пространство определяется геометрическими аксиомами, вложение этого пространства в евклидово пространство является стандартным способом доказательства непротиворечивости его определения, или, точнее, доказательства непротиворечивости его теории, при условии непротиворечивости евклидовой геометрии (что само по себе недоказуемо).

Аффиновое пространство

Евклидово пространство — это аффинное пространство, снабжённое метрикой. Аффинные пространства имеют множество других применений в математике. В частности, поскольку они определены над любым полем, они позволяют заниматься геометрией в других контекстах. Как только рассматриваются нелинейные вопросы, обычно полезно рассматривать аффинные пространства над комплексными числами как расширение евклидовых пространств. Например, окружность и прямая всегда имеют две точки пересечения (возможно, совпадающие) в комплексном аффинном пространстве. Поэтому большая часть алгебраической геометрии строится в комплексных аффинных пространствах и аффинных пространствах над алгебраически замкнутыми полями. Объекты, изучаемые в алгебраической геометрии в этих аффинных пространствах, поэтому называются аффинными алгебраическими многообразиями. Аффинные пространства над рациональными числами и, в более общем случае, над алгебраическими числовыми полями обеспечивают связь между (алгебраической) геометрией и теорией чисел. Например, последнюю теорему Ферма можно сформулировать так: "Кривая Ферма степени выше двух не имеет точек в аффинной плоскости над рациональными числами". Геометрия в аффинных пространствах над конечными полями также широко изучалась. Например, эллиптические кривые над конечными полями широко используются в криптографии.

Проективное пространство

Первоначально проективные пространства были введены путем добавления "точек на бесконечности" к евклидовым пространствам и, в более общем случае, к аффинным пространствам, чтобы утверждение "две лежащие в одной плоскости прямые пересекаются ровно в одной точке" было верным. Проективные пространства разделяют с евклидовыми и аффинными пространствами свойство изотропности, то есть в пространстве нет свойства, позволяющего различать две точки или две прямые. Поэтому обычно используется более изотропное определение, которое заключается в определении проективного пространства как множества прямых, задаваемых векторами, в векторном пространстве на один размер больше. Как и аффинные пространства, проективные пространства определяются над любым полем и являются фундаментальными пространствами алгебраической геометрии.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия обычно относится к геометрическим пространствам, в которых не выполняется постулат о параллельных прямых. Она включает эллиптическую геометрию, где сумма углов треугольника превышает 180°, и гиперболическую геометрию, где эта сумма меньше 180°. Их появление во второй половине XIX века и доказательство непротиворечивости их теорий (при условии непротиворечивости геометрии Евклида) стало одним из парадоксов, лежащих в основе кризиса оснований математики в начале XX века и стимулировавших систематизацию аксиоматических теорий в математике.

Кривые пространства

Многообразие – это пространство, которое в окрестности каждой точки подобно евклидову пространству. В техническом плане, многообразие – это топологическое пространство, для каждой точки которого существует окрестность, гомеоморфная открытому подмножеству евклидова пространства. Многообразия классифицируются по степени этого "подобия" на топологические, дифференцируемые, гладкие и аналитические многообразия. Однако ни один из этих типов "подобия" не сохраняет расстояния и углы, даже приближенно. Расстояния и углы можно определить на гладком многообразии, задав плавно меняющуюся евклидову метрику на касательных пространствах в точках многообразия (эти касательные пространства, таким образом, являются евклидовыми векторными пространствами). Это приводит к риманову многообразию. Обычно прямые линии в римановом многообразии не существуют, но их роль играют геодезические, представляющие собой "кратчайшие пути" между двумя точками. Это позволяет определять расстояния, измеряемые вдоль геодезических, и углы между геодезическими, которые являются углами между их касательными в касательном пространстве в точке пересечения. Таким образом, римановы многообразия локально ведут себя как искривлённое евклидово пространство. Евклидово пространство является тривиальным римановым многообразием. Хорошим примером, иллюстрирующим это, является поверхность сферы. В этом случае геодезические – это дуги больших кругов, которые в контексте навигации называются ортодромами. В более общем смысле, пространства неевклидовой геометрии могут быть реализованы как римановы многообразия.

Псевдо-евклидово пространство

Внутреннее произведение реального векторного пространства является положительно определенной билинейной формой и, следовательно, характеризуется положительно определенной квадратичной формой. Псевдоевклидово пространство — это аффинное пространство с ассоциированным реальным векторным пространством, снабженное невырожденной квадратичной формой (которая может быть неопределенной). Фундаментальным примером такого пространства является пространство Минковского, которое представляет собой пространство-время специальной теории относительности Эйнштейна. Это четырехмерное пространство, где метрика определяется квадратичной формой

где последняя координата (t) — временная, а остальные три (x, y, z) — пространственные. Для учета гравитации общая теория относительности использует псевдориманово многообразие, касательными пространствами которого являются пространства Минковского. Кривизна этого многообразия в точке является функцией значения гравитационного поля в этой точке.