Кіріспе
Кванттық деңгейдегі паритет бұзылуы
Теориялық физикада кванттық өріс теориясы, егер оның классикалық әрекеті ғаламның паритетінің өзгеруіне қатысты инвариант болса, бірақ кванттық теория инвариант болмаса, паритет аномалиясы бар деп есептеледі. Мұндай аномалия фермиондары бар, олардың өлшемдік топтары жұп емес коксетерлік сандарға ие, тақ өлшемді өлшеу теорияларында пайда болуы мүмкін. Оны алғаш рет Анти Дж. Ниеми және Гордон Уолтер Семенофф "Аксиалдық аномалияның нәтижесінде фермиондардың фракциялануы және тақ өлшемді кеңістікте тиімді өлшеу теориясының әрекеттері" атты хатында, сондай-ақ А. Норман Редлих "Өлшеу инварианттылығы емес және үш өлшемді фермиондардың паритет сақталмауы" атты хатында және "Үш өлшемде тиімді өлшеу өрісінің әрекетінің паритет бұзылуы және өлшеу инварианттылығы емес" атты мақаласында енгізді. Бұл белгілі бір мағынада Эдвард Виттеннің 4 өлшемдегі SU(2) аномалиясының тақ өлшемді нұсқасы болып табылады, ал Редлих өзінің дәлелдемесі Виттеннің дәлелдемесіне ұқсас дейді.
Үш өлшемді аномалия
Классикалық паритет инвариантты өлшегіш теорияны қарастырайық, оның өлшегіш тобы G үш өлшемде қос Коксетер саны h-қа ие. G-нің нақты өкілдігінде түрленетін n Майорана фермиондарын қосыңыз. Бұл теория бастапқыда ультракүлгін дивергенциядан зардап шегеді. Егер өлшем инвариантты реттегіш қосылса, онда h және n тақ болған жағдайда теорияның кванттық паритет инварианттылығы бұзылады.
Аномалия тек белгілерді таңдаудан ғана туындауы мүмкін
Мысалы, Паули-Вилларс реттеуін қарастырайық. n массивті Майорана фермиондарын қарама-қарсы статистикамен қосып, олардың массасын шексіздікке дейін жеткізу қажет. Күрделілік 3 өлшемді Майорана массалық мүшесі паритет инвариантты емес болғандықтан, масса шексіздікке жеткенде де паритет инварианттылығының бұзылуы қалуы мүмкін. Шындығында, осы аномалияның себебі де осы. Егер n жұп сан болса, онда n Майорана фермиондарын n/2 Дирак фермиондары ретінде қайта жазуға болады. Бұлардың паритет инвариантты массалық мүшелері бар, сондықтан Паули-Вилларс дивергенцияларды реттеу үшін қолданылуы мүмкін және паритет аномалиясы туындамайды. Демек, n жұп сан болғанда аномалия жоқ. Сонымен қатар, 2n Майорана фермионының бөлініс функциясына қосқан үлесі n фермиондардың үлесінің квадратына тең болғандықтан, n фермиондардың аномалиясына қосқан үлесінің квадраты бірге тең болуы керек. Сондықтан аномальды фаза тек бірдің квадрат түбіріне тең болуы мүмкін, яғни плюс немесе минус бір. Егер ол бірге тең болса, онда аномалия жоқ. Сондықтан сұрақ мынада: бөлініс функциясында 1 көбейткішінің екіұштылығы қашан туындайды?
Индекс теоремасының аномалиясы
Біз бөлшек функциясының таңбасын таңдау қашан дұрыс анықталмағандығын білгіміз келеді. Оның дұрыс анықталмауының мүмкіндігі бар, өйткені әрекетте фермион кинетикалық мүшесі бар, мұнда ψ — Майорана фермионы, ал A — векторлық потенциал. Жол интегралында әрекеттің экспонентасы барлық өрістер бойынша интегралданады. Жоғарыдағы мүшені фермиондық өрістер бойынша интегралдағанда, n Майорана фермионының әрқайсысы үшін Дирак операторының детерминантының квадрат түбірінің коэффициенті алынады. Көбінесе квадрат түбірдің таңбасын анықтау қажет. Бөлшек функциясының жалпы фазасы кванттық механикада байқалатын шама емес, сондықтан берілген конфигурация үшін бұл таңбаны таңдау еркін болуы мүмкін. Бірақ таңба таңдауының дұрыс екенін тексеру қажет. Мұны істеу үшін конфигурацияны конфигурациялық кеңістік арқылы деформациялайық, соңында бастапқы конфигурацияға оралатын жолмен. Егер таңба таңдауы дұрыс болса, бастапқы конфигурацияға оралғаннан кейін бастапқы таңба сақталады. Осыны тексеру қажет. Бастапқы кеңістік-уақыт үш өлшемді, оны M деп атаймыз. Енді конфигурациялық кеңістіктегі шеңберді қарастырамыз, бұл кеңістіктегі бір конфигурациямен бірдей. Квадрат түбірдің таңбасы шеңберді айналып өту кезінде қанша рет жоғалатынын білу үшін, детерминанттың нөлдерінің санын санау жеткілікті, өйткені жеке мәндер жұбының таңбасы өзгерген сайын нөл пайда болады. Жеке мәндер жұптармен келеді, мысалы, үш өлшемді өлшегіш теориясының суперсимметриялық индексінде талданғандай, сондықтан бір жеке мән нөлден өткенде, екеуі өтеді. Қорыта айтқанда, Дирак операторының детерминантының квадрат түбірінің таңбасы шеңберді айналып өту кезінде қанша рет өзгеретінін білгіміз келеді. Дирак операторының жеке мәндері жұптармен келеді және таңба жұп нөлден өткен сайын өзгереді. Осылайша біз Дирак операторының нөлдерін санап жатырмыз. Бұл нөлдер Атиях-Сингер индекс теоремасымен саналады, ол h есе екінші Черн класы бойынша өлшем бундельінің жауабын береді. Бұл екінші Черн класы кез келген бүтін сан болуы мүмкін. Әсіресе, ол бір болуы мүмкін, онда таңба h рет өзгереді. Егер таңба тақ санда өзгерсе, бөлшек функциясы дұрыс анықталмайды, демек аномалия бар. Қорытындылай келе, егер Майорана фермиондарының саны n тақ болса және өлшегіш топтың дуалды Коксетер саны h тақ болса, аномалия бар екенін анықтадық.
where ψ is a Majorana fermion and A is the vector potential. In the path integral, the exponential of the action is integrated over all of the fields. When integrating the above term over the fermion fields one obtains a factor of the square root of the determinant of the Dirac operator for each of the n Majorana fermions. As is usual with a square root, one needs to determine its sign. The overall phase of the partition function is not an observable in quantum mechanics, and so for a given configuration this sign choice can be made arbitrarily. But one needs to check that the sign choice is consistent. To do this, let us deform the configuration through the configuration space, on a path which eventually returns to the original configuration. If the sign choice was consistent then, having returned to the original configuration, one will have the original sign. This is what needs to be checked. The original spacetime is 3 dimensional, call the space M. Now we are considering a circle in configuration space, which is the same thing as a single configuration on the space To find out the number of times that the sign of the square root vanishes as one goes around the circle, it suffices to count the number of zeroes of the determinant on , because each time that a pair of eigenvalues changes sign there will be a zero. Notice that the eigenvalues come in pairs, as discussed for example in Supersymmetric Index Of Three Dimensional Gauge Theory, and so whenever one eigenvalue crosses zero, two will cross. Summarizing, we want to know how many times the sign of the square root of the determinant of a Dirac operator changes sign as one circumnavigates the circle. The eigenvalues of the Dirac operator come in pairs, and the sign changes each time a pair crosses zero. Thus we are counting the zeroes of the Dirac operator on the space These zeroes are counted by the Atiyah–Singer index theorem, which gives the answer h times the second Chern class of the gauge bundle over This second Chern class may be any integer. In particular it may be one, in which case the sign changes h times. If the sign changes an odd number of times then the partition function is ill defined, and so there is an anomaly. In conclusion, we have found that there is an anomaly if the number n of Majorana fermions is odd and if the dual Coxeter number h of the gauge group is also odd.
Черн-Симонс өлшегіш теориясы
3 өлшемді Черн-Саймонс өлшегіш теориялары да олардың деңгейі жартылай бүтін болған кезде аномалияға ие. Шындығында, оның шығарылуы жоғарыда көрсетілгенмен толықтай сәйкес келеді. Стокстың теоремасын және Черн-Саймонс әрекетінің сыртқы туындысы инстантон санына тең екендігін пайдалана отырып, 4 өлшемді теориядағы тета бұрышы Черн-Саймонс теориясының деңгейіне тең болады, сондықтан 4 өлшемді бөлу функциясы инстантон саны тақ болғанда дәл 1-ге тең. Бұл 3 өлшемді бөлу функциясы, инстантон саны тақ болатын жол бойынша деформацияларды қарастырғанда, 1 көбейткішімен дұрыс анықталмайды дегенді білдіреді.
Фракциялық кванттау шарттары
Атап айтқанда, фермиондардан туындаған аномалиялар және жартылай деңгейлі Черн-Симонс мүшелері Майорана фермиондарының саны, Черн-Симонс деңгейінің екі еселенгенінің қосындысы жұп сан болған жағдайда ғана өтеді. n=1 болғанда, бұл тұжырым суперсимметриялық Черн-Симонс өлшегіш теорияларындағы жартылай бүтін сан квантталу шартымен сәйкес келеді, бұл «Суперсимметриялық Янг-Миллс Черн-Симонс теорияларындағы Черн-Симонс коэффициенті» еңбегінде көрсетілген. n=2 болғанда, бұл үлесі «Үш өлшемді өлшегіш теориялардағы Браналар мен Суперсимметрияның бұзылуы» еңбегінде және 3 өлшемді теорияларда анықталды.
Черн-Симонс деңгейіне бір айналымдық түзету
Черн-Симонс термині мен Майорана фермиондарының тақ инстантон санымен деформацияларға ұшырағанда аномалия тудыруы – жай ғана кездейсоқтық емес. n Майорана фермиондары үшін Паули-Вилларс массасы шексіздікке дейін арттырылғанда, Редлих бөлшек функциясына қалған үлестің -n/2 деңгейіндегі Черн-Симонс терминіне тең екенін анықтады. Бұл, ең алдымен, n зарядталған Майорана фермиондарын жою арқылы сәйкес келетін өріс теориясының Черн-Симонс деңгейі -n/2-ге қарай қайта нормаланады дегенді білдіреді. Черн-Симонс деңгейінің тек дискретті мәндерді қабылдауына рұқсат етілуі, байланыс тұрақтысының деңгейге түзетуге енуі мүмкін емес екенін көрсетеді. Бұл тек 1-ші циклдық түзетуде ғана орын алады, сондықтан Майорана фермиондарының Черн-Симонс деңгейіне қосымшасы 1-ші циклде нақты есептелуі мүмкін, ал жоғары циклдық түзетулердің бәрі де жоғалады.