Введение
Нарушение чётности на квантовом уровне
В теоретической физике квантовая теория поля считается обладающей аномалией чётности, если её классическое действие инвариантно относительно изменения чётности Вселенной, но квантовая теория не является инвариантной. Такой вид аномалии может возникать в калибровочных теориях нечётной размерности с фермионами, чьи калибровочные группы имеют нечётные двойные числа Коксетера. Впервые они были введены Антти Дж. Ниеми и Гордоном Уолтером Семеновым в письме «Фракционирование фермионов, индуцированное осевой аномалией, и эффективные действия калибровочной теории в пространстве-времени нечётной размерности», а также А. Норманом Редлихом в письме «Неинвариантность калибровки и нарушение чётности трёхмерных фермионов» и в статье «Нарушение чётности и неинвариантность калибровки эффективного действия калибровочного поля в трёх измерениях». Это, в некотором смысле, аналог аномалии SU(2) Эдварда Виттена в 4 измерениях для нечётной размерности, и Редлих фактически отмечает, что его доказательство основано на работе Виттена.
Аномалия в трех измерениях
Рассмотрим классическую калибровочную теорию, инваринтную относительно преобразований четности, чья группа калибровки G имеет двойное число Коксетера h в 3 измерениях. Включим n фермионов Майораны, преобразующихся в вещественном представлении G. Эта теория наивно страдает от ультрафиолетовой расходимости. Если добавить калибровочно-инвариантный регулятор, то квантовая инвариантность четности теории будет нарушена, если h и n – нечетные числа.
Аномалия может быть только в выборе знака .
Рассмотрим, например, регуляризацию Паули–Вилларса. Необходимо добавить n массивных фермионов Майораны с противополостной статистикой и стремить их массы к бесконечности. Осложнение возникает из-за того, что трехмерный член массы Майораны не является инвариантным относительно паритета, поэтому существует вероятность того, что нарушение инвариантности паритета может сохраняться при стремлении массы к бесконечности. Действительно, это и является источником аномалии. Если n – четное число, то n фермионов Майораны можно переписать как n/2 фермионов Дирака. Они обладают паритетно-инвариантными членами массы, и, следовательно, регуляризация Паули–Вилларса может быть использована для устранения расходимостей, при этом аномалия паритета не возникает. Таким образом, при четном n аномалии нет. Более того, поскольку вклад 2n фермионов Майораны в статистическую сумму является квадратом вклада n фермионов, квадрат вклада в аномалию от n фермионов должен быть равен единице. Следовательно, аномальная фаза может быть равна только квадратному корню из единицы, то есть плюс или минус единице. Если она равна единице, то аномалии нет. Таким образом, вопрос заключается в том, когда в статистической сумме возникает неоднозначность, связанная с фактором 1.
Аномалия из теоремы индекса
Мы хотим знать, когда выбор знака функции разделения не определен однозначно. Возможность того, что он может быть не определен однозначно, возникает из-за того, что действие содержит кинетический член фермиона, где ψ — фермион Майораны, а A — векторный потенциал. В интеграле по траекториям экспонента от действия интегрируется по всем полям. При интегрировании вышеуказанного члена по фермионным полям получается множитель в виде квадратного корня из детерминанта оператора Дирака для каждого из n фермионов Майораны. Как обычно для квадратного корня, необходимо определить его знак. Общая фаза функции разделения не является наблюдаемой в квантовой механике, поэтому для данной конфигурации этот выбор знака можно сделать произвольно. Однако необходимо проверить, что выбор знака согласуется. Для этого деформируем конфигурацию в пространстве конфигураций по пути, который в конечном итоге возвращается к исходной конфигурации. Если выбор знака был согласующимся, то, вернувшись к исходной конфигурации, мы получим исходный знак. Это и нужно проверить. Исходственное пространство-время трехмерно, обозначим пространство как M. Теперь мы рассматриваем окружность в пространстве конфигураций, что эквивалентно одной конфигурации в пространстве. Чтобы узнать, сколько раз знак квадратного корня обращается в ноль при обходе окружности, достаточно посчитать количество нулей детерминанта на M, поскольку каждый раз, когда пара собственных значений меняет знак, появляется ноль. Обратите внимание, что собственные значения возникают парами, как обсуждалось, например, в работе Supersymmetric Index Of Three Dimensional Gauge Theory, поэтому, когда одно собственное значение пересекает ноль, пересекают его два. Подводя итог, мы хотим знать, сколько раз знак квадратного корня из детерминанта оператора Дирака меняется при обходе окружности. Собственные значения оператора Дирака возникают парами, и знак меняется каждый раз, когда пара пересекает ноль. Таким образом, мы подсчитываем нули оператора Дирака на пространстве M. Эти нули подсчитываются теоремой Атия — Зингера об индексе, которая дает ответ, равный h, умноженному на второй класс Черна над M. Этот второй класс Черна может быть любым целым числом. В частности, он может быть равен единице, в этом случае знак меняется h раз. Если знак меняется нечетное число раз, то функция разделения не определена однозначно, и, следовательно, возникает аномалия. В заключение, мы обнаружили, что аномалия возникает, если число n фермионов Майораны нечетно, и если двойное число Коксетера h группы калибровки также нечетно.
where ψ is a Majorana fermion and A is the vector potential. In the path integral, the exponential of the action is integrated over all of the fields. When integrating the above term over the fermion fields one obtains a factor of the square root of the determinant of the Dirac operator for each of the n Majorana fermions. As is usual with a square root, one needs to determine its sign. The overall phase of the partition function is not an observable in quantum mechanics, and so for a given configuration this sign choice can be made arbitrarily. But one needs to check that the sign choice is consistent. To do this, let us deform the configuration through the configuration space, on a path which eventually returns to the original configuration. If the sign choice was consistent then, having returned to the original configuration, one will have the original sign. This is what needs to be checked. The original spacetime is 3 dimensional, call the space M. Now we are considering a circle in configuration space, which is the same thing as a single configuration on the space To find out the number of times that the sign of the square root vanishes as one goes around the circle, it suffices to count the number of zeroes of the determinant on , because each time that a pair of eigenvalues changes sign there will be a zero. Notice that the eigenvalues come in pairs, as discussed for example in Supersymmetric Index Of Three Dimensional Gauge Theory, and so whenever one eigenvalue crosses zero, two will cross. Summarizing, we want to know how many times the sign of the square root of the determinant of a Dirac operator changes sign as one circumnavigates the circle. The eigenvalues of the Dirac operator come in pairs, and the sign changes each time a pair crosses zero. Thus we are counting the zeroes of the Dirac operator on the space These zeroes are counted by the Atiyah–Singer index theorem, which gives the answer h times the second Chern class of the gauge bundle over This second Chern class may be any integer. In particular it may be one, in which case the sign changes h times. If the sign changes an odd number of times then the partition function is ill defined, and so there is an anomaly. In conclusion, we have found that there is an anomaly if the number n of Majorana fermions is odd and if the dual Coxeter number h of the gauge group is also odd.
Теории калибровки Черна-Саймонса
Трехмерные теории калибровочной симметрии Черна-Саймонса также аномальны, когда их уровень является полуцелым. Фактически, вывод идентичен приведенному выше. Используя теорему Стокса и тот факт, что внешняя производная действия Черна-Саймонса равна числу инстантонов, 4-мерная теория имеет тета-угол, равный уровню теории Черна-Саймонса, и, следовательно, 4-мерная парциальная функция равна 1 ровно тогда, когда число инстантонов нечетно. Это подразумевает, что 3-мерная парциальная функция не определена с точностью до множителя 1 при рассмотрении деформаций вдоль пути с нечетным числом инстантонов.
Условия фракционной квантования
В частности, аномалии, возникающие из-за фермионов и полуцелочисленных членов Черна-Симонса, компенсируются тогда и только тогда, когда число фермионов Майораны плюс удвоенный уровень Черна-Симонса является четным. В случае n=1 это утверждение соответствует условию полуцелочисленной квантизации в суперсимметричных калибровочных теориях Черна-Симонса, представленному в работе «Коэффициент Черна-Симонса в суперсимметричных калибровочных теориях Янга-Миллса». При n=2 этот вклад в функционал распределения был обнаружен в калибровочных теориях с 3 калибровочными полями в работе «Браны и нарушение суперсимметрии в трехмерных калибровочных теориях».
Коррекция на одноциклическом уровне к уровню Черна-Саймонса
Тот факт, что как члены Черна-Симонса, так и фермионы Майораны аномальны при деформациях с нечетными числами инстантонов, не случаен. Когда масса Паули-Вилларса для n фермионов Майораны стремится к бесконечности, Редлих показал, что оставшийся вклад в функцию разделения эквивалентен члену Черна-Симонса на уровне −n/2. Это, в частности, означает, что исключение n заряженных фермионов Майораны перенормирует уровень Черна-Симонса соответствующей калибровочной теории на −n/2. Тот факт, что уровень Черна-Симонса может принимать только дискретные значения, подразумевает, что константа связи не может входить в поправку к уровню. Это справедливо только для однопетлевой поправки, поэтому вклад фермионов Майораны в уровень Черна-Симонса может быть точно вычислен в однопетлевом приближении, а все более высокие петлевые поправки обращаются в ноль.