Кіріспе
Топтың негізгі жиынының бөлек, тең өлшемді жиынтықтары. Математикада, әсіресе топтар теориясында, G тобының H кіші тобы, G-нің негізгі жиынын косеттер деп аталатын бөлек, тең өлшемді жиынтықтарға жіктеу үшін қолданылуы мүмкін. Сол жақтан және оң жақтан косеттер болады. Косеттердің (сол және оң жақтан) элементтерінің саны H-тің элементтерінің санымен (кардиналдылығымен) бірдей. Сонымен қатар, H өзі де сол жақтан және оң жақтан косет болып табылады. G-дегі H-тің сол жақ косеттерінің саны, G-дегі H-тің оң жақ косеттерінің санына тең. Бұл ортақ мән G-дегі H-тің индексі деп аталады және әдетте [G : H] деп белгіленеді. Косеттер топтарды зерттеудегі маңызды құрал болып табылады; мысалы, олар Лагранж теоремасында орталық рөл атқарады, бұл теорема кез келген шекті топ G үшін, G-нің кез келген H кіші тобының элементтерінің саны, G-нің элементтерінің санын бөледі деп мәлімдейді. Белгілі бір типтегі кіші топтың (нормальді кіші топтың) косеттерін коэффициенттік топ немесе факторлық топ деп аталатын басқа топтың элементтері ретінде пайдалануға болады. Косеттер математиканың басқа салаларында да, мысалы векторлық кеңістіктерде және қателерді түзету кодтарында да кездеседі.
In mathematics, specifically group theory, a subgroup H of a group G may be used to decompose the underlying set of G into disjoint, equal size subsets called cosets. There are left cosets and right cosets. Cosets (both left and right) have the same number of elements (cardinality) as does H. Furthermore, H itself is both a left coset and a right coset. The number of left cosets of H in G is equal to the number of right cosets of H in G. This common value is called the index of H in G and is usually denoted by [G : H]. Cosets are a basic tool in the study of groups; for example, they play a central role in Lagrange's theorem that states that for any finite group G, the number of elements of every subgroup H of G divides the number of elements of G. Cosets of a particular type of subgroup (a normal subgroup) can be used as the elements of another group called a quotient group or factor group. Cosets also appear in other areas of mathematics such as vector spaces and error correcting codes.
Қасиеттері
Бірдей емес косеттердің байланыссыздығы, егер x gH-қа тиесілі болса, онда 1=gH = xH екендігінен туындайды. Егер x ∈ gH болса, онда a ∈ H болатындай бір элемент табылуы керек, яғни 1=ga = x. Осылайша 1=xH = (ga)H = g(aH). Сонымен қатар, H топ болғандықтан, сол жақтан көбейту a – биекция болып табылады, ал 1 = aH = H. Осылайша G-нің әрбір элементі H кіші тобының дәл бір сол жақ косетіне жатады. Кез келген эквиваленттілік кластары жиыны сияқты, олар негізгі жиынды бөліске бөледі. Косет өкілі – эквиваленттілік класы мағынасындағы өкіл. Барлық косеттердің өкілдерінің жиынтығы көлденең деп аталады. Топта конъюгация сияқты, мұнда талқыланған қасиеттерге ие емес, басқа да эквиваленттілік қатынастар бар, олар әртүрлі кластарды құрайды. Осыған ұқсас тұжырымдар оң жақ косеттерге де қатысты. Егер G абельдік топ болса, онда 1=g + H = H + g, G-нің кез келген H кіші тобы және G-нің кез келген элементі үшін. Жалпы топтар үшін, егер g элементі және G тобының H кіші тобы берілген болса, онда g-ге қатысты H-ның оң жақ косеті, g^(−1)Hg конъюгат кіші тобының сол жақ косетіне тең болады, яғни 1=Hg = g(g^(−1)Hg).
Thus every element of G belongs to exactly one left coset of the subgroup H, As with any set of equivalence classes, they form a partition of the underlying set. A coset representative is a representative in the equivalence class sense. A set of representatives of all the cosets is called a transversal. There are other types of equivalence relations in a group, such as conjugacy, that form different classes which do not have the properties discussed here. Similar statements apply to right cosets. If G is an abelian group, then 1=g + H = H + g for every subgroup H of G and every element g of G. For general groups, given an element g and a subgroup H of a group G, the right coset of H with respect to g is also the left coset of the conjugate subgroup g^(−1)Hg with respect to g, that is, 1=Hg = g(g^(−1)Hg).
Кәдімгі кіші топтар
G тобының N кіші тобы, G-дің қалыпты кіші тобы болып табылады, егер және тек қана G-дің барлық элементтері g үшін сол және оң жақ косеттер тең болса, яғни 1=gN = Ng. Бұл жоғарыда келтірілген бірінші мысалдағы H топшасы үшін орынды. Сонымен қатар, G-дегі N-нің косеттері коэффициенттік топ немесе факторлық топ деп аталатын топты құрайды. Егер H G-де қалыпты болмаса, онда оның сол жақ косеттері оң жақ косеттерінен өзгеше болады. Яғни, G-де a элементі бар, онда ешқандай b элементі 1=aH = Hb теңдігін қанағаттандырмайды. Бұл G-ді H-дің сол жақ косеттеріне бөлу, G-ді H-дің оң жақ косеттеріне бөлуден өзгеше бөлініс екенін білдіреді. Бұл жоғарыда келтірілген бірінші мысалдағы T кіші тобымен көрсетілген. (Кейбір косеттер сәйкес келуі мүмкін. Мысалы, егер a G-дің ортасында жатса, онда 1=aH = Ha.) Екінші жағынан, егер N кіші тобы қалыпты болса, барлық косеттер жиыны ∗ = (aN) ∗ (bN) = abN операциясымен коэффициенттік топты құрайды. Барлық оң жақ косет сол жақ косет болатындықтан, "сол жақ косеттерді" және "оң жақ косеттерді" ажырату қажеттілігі туындамайды.
If H is not normal in G, then its left cosets are different from its right cosets. That is, there is an a in G such that no element b satisfies 1=aH = Hb. This means that the partition of G into the left cosets of H is a different partition than the partition of G into right cosets of H. This is illustrated by the subgroup T in the first example above. (Some cosets may coincide. For example, if a is in the center of G, then 1=aH = Ha.) On the other hand, if the subgroup N is normal the set of all cosets forms a group called the quotient group with the operation ∗ defined by 1=(aN) ∗ (bN) = abN. Since every right coset is a left coset, there is no need to distinguish "left cosets" from "right cosets".
Кіші топтың индексі
H-ның әрбір сол немесе оң жақтағы косеті H-ның өзімен бірдей элементтер санына (немесе шексіз H болған жағдайда кардиналдылығына) ие. Бұдан әрі, сол жақтағы косеттер саны оң жақтағы косеттер санымен тең болады және ол G-дегі H индексі деп аталады, [G : H] деп белгіленеді. Лагранж теоремасы G және H шекті болған жағдайда индексті есептеуге мүмкіндік береді:
Бұл теңдеу топтар шексіз болған жағдайда да сақталады, бірақ мағынасы азырақ анық болуы мүмкін.
Бүкіл сандар
G бүтін сандардың қосу тобы болсын, 1='Z' = ({ , −2, −1, 0, 1, 2, }, +) және H 1=(3'Z', +) = ({ , −6, −3, 0, 3, 6, }, +). Содан кейін G-дегі H-дің косеттері 3'Z', 3'Z' + 1 және 3'Z' + 2 үш жиынтығы болып табылады, мұнда бұл үш жиынтық 'Z' жиынтығын бөледі, сондықтан H-дің басқа оң жақ косеттері жоқ. Қосудың коммутативтілігіне байланысты 1 = H + 1 = 1 + H және 1 = H + 2 = 2 + H. Яғни, H-дің әрбір сол жақ косеті де оң жақ косеті, сондықтан H қалыпты кіші топ. (Бұл аргумент Абель тобының әрбір кіші тобы қалыпты екенін көрсетеді.) Бұл мысал жалпыланған болуы мүмкін. Тағы да G бүтін сандардың қосу тобы болсын, 1='Z' = ({ , −2, −1, 0, 1, 2, }, +), ал енді H 1=(m'Z', +) = ({ , −2m, −m, 0, m, 2m, }, +) деп белгіленсін, мұнда m - оң бүтін сан. Содан кейін G-дегі H-дің косеттері m жиынтығына тең: m'Z', m'Z' + 1, ..., m'Z' + (m − 1), мұнда m-ден артық косеттер жоқ, өйткені 1=m'Z' + m = m('Z' + 1) = m'Z'. Косет (m'Z' + a, +) - m модулі бойынша a-ның конгруэнция класы. m'Z' кіші тобы 'Z'-де қалыпты, сондықтан ол mod m бүтін сандар тобын құрауға пайдаланылуы мүмкін.
Векторлар
Косеттің тағы бір мысалы векторлық кеңістіктер теориясынан келтіріледі. Векторлық кеңістіктің элементтері (векторлары) векторлық қосу бойынша абельдік топты құрайды. Векторлық кеңістіктің кіші кеңістіктері осы топтың кіші топтары болып табылады. Векторлық кеңістік V, W кіші кеңістігі және V-дегі белгілі бір 'a' векторы үшін, келесі жиындар аффиндік кіші кеңістіктер деп аталады және олар косеттер болып табылады (сол және оң жақты, өйткені топ абельдік). 3 өлшемді геометриялық векторлар тұрғысынан қарағанда, бұл аффиндік кіші кеңістіктер – кіші кеңістікке параллель барлық "түзулер" немесе "жазықтықтар", яғни координата басы арқылы өтетін түзу немесе жазықтық. Мысалы, 'R'^(2) жазықтығын қарастырайық. Егер m координата басы O арқылы өтетін түзу болса, онда m – 'R'^(2) абельдік тобының кіші тобы. Егер P 'R'^(2)-де жатса, онда P + m косеті m-ге параллель және P нүктесі арқылы өтетін m′ түзуі болады.
are called affine subspaces, and are cosets (both left and right, since the group is abelian). In terms of 3 dimensional geometric vectors, these affine subspaces are all the "lines" or "planes" parallel to the subspace, which is a line or plane going through the origin. For example, consider the plane 'R'^(2). If m is a line through the origin O, then m is a subgroup of the abelian group 'R'^(2). If P is in 'R'^(2), then the coset P + m is a line m′ parallel to m and passing through P.
Топтық іс-әрекеттің орбиталары ретінде
G тобының H кіші тобын пайдаланып, H-нің G-ге әсерін екі табиғи тәсілмен анықтауға болады. Оң жақтанғы әрекет, G × H → G, (g, h) → gh түрінде беріледі, ал сол жақтанғы әрекет, H × G → G, (h, g) → hg түрінде беріледі. Оң жақтанғы әрекет бойынша g орбитасы – gH сол жақ косеті, ал сол жақтанғы әрекет бойынша орбита – Hg оң жақ косеті.
Тарих
Косет ұғымы Галуаның 1830–31 жылдарғы жұмысына қатысты. Ол бір белгіні енгізді, бірақ бұл ұғымға есім қоймады. "Co set" термині алғаш рет 1910 жылы Г. А. Миллердің "Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics" (41-том, 382-бет) журналында пайда болды. "Nebengruppen" (Вебер) және "конъюгат топ" (Бёрнсайд) сияқты басқа да терминдер қолданылған. (Миллер өзінің сілтемесін "Quarterly Journal of Mathematics" деп қысқартқан; бұл 1930 жылға дейін жарияланбаған осы аттас журналға қатысты емес.) Галуа белгілі бір полиномдық теңдеуді радикалдар арқылы шешуге болатынын анықтаумен айналысты. Ол жасаған құрал – G пермутациялары тобының H кіші тобы G-нің екі түрлі жіктелуіне (қазіргі кезде сол және оң косеттер деп аталатын) әкелді. Егер бұл жіктелулер сәйкес келсе, яғни сол косеттер оң косеттермен бірдей болса, онда мәселені G орнына H арқылы шешуге болады. Камиль Джордан 1865 және 1869 жылдары Галуаның жұмысына түсініктемелер жасай отырып, осы идеяларды кеңейтіп, жоғарыда айтылғандай қалыпты кіші топтарды анықтады, бірақ бұл терминді қолданбады. "x'H^(T) " векторы "x" синдромы деп аталады, және сызықтық қағида бойынша, бір косеттегі кез келген вектордың синдромы бірдей болады. Декодтау үшін іздеу енді алынған сөзбен бірдей синдромға ие косет жетекшісін табуға дейін қысқартылады.
Қос қосқыштар
G тобының H және K (бұл екі топтың өзгеше болуы міндетті емес) кіші топтары берілген жағдайда, G-дегі H және K қос косеттері мына түрдегі жиынтықтар болып табылады. Бұл 1=H = 1 және 1=K = 1 болған кезде, сәйкесінше, K-нің сол жақ косеттері және H-дің оң жақ косеттері болып табылады. HxK және HyK екі қос косеті не толыққандай бөлініп жатады, не толыққандай сәйкес келеді. H және K кіші топтарының барлық қос косеттерінің жиыны G-нің бөлінісін құрайды. HxK қос косеті H (G-де) Hxk түріндегі толық оң жақ косеттерін, мұнда k – K элементі, және K (G-де) hxK түріндегі толық сол жақ косеттерін, мұнда h – H элементі қамтиды. G-дегі H-нің сол жақ косеттерінің жиынын білдіреді. G-дегі H-нің оң жақ косеттерінің жиынын білдіреді. G-дегі H және K кіші топтарының қос косет кеңістігін білдіреді, кейде қос косет кеңістігі деп те аталады. H кіші тобының G-дегі қос косет кеңістігін білдіреді.
A double coset HxK contains the complete right cosets of H (in G) of the form Hxk, with k an element of K and the complete left cosets of K (in G) of the form hxK, with h in H.
denotes the set of left cosets of H in G.
denotes the set of right cosets of H in G.
denotes the set of double cosets of H and K in G, sometimes referred to as double coset space. denotes the double coset space of the subgroup H in G.
Қолданылудың көбі
"R"-де "Q" косеттері Vitali жиынтықтарын құруда қолданылады, олар өлшенбейтін жиынтықтардың бір түрі. Косеттер трансферттің анықтамасында орталық роль атқарады. Косеттер есептеулік топтар теориясында маңызды. Мысалы, Тистлтвейттің Рубик текшесін шешу алгоритмі косеттерге көп көлінеді. Геометрияда Клиффорд-Клейн формасы – қос косет кеңістігі, мұнда G – редуктивті Лай тобы, H – жабық кіші топ, ал Γ – біртекті кеңістікте дұрыс үзіліссіз әрекет ететін дискретті кіші топ (G).