Введение
Разъединенные, равные по размеру подмножества базового множества группы. В математике, в частности в теории групп, подгруппа H группы G может быть использована для разложения базового множества G на разъединенные, равные по размеру подмножества, называемые косетами. Существуют левые и правые косеты. Косеты (как левые, так и правые) имеют такое же число элементов (кардинальность), как и H. Более того, сама H является одновременно левым и правым косетом. Число левых косетов H в G равно числу правых косетов H в G. Это общее значение называется индексом H в G и обычно обозначается [G : H]. Косеты являются базовым инструментом при изучении групп; например, они играют центральную роль в теореме Лагранжа, утверждающей, что для любой конечной группы G число элементов любой подгруппы H группы G делит число элементов G. Косеты особого типа подгрупп (нормальных подгрупп) могут использоваться в качестве элементов другой группы, называемой факторгруппой или группой частного. Косеты также встречаются в других областях математики, таких как векторные пространства и коды, исправляющие ошибки.
In mathematics, specifically group theory, a subgroup H of a group G may be used to decompose the underlying set of G into disjoint, equal size subsets called cosets. There are left cosets and right cosets. Cosets (both left and right) have the same number of elements (cardinality) as does H. Furthermore, H itself is both a left coset and a right coset. The number of left cosets of H in G is equal to the number of right cosets of H in G. This common value is called the index of H in G and is usually denoted by [G : H]. Cosets are a basic tool in the study of groups; for example, they play a central role in Lagrange's theorem that states that for any finite group G, the number of elements of every subgroup H of G divides the number of elements of G. Cosets of a particular type of subgroup (a normal subgroup) can be used as the elements of another group called a quotient group or factor group. Cosets also appear in other areas of mathematics such as vector spaces and error correcting codes.
Свойства
Разъединенность неидентичных косетов является следствием того, что если x принадлежит gH, то 1 = gH = xH. Действительно, если x ∈ gH, то должно существовать элемент a ∈ H, такой что 1 = ga = x. Следовательно, 1 = xH = (ga)H = g(aH). Более того, поскольку H является группой, левое умножение на a является биекцией, и 1 = aH = H.
Таким образом, каждый элемент G принадлежит ровно одному левому косету подгруппы H. Как и любой набор классов эквивалентности, они образуют разбиение исходного множества. Представитель косета – это представитель в смысле класса эквивалентности. Множество представителей всех косетов называется поперечным сечением. В группе существуют и другие типы отношений эквивалентности, такие как сопряженность, которые образуют различные классы, не обладающие описанными здесь свойствами. Аналогичные утверждения справедливы и для правых косетов. Если G – абелева группа, то 1 = g + H = H + g для любой подгруппы H группы G и любого элемента g группы G. Для произвольных групп, при заданном элементе g и подгруппе H группы G, правый косет H относительно g также является левым косетом сопряженной подгруппы g⁻¹Hg относительно g, то есть 1 = Hg = g(g⁻¹Hg).
Нормальные подгруппы
Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой G тогда и только тогда, когда для всех элементов g из G соответствующие левые и правые косеты равны, то есть gN = Ng. Это справедливо для подгруппы H в первом примере, приведенном выше. Более того, множество косетов N в G образует группу, называемую факторгруппой или группой частного. Если H не является нормальной подгруппой в G, то её левые и правые косеты различны. То есть, существует элемент a в G, для которого не существует элемента b, удовлетворяющего условию aH = Hb. Это означает, что разбиение G на левые косеты H отличается от разбиения G на правые косеты H. Это иллюстрируется подгруппой T в первом примере, приведенном выше. (Некоторые косеты могут совпадать. Например, если a принадлежит центру G, то aH = Ha.) С другой стороны, если подгруппа N нормальна, то множество всех косетов образует факторгруппу, с операцией ∗, определяемой как (aN) ∗ (bN) = abN. Поскольку любой правый косет является также левым косетом, нет необходимости различать "левые косеты" и "правые косеты".
If H is not normal in G, then its left cosets are different from its right cosets. That is, there is an a in G such that no element b satisfies 1=aH = Hb. This means that the partition of G into the left cosets of H is a different partition than the partition of G into right cosets of H. This is illustrated by the subgroup T in the first example above. (Some cosets may coincide. For example, if a is in the center of G, then 1=aH = Ha.) On the other hand, if the subgroup N is normal the set of all cosets forms a group called the quotient group with the operation ∗ defined by 1=(aN) ∗ (bN) = abN. Since every right coset is a left coset, there is no need to distinguish "left cosets" from "right cosets".
Индекс подгруппы
Каждый левый или правый косет H имеет столько же элементов, сколько и сам H (или такую же кардинальность, если H бесконечен). Более того, число левых косетов равно числу правых косетов и называется индексом H в G, обозначаемым как [G : H]. Теорема Лагранжа позволяет вычислить индекс в случае, когда G и H конечны:
Это уравнение также верно для бесконечных групп, хотя его смысл может быть менее очевидным.
Целые числа
Пусть G — аддитивная группа целых чисел, ℤ = ({…, −2, −1, 0, 1, 2, …}, +) и H — подгруппа, 3ℤ = ({…, −6, −3, 0, 3, 6, …}, +). Тогда косетами H в G являются три множества 3ℤ, 3ℤ + 1 и 3ℤ + 2, причём эти три множества образуют разбиение множества ℤ, поэтому других правых косетов H не существует. В силу коммутативности сложения, 3ℤ + 1 = 1 + 3ℤ и 3ℤ + 2 = 2 + 3ℤ. То есть, каждый левый косет H также является правым косетом, следовательно, H — нормальная подгруппа. (Тот же аргумент показывает, что любая подгруппа абелевой группы нормальна.) Этот пример можно обобщить. Пусть снова G — аддитивная группа целых чисел, ℤ = ({…, −2, −1, 0, 1, 2, …}, +), а H — подгруппа mℤ = ({…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, +), где m — положительное целое число. Тогда косетами H в G являются m множеств mℤ, mℤ + 1, …, mℤ + (m − 1), причём косетов больше m не существует, так как mℤ + m = m(ℤ + 1) = mℤ. Косет (mℤ + a, +) является классом вычетов по модулю m. Подгруппа mℤ нормальна в ℤ и, следовательно, может быть использована для построения факторгруппы — группы целых чисел по модулю m.
Векторы
Другой пример косета можно найти в теории векторных пространств. Элементы (векторы) векторного пространства образуют абелеву группу относительно операции сложения векторов. Подпространства векторного пространства являются подгруппами этой группы. Для векторного пространства V, подпространства W и фиксированного вектора 'a' в V, множества
называются аффинными подпространствами и являются косетами (как левыми, так и правыми, поскольку группа абелева). В терминах трехмерных геометрических векторов, эти аффинные подпространства – это все "прямые" или "плоскости", параллельные подпространству, являющемуся прямой или плоскостью, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим плоскость R² . Если m – прямая, проходящая через начало координат O, то m является подгруппой абелевой группы R². Если P принадлежит R², то косет P + m представляет собой прямую m′, параллельную m и проходящую через точку P.
Как орбиты группового действия
Подгруппа H группы G может быть использована для определения действия H на G двумя естественными способами: правым действием, заданным отображением G × H → G, (g, h) ↦ gh, или левым действием, заданным отображением H × G → G, (h, g) ↦ hg. Орбита элемента g при правом действии является левой смежной gH, а орбита при левом действии – правой смежной Hg.
История
Концепция косета восходит к работам Галуа 1830–31 годов. Он ввел обозначение, но не дал названия этой концепции. Термин "косо множество" впервые, по всей видимости, появляется в 1910 году в статье Г. А. Миллера в журнале "Квартальный журнал чистой и прикладной математики" (том 41, с. 382). Использовались и другие термины, такие как немецкое Nebengruppen (Вебер) и сопряженная группа (Бернсайд). (Обратите внимание, что Миллер сократил свою автоцитату до "Квартального журнала математики"; это не относится к одноименному журналу, который начал издаваться только в 1930 году.) Галуа был озабочен определением того, когда данное полиномиальное уравнение можно решить с помощью радикалов. Одним из инструментов, который он разработал, было замечание о том, что подгруппа H группы перестановок G порождает два разложения G (то, что мы сейчас называем левыми и правыми косетами). Если эти разложения совпадают, то есть если левые косеты идентичны правым косетам, то проблему можно свести к работе с H вместо G. Камиль Жордан в своих комментариях к работам Галуа в 1865 и 1869 годах развивал эти идеи и определил нормальные подгруппы, как это определено выше, хотя он и не использовал этот термин. Вектор xHᵀ называется синдромом x, и в силу линейности каждый вектор в одном и том же косете будет иметь один и тот же синдром. Для декодирования поиск сводится к нахождению представителя косета, который имеет тот же синдром, что и принятое слово.
Двойные косеты
При заданных двух подгруппах H и K (которые не обязательно различны) группы G, двойные классы H и K в G – это множества вида HxK, где x – элемент G. Это левые классы K и правые классы H, когда H = G и K = G соответственно. Два двойных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо совпадают. Множество всех двойных классов для фиксированных H и K образует разбиение G.
Двойной класс HxK содержит все правые классы H (в G) вида Hxk, где k – элемент K, и все левые классы K (в G) вида hxK, где h – элемент H.
обозначает множество левых классов H в G.
обозначает множество правых классов H в G.
обозначает множество двойных классов H и K в G, иногда называемое двойным классовым пространством. обозначает двойное классовое пространство подгруппы H в G.
denotes the set of left cosets of H in G.
denotes the set of right cosets of H in G.
denotes the set of double cosets of H and K in G, sometimes referred to as double coset space. denotes the double coset space of the subgroup H in G.
Больше приложений
Косеты 'Q' в 'R' используются при построении множеств Витали, являющихся примером неизмеримых множеств. Косеты играют центральную роль в определении трансфера. Косеты важны в вычислительной теории групп. Например, алгоритм Тистлвейта для решения кубика Рубика в значительной степени основан на косетах. В геометрии форма Клиффорда — Клейна представляет собой двойное косетовое пространство, где G — редуктивная группа Ли, H — замкнутая подгруппа, а Γ — дискретная подгруппа (G), действующая корректно разрывно на однородном пространстве.