Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топологияда, математиканың бір саласы, жақындасу кеңістіктері – нүктеден жиынға дейінгі арақашықтықтарға негізделген, нүктеден нүктеге дейінгі арақашықтықтарға емес, метрикалық кеңістіктердің жалпылама түрі. Оларды Роберт Лоуэн 1989 жылы 1988 және 1995 жылдар аралығындағы жақындасу теориясы туралы бірнеше мақаласында енгізді.
In topology, a branch of mathematics, approach spaces are a generalization of metric spaces, based on point to set distances, instead of point to point distances. They were introduced by Robert Lowen in 1989, in a series of papers on approach theory between 1988 and 1995.
Мысалдар
Әрбір ∞pq метрикалық кеңістік (X, d) анықтаманың басында сипатталғандай, (X, d) арақашықтығына дейін жеткізілуі мүмкін. X жиынтығын қарастыра отырып, дискретті арақашықтық былай беріледі: x ∈ A болса, d(x, A) = 0 және x ∉ A болса, d(x, A) = ∞. Индукцияланған топология – дискретті топология. X жиынтығын қарастыра отырып, егер A бос емес болса, d(x, A) = 0 және егер A бос болса, d(x, A) = ∞. Индукцияланған топология – индискретті топология. Топологиялық кеңістік X берілген болса, топологиялық арақашықтық былай беріледі: x ∈ A болса, d(x, A) = 0, әйтпесе d(x, A) = ∞. Индукцияланған топология – бастапқы топология. Шындығында, екі мәнді арақашықтықтардың барлығы – топологиялық арақашықтықтар. P = [0, ∞] – кеңейтілген теріс емес нақты сандар болсын. d+(x, A) = max(x − sup A, 0) x ∈ P және A ⊆ P үшін болсын. Кез келген жақындасу кеңістігін (X, d) қарастыра отырып, (әр A ⊆ X үшін) d(., A) : (X, d) → (P, d+) функциялары жиырылатын болады. P-де, x < ∞ болса, e(x, A) = inf{|x − a| : a ∈ A} болсын, егер A шексіз болса, e(∞, A) = 0 болсын, ал егер A шектеулі болса, e(∞, A) = ∞ болсын. Онда (P, e) – жақындасу кеңістігі. Топологиялық тұрғыдан, P – [0, ∞) бірнүктелік тығыздалуы. e евклидтік арақашықтықты кеңейтетінін ескеріңіз. Бұл қарапайым евклидтік метрикамен істелмейді. βN – бүтін сандардың Stone–Čech тығыздалуы болсын. U ∈ βN нүктесі – N-дегі ультрафильтр. A ⊆ βN жиынтығы F(A) = ∩ {U : U ∈ A} фильтрін индукциялайды. b(U, A) = sup{ inf{|n − j| : n ∈ X, j ∈ E } : X ∈ U, E ∈ F(A) } болсын. Онда (βN, b) – N-дегі қарапайым евклидтік арақашықтықты кеңейтетін жақындасу кеңістігі. Керісінше, βN метрикаланбайды.
Every ∞pq metric space (X, d) can be distanced to (X, d), as described at the beginning of the definition. Given a set X, the discrete distance is given by d(x, A) = 0 if x ∈ A and d(x, A) = ∞ if x ∉ A. The induced topology is the discrete topology. Given a set X, the indiscrete distance is given by d(x, A) = 0 if A is non empty, and d(x, A) = ∞ if A is empty. The induced topology is the indiscrete topology. Given a topological space X, a topological distance is given by d(x, A) = 0 if x ∈ A, and d(x, A) = ∞ otherwise. The induced topology is the original topology. In fact, the only two valued distances are the topological distances. Let P = [0, ∞] be the extended non negative reals. Let d+(x, A) = max(x − sup A, 0) for x ∈ P and A ⊆ P. Given any approach space (X, d), the maps (for each A ⊆ X) d(., A) : (X, d) → (P, d+) are contractions. On P, let e(x, A) = inf{|x − a| : a ∈ A} for x < ∞, let e(∞, A) = 0 if A is unbounded, and let e(∞, A) = ∞ if A is bounded. Then (P, e) is an approach space. Topologically, P is the one point compactification of [0, ∞). Note that e extends the ordinary Euclidean distance. This cannot be done with the ordinary Euclidean metric. Let βN be the Stone–Čech compactification of the integers. A point U ∈ βN is an ultrafilter on N. A subset A ⊆ βN induces a filter F(A) = ∩ {U : U ∈ A}. Let b(U, A) = sup{ inf{ |n − j| : n ∈ X, j ∈ E } : X ∈ U, E ∈ F(A) }. Then (βN, b) is an approach space that extends the ordinary Euclidean distance on N. In contrast, βN is not metrizable.
Категориялық қасиеттер
Қосылу кеңістіктері мен олардың жиырылуларының ең басты қызығушылығы – олардың жақсы қасиеттері бар категорияны құрайтыны, сонымен бірге метрикалық кеңістіктер сияқты сандық сипатқа ие екені. Кез келген көбейтінділерді, копродуктарды және бөлулерді алуға болады, ал нәтижелер топологиялар үшін сәйкес келетін нәтижелерді дұрыс жалпылайды. Тіпті βN сияқты нашар метризацияланатын кеңістіктерді, бүтін сандардың Stone–Čech жиынтығын "арақашықтықпен жабдықтауға" болады. Кейбір гиперкеңістіктер, өлшем кеңістіктері және ықтималдық метрикалық кеңістіктер табиғи түрде арақашықтықпен жабдықталған болып шығады. Сондай-ақ, жуықтау теориясында да қолданысқа ие.
The main interest in approach spaces and their contractions is that they form a category with good properties, while still being quantitative like metric spaces. One can take arbitrary products, coproducts, and quotients, and the results appropriately generalize the corresponding results for topologies. One can even "distancize" such badly non metrizable spaces like βN, the Stone–Čech compactification of the integers. Certain hyperspaces, measure spaces, and probabilistic metric spaces turn out to be naturally endowed with a distance. Applications have also been made to approximation theory.