Введение

В топологии, ветви математики, пространства приближений являются обобщением метрических пространств, основанных на расстояниях от точки до множества, а не от точки до точки. Они были введены Робертом Лоуэном в 1989 году в серии работ по теории приближений между 1988 и 1995 годами.

Примеры

Каждое ∞pq метрическое пространство (X, d) может быть дополнено до (X, d), как описано в начале определения. Для заданного множества X дискретное расстояние задается как d(x, A) = 0, если x ∈ A, и d(x, A) = ∞, если x ∉ A. Индуцированная топология — это дискретная топология. Для заданного множества X недискретное расстояние задается как d(x, A) = 0, если A не пусто, и d(x, A) = ∞, если A пусто. Индуцированная топология — это недискретная топология. Для заданного топологического пространства X топологическое расстояние задается как d(x, A) = 0, если x ∈ A, и d(x, A) = ∞ в противном случае. Индуцированная топология является исходной топологией. Фактически, единственными расстояниями с двумя значениями являются топологические расстояния. Пусть P = [0, ∞] — расширенные неотрицательные вещественные числа. Пусть d+(x, A) = max(x − sup A, 0) для x ∈ P и A ⊆ P. Для любого пространства приближений (X, d) отображения (для каждого A ⊆ X) d(., A) : (X, d) → (P, d+) являются сжатиями. На P определим e(x, A) = inf{|x − a| : a ∈ A} для x < ∞, e(∞, A) = 0, если A неограничено, и e(∞, A) = ∞, если A ограничено. Тогда (P, e) является пространством приближений. Топологически P является одноточечным компактификацией [0, ∞). Обратите внимание, что e расширяет обычное евклидово расстояние. Это невозможно сделать с обычной евклидовой метрикой. Пусть βN — каменно-чешская компактификация целых чисел. Точка U ∈ βN является ультрафильтром на N. Подмножество A ⊆ βN индуцирует фильтр F(A) = ∩ {U : U ∈ A}. Пусть b(U, A) = sup{inf{|n − j| : n ∈ X, j ∈ E} : X ∈ U, E ∈ F(A)}. Тогда (βN, b) является пространством приближений, расширяющим обычное евклидово расстояние на N. В отличие от этого, βN не является метризуемым.

Категорические свойства

Основной интерес к пространствам приближений и их сжатиям заключается в том, что они образуют категорию с хорошими свойствами, оставаясь при этом количественными, как и метрические пространства. Можно брать произвольные произведения, копроизведения и факторпространства, и результаты соответствующим образом обобщают аналогичные результаты для топологий. Можно даже "метризовать" такие пространства, которые плохо поддаются метризации, как, например, βN – каменно-чеховское компактное расширение целых чисел. Определенные гиперпространства, пространства мер и вероятностные метрические пространства оказываются естественным образом наделенными расстоянием. Также были найдены применения в теории аппроксимаций.