Кіріспе
Барлық метрикалық кеңістіктерді құрастыру, онда түзулер сферадағы түзулерге ұқсас. Математикада Хилберт проблемаларының 1900 жылғы тізіміндегі Хилберттің төртінші мәселесі геометриядағы негізгі мәселе болып табылады. Түпнұсқадан туындаған бір тұжырымдама бойынша, классикалық геометрияның (Евклидтік, гиперболалық және эллиптикалық) аксиомалық жүйесіне ие барлық геометрияларды табу қажет болды, бұрыш ұғымын қамтитын сәйкестік аксиомалары алынып тасталды, ал "үшбұрыш теңсіздігі" аксиома ретінде қосылды. Егер үздіксіздік аксиомасы да қосымша қарастырылса, онда Евклид жазықтығының жағдайында біз Жан Гастон Дарбукс қойған мәселеге келеміз: "Жазықтықтағы барлық вариациялық есептерді анықтау, олардың шешімдері жазықтықтың барлық түзулері". Дэвид Гилберттің бастапқы тұжырымдамасының бірнеше интерпретациялары бар. Дегенмен, шешім іздестірілді, және неміс математигі Георг Хамель Хилберттің төртінші мәселесін шешуге алғашқы үлес қосушы болды. Кеңес математигі Алексей Погорелов 1973 жылы осы мәселенің толыққанды шешімін ұсынды. 1976 жылы армян математигі Рубен В. Амбарцумян Хилберттің төртінші мәселесінің тағы бір дәлелін ұсынды.
In mathematics, Hilbert's fourth problem in the 1900 list of Hilbert's problems is a foundational question in geometry. In one statement derived from the original, it was to find — up to an isomorphism — all geometries that have an axiomatic system of the classical geometry (Euclidean, hyperbolic and elliptic), with those axioms of congruence that involve the concept of the angle dropped, and `triangle inequality', regarded as an axiom, added. If one assumes the continuity axiom in addition, then, in the case of the Euclidean plane, we come to the problem posed by Jean Gaston Darboux: "To determine all the calculus of variation problems in the plane whose solutions are all the plane straight lines." There are several interpretations of the original statement of David Hilbert. Nevertheless, a solution was sought, with the German mathematician Georg Hamel being the first to contribute to the solution of Hilbert's fourth problem. A recognized solution was given by Soviet mathematician Aleksei Pogorelov in 1973. In 1976, Armenian mathematician Rouben V. Ambartzumian proposed another proof of Hilbert's fourth problem.
Гилберт геометриясы
Болсын, шектелген ашық дөңгелек жиын, C2 класындағы шекарасы және оң нормаль қисықтығы бар. Лобачевский кеңістігіне ұқсас, бұл гипербет Гильберт геометриясының абсолюті деп аталады. Гильберт қашықтығы (суретті қараңыз) U жиынындағы Хилберт-Финслер метрикасын анықтайды. Кез келген және (суретті қараңыз), метрика симметриялық және жазық. 1895 жылы Гильберт бұл метриканы Лобачевский геометриясының обобщениесі ретінде енгізді. Егер гипербет эллипсоид болса, онда Лобачевский геометриясы пайда болады.
The distance induces the Hilbert–Finsler metric on U. For any and (see fig. ), we have
The metric is symmetric and flat. In 1895, Hilbert introduced this metric as a generalization of the Lobachevsky geometry. If the hypersurface is an ellipsoid, then we have the Lobachevsky geometry.
Функ метрикасы
1930 жылы Фанк симметриялық емес метриканы енгізді. Ол жабық дөңгелек гипербетпен шектелген доменде анықталады және жазық болып табылады.
Жазық өлшемдер үшін жеткілікті жағдай
Георг Хамель Хилберттің төртінші мәселесін шешуге алғашқы үлес қосушы болды. Осыған ұқсас тұжырым проективті кеңістікке де қатысты.
Хилберттің төртінші проблемасы және бүгілген денелер
Хилберттің төртінші мәселесі де дөңес денелердің қасиеттерімен тығыз байланысты. Егер дөңес көпбұрыш сегменттердің Минковский қосындысы болса, онда ол зонотоп деп аталады. Блашке – Хаусдорф метрикасында зонотоптардың лимиті болып табылатын дөңес дене зоноид деп аталады. Зоноидтар үшін қолдау функциясы келесідей беріледі:
мұнда – сферадағы тік, оң Борель өлшемі. Минковский кеңістігі Блашке – Буземанн құрылысымен жасалады, егер және тек қана индикатордың қолдау функциясы (1) түрінде болса, мұнда тік өлшем оң болуы міндетті емес. Мұндай гипербеттермен шектелген денелер жалпыланған зоноидтар деп аталады. Евклид кеңістігіндегі октаэдр жалпыланған зоноид емес. Жоғарыда айтылғаннан, нормасымен Минковский кеңістігінің жалпақ метрикасы Блашке – Буземанн құрылысымен жасалмайды.
The Minkowski space is generated by the Blaschke–Busemann construction if and only if the support function of the indicatrix has the form of (1), where is even and not necessarily of positive Borel measure. The bodies bounded by such hypersurfaces are called generalized zonoids. The octahedron in the Euclidean space is not a generalized zonoid. From the above statement it follows that the flat metric of Minkowski space with the norm is not generated by the Blaschke–Busemann construction.
Шешілмеген мәселелер
Гильберттің симметриялық емес Финслер метрикасы үшін төртінші мәселесі әлі шешілмеген. k жазықтықтары k ауданын ең аз қылатын метриканың сипаттамасы берілмеген (Бюземан).