Введение
Создать все метрические пространства, в которых линии похожи на линии на сфере. В математике, четвертая проблема Гильберта из списка проблем Гильберта, предложенного в 1900 году, является фундаментальным вопросом в геометрии. Одна из формулировок, вытекающая из первоначальной, заключалась в том, чтобы найти — с точностью до изоморфизма — все геометрии, обладающие аксиоматической системой классической геометрии (евклидовой, гиперболической и эллиптической), при этом аксиомы сравнения, включающие понятие угла, опущены, а неравенство треугольника рассматривается как аксиома и добавляется. Если дополнительно принять аксиому непрерывности, то в случае евклидовой плоскости мы приходим к проблеме, сформулированной Жаном Гастоном Дарбу: "Определить все вариационные задачи в плоскости, решениями которых являются все прямые линии на плоскости". Существует несколько интерпретаций первоначальной формулировки Дэвида Гильберта. Тем не менее, решение было найдено, и немецкий математик Георг Гамель первым внес вклад в решение четвертой проблемы Гильберта. Признанное решение было дано советским математиком Алексеем Погореловым в 1973 году. В 1976 году армянский математик Рубен В. Амбарцумян предложил другое доказательство четвертой проблемы Гильберта.
In mathematics, Hilbert's fourth problem in the 1900 list of Hilbert's problems is a foundational question in geometry. In one statement derived from the original, it was to find — up to an isomorphism — all geometries that have an axiomatic system of the classical geometry (Euclidean, hyperbolic and elliptic), with those axioms of congruence that involve the concept of the angle dropped, and `triangle inequality', regarded as an axiom, added. If one assumes the continuity axiom in addition, then, in the case of the Euclidean plane, we come to the problem posed by Jean Gaston Darboux: "To determine all the calculus of variation problems in the plane whose solutions are all the plane straight lines." There are several interpretations of the original statement of David Hilbert. Nevertheless, a solution was sought, with the German mathematician Georg Hamel being the first to contribute to the solution of Hilbert's fourth problem. A recognized solution was given by Soviet mathematician Aleksei Pogorelov in 1973. In 1976, Armenian mathematician Rouben V. Ambartzumian proposed another proof of Hilbert's fourth problem.
Гильбертова геометрия
Пусть – ограниченное открытое выпуклое множество с границей класса C² и положительными нормальными кривизнами. Подобно пространству Лобачевского, гиперповерхность называется абсолютом гильбертовой геометрии. Расстояние Гильберта (см. рис.) определяется выражением
Расстояние индуцирует гильбертову–финслерову метрику на U. Для любых и (см. рис.), справедливо
Метрика симметрична и плоская. В 1895 году Гильберт ввёл эту метрику как обобщение геометрии Лобачевского. Если гиперповерхность является эллипсоидом, то мы получаем геометрию Лобачевского.
Функциональная метрика
В 1930 году Фанк ввёл несимметричную метрику. Она определена в области, ограниченной замкнутой выпуклой гиперповерхностью, и является плоской.
Достаточный уровень для плоских метрик
Георг Гамель первым внес вклад в решение четвертой проблемы Гильберта. Аналогичное утверждение верно и для проективного пространства.
Четвертая проблема Гильберта и выпуклые тела
Четвертая проблема Гильберта также тесно связана со свойствами выпуклых тел. Выпуклый многогранник называется зонотопом, если он является суммой Минковского отрезков. Выпуклое тело, являющееся пределом зонотопов в метрике Блашке — Хаусдорфа, называется зоноидом. Для зоноидов функция поддержки представляется выражением
где – четная неотрицательная мера Бореля на сфере.
Пространство Минковского генерируется конструкцией Блашке — Буземан тогда и только тогда, когда функция поддержки индикатрисы имеет вид (1), где – четная мера Бореля, не обязательно неотрицательная. Тела, ограниченные такими гиперповерхностями, называются обобщенными зоноидами. Октаэдр в евклидовом пространстве не является обобщенным зоноидом. Из вышесказанного следует, что плоская метрика пространства Минковского с нормой не генерируется конструкцией Блашке — Буземан.
The Minkowski space is generated by the Blaschke–Busemann construction if and only if the support function of the indicatrix has the form of (1), where is even and not necessarily of positive Borel measure. The bodies bounded by such hypersurfaces are called generalized zonoids. The octahedron in the Euclidean space is not a generalized zonoid. From the above statement it follows that the flat metric of Minkowski space with the norm is not generated by the Blaschke–Busemann construction.
Нерешенные проблемы
Четвертая проблема Гильберта для несимметричной метрики Финслера до сих пор не решена. Описание метрики, для которой k плоскостей минимизирует k-площадь, не приведено (Буземан).