Кіріспе
Математиканың инциденттік құрылымдарды зерттейтін саласы. Математикада инциденттік геометрия – инциденттік құрылымдарды зерттейді. Эвклид жазықтығы сияқты геометриялық құрылым – ұзындық, бұрыштар, үзділіссіздік, аралық орналасу және инциденттік сияқты ұғымдарды қамтитын күрделі нысан. Барлық басқа ұғымдар алынып тасталғанда, қандай нүктелер қандай түзулерде жатыр деген деректер ғана қалды. Мұндай қатаң шектеулерге қарамастан, теоремалар дәлелденеді және осы құрылымға қатысты қызықты фактілер анықталады. Мұндай негізгі нәтижелер, бай геометрия құру үшін қосымша ұғымдар қосылғанда да жарамды болып қалады. Кейде авторлар зерттеу мен зерттеу нысандары арасындағы шекараны бұлыңғыртады, сондықтан кейбір авторлар инциденттік құрылымдарды инциденттік геометрия деп атайтыны таңқаларлық емес. Инциденттік құрылымдар табиғи түрде туындайды және математиканың әртүрлі салаларында зерттелді. Сәйкесінше, осы нысандарды сипаттау үшін әртүрлі терминологиялар қолданылады. Графтар теориясында олар гиперграфтар деп аталады, ал комбинаторлық дизайн теориясында – блок дизайн деп аталады. Терминологиядағы айырмашылықтан басқа, әр сала тақырыпқа өзгеше көзқарас танытады және осы салаға қатысты осы нысандар туралы сұрақтарға қызығушылық танытады. Инциденттік геометрияда қолданылатын геометриялық тіл, әдетте ұсынылатын тақырыптар мен мысалдарды қалыптастырады. Дегенмен, бір саланың нәтижелерін екінші саланың терминологиясына аударуға болады, бірақ бұл көбінесе тақырыптардың табиғи жалғасы болып көрінбейтін қиын және күрделі тұжырымдамаларға әкеледі. Осы мақалада таңдалған мысалдарда біз тек табиғи геометриялық сипаттамаға ие мысалдарды ғана қолданамыз. Көп қызығушылық тудырған ерекше жағдай – Эвклид жазықтығындағы шекті нүктелер жиыны және олар анықтайтын (түзу) түзулердің саны мен түрлері туралы не айтуға болады. Бұл жағдайдың кейбір нәтижелері тек инциденттік қасиеттер қарастырылатындықтан, жалпырақ жағдайларға таралуы мүмкін.
the field of mathematics
In mathematics, incidence geometry is the study of incidence structures. A geometric structure such as the Euclidean plane is a complicated object that involves concepts such as length, angles, continuity, betweenness, and incidence. An incidence structure is what is obtained when all other concepts are removed and all that remains is the data about which points lie on which lines. Even with this severe limitation, theorems can be proved and interesting facts emerge concerning this structure. Such fundamental results remain valid when additional concepts are added to form a richer geometry. It sometimes happens that authors blur the distinction between a study and the objects of that study, so it is not surprising to find that some authors refer to incidence structures as incidence geometries. Incidence structures arise naturally and have been studied in various areas of mathematics. Consequently, there are different terminologies to describe these objects. In graph theory they are called hypergraphs, and in combinatorial design theory they are called block designs. Besides the difference in terminology, each area approaches the subject differently and is interested in questions about these objects relevant to that discipline. Using geometric language, as is done in incidence geometry, shapes the topics and examples that are normally presented. It is, however, possible to translate the results from one discipline into the terminology of another, but this often leads to awkward and convoluted statements that do not appear to be natural outgrowths of the topics. In the examples selected for this article we use only those with a natural geometric flavor. A special case that has generated much interest deals with finite sets of points in the Euclidean plane and what can be said about the number and types of (straight) lines they determine. Some results of this situation can extend to more general settings since only incidence properties are considered.
Аурудың таралу құрылымы
Шығыстық құрылым (P, L, I) нүктелер деп аталатын P жиынтығынан, сызықтар деп аталатын P-ден ажыратылған L жиынтығынан және олардың арасындағы I шығыстық қатынастан тұрады, яғни жалаушалар деп аталатын P × L жиынының ішкі жиынынан тұрады. Егер (A, l) жалауша болса, онда A, l-мен шығыстық қатынаста немесе l, A-мен шығыстық қатынаста (терминология симметриялы) дейміз және A I l деп жазамыз. Түсінікті тұрғысынан, нүкте мен сызық осы қатынаста болады, егер және тек қана нүкте сызықта жатса. Егер B нүктесі мен m сызығы жалауша құрамайтын болса, яғни нүкте сызықта жатпаса, онда (B, m) жұбы антижалауша деп аталады.
Дағдарыс құрылымындағы қашықтық
Инциденттік құрылымда қашықтық (метрика) туралы табиғи түсінік жоқ. Дегенмен, сәйкес инциденттік графта (Леви графигінде) комбинаторлық метрика бар, атап айтқанда, осы екібөлікті графтағы екі төбе арасындағы ең қысқа жолдың ұзындығы. Инциденттік құрылымның екі нысаны – екі нүкте, екі түзу немесе нүкте мен түзу – арасындағы қашықтықты инциденттік құрылымның инциденттік графындағы сәйкес төбелер арасындағы қашықтық ретінде анықтауға болады. Қашықтықты анықтаудың тағы бір тәсілі – бұл жолы инциденттік құрылымның коллинеарлық графындағы граф теориясының ұғымын пайдалану. Коллинеарлық графтың төбелері – инциденттік құрылымның нүктелері, ал егер екі нүктемен де түсетін түзу болса, онда екі нүкте қосылады. Содан кейін инциденттік құрылымның екі нүктесі арасындағы қашықтықты олардың коллинеарлық графтарындағы қашықтық ретінде анықтауға болады. Инциденттік құрылымда қашықтық қарастырылғанда, оның қалай анықталғанын көрсету қажет.
Негізгі геометриялық мысалдар
Кейбір негізгі түсініктер мен терминология геометриялық мысалдардан, әсіресе проективтік жазықтықтардан және аффиндік жазықтықтардан пайда болады.
Фено ұшағы
Бұл атақты инциденттік геометрияны итальяндық математик Джинно Фано жасаған. Ол проективті n кеңістік үшін өзі әзірлеген аксиомалар жиынтығының тәуелсіздігін дәлелдеу жұмысында 15 нүктесі, 35 сызығы және 15 жазықтығы бар шекті үш өлшемді кеңістік құрды, онда әр сызықта тек үш нүкте орналасқан. Бұл кеңістіктегі жазықтықтар жеті нүктеден және жеті сызықтан тұрады және қазір Фано жазықтықтары деп белгілі. Фано жазықтығын тек нүктелер мен түзу сызық кесінділерін пайдаланып Евклид жазықтығында бейнелеу мүмкін емес (яғни, оны іске асыруға болмайды). Бұл Сильвестр-Галлай теоремасының салдары, соған сәйкес, іске асырылатын әрбір инциденттік геометрияда тек екі нүктеден тұратын қарапайым түзу болуы керек. Фано жазықтығында мұндай түзу жоқ (яғни, ол Сильвестр-Галлай конфигурациясы), сондықтан оны іске асыру мүмкін емес. Толық төртбұрыш – үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайтын төрт нүктеден тұрады. Фано жазықтығында толық төртбұрышта емес үш нүкте сол төртбұрыштың диагональ нүктелері болып табылады және бір түзудің бойында жатады. Бұл Евклид жазықтығы үшін аксиома ретінде жиі қолданылатын Фано аксиомасына қайшы келеді, онда толық төртбұрыштың үш диагональ нүктесі ешқашан бір түзудің бойында жатпайды делінеді.
Гессен конфигурациясы
Үшінші реттік аффиндік жазықтық (94, 123) конфигурациясы болып табылады. Ол қоршаған кеңістікте орналастырылғанда Гессе конфигурациясы деп аталады. Ол Евклид жазықтығында іске асырылмайды, бірақ күрделі проекциялық жазықтықта эллиптік қисықтың тоғыз инфлексиялық нүктесі ретінде іске асырылуы мүмкін, оған осы нүктелердің үштігіне тиісті 12 түзу. 12 түзуді әрқайсысы үш түзуден тұратын төрт классқа бөлуге болады, мұнда әр класс ішіндегі түзулер өзара қиылыспайды. Бұл класстар түзулердің параллель класстары деп аталады. Егер әрбір параллель класстың барлық түзулеріне төрт жаңа нүкте қосылса (сонда осы түзулердің барлығы енді қиылысады), және осы төрт жаңа нүктенің өзінен тұратын бір жаңа түзу қосылса, онда үшінші реттік проекциялық жазықтық, яғни (134) конфигурациясы пайда болады. Керісінше, егер үшінші реттік проекциялық жазықтықтан (ол бірегей) кез келген бір түзуді және сол түзудегі барлық нүктелерді алып тастасақ, онда осы үшінші реттік аффиндік жазықтық пайда болады (ол да бірегей). Бір нүктені және сол нүкте арқылы өтетін төрт түзуді (бірақ олардың басқа нүктелерін емес) алып тастасақ, (83) Мёбиус-Кантор конфигурациясы пайда болады.
Сильвестр-Галлай теоремасы
1893 жылы Дж. Дж. Сильвестр көтерген және Тибор Галлай ақыры шешкен мәселе, Евклид жазықтығындағы шекті нүктелер жиынының кездесуіне қатысты. Теорема (Сильвестр-Галлай): Евклид жазықтығындағы шекті нүктелер жиыны не коллинеар болады, не болмаса дәл екі нүктесінен өтетін түзу табылады. Мұндай дәл екі нүктесінен өтетін түзу осы контексте қарапайым түзу деп аталады. Сильвестр, Гессен конфигурациясын жазықтыққа орналастыру мүмкіндігін ойлап тапқанда бұл сұраққа келген болуы мүмкін.
Де Брюйн-Эрдёс теоремасы
Осыған байланысты де Брюйн-Эрдёс теоремасы бар. Николас Говерт де Брюйн мен Пол Эрдош осы нәтижені проективті жазықтықтардың жалпы жағдайында дәлелдеді, бірақ ол Евклид жазықтығында да қолданылады. Теорема былай тұжырымдалады:
Проективті жазықтықта, түзу бойында жатпайтын n нүктенің кез келген жиыны кем дегенде n түрлі түзуді анықтайды. Авторлар көрсеткендей, олардың дәлелі комбинаторлық болғандықтан, бұл нәтиже кеңірек жағдайда да қолданылады, тіпті әрбір екі түрлі нүктенің арасынан тек бір түзу өтетін кез келген инциденттік геометрияда да дұрыс. Сондай-ақ, Евклид жазықтығындағы нұсқасын Сильвестр-Галлай теоремасынан индукция арқылы шығаруға болады.