Введение

Область математики, изучающая структуры инцидентности.

В математике геометрия инцидентности – это изучение структур инцидентности. Геометрическая структура, такая как евклидова плоскость, является сложным объектом, включающим понятия длины, углов, непрерывности, промежуточного положения и инцидентности. Структура инцидентности – это то, что получается, когда все остальные понятия удаляются и остаются только данные о том, какие точки лежат на каких прямых. Даже при таком серьезном ограничении можно доказывать теоремы и получать интересные факты, касающиеся этой структуры. Эти фундаментальные результаты остаются верными, когда добавляются дополнительные понятия для формирования более богатой геометрии. Иногда авторы размывают различие между изучением и объектами этого изучения, поэтому неудивительно, что некоторые называют структуры инцидентности геометриями инцидентности. Структуры инцидентности возникают естественным образом и изучаются в различных областях математики. Следовательно, существуют различные терминологии для описания этих объектов. В теории графов они называются гиперграфами, а в теории комбинаторного проектирования – блок-схемами. Помимо различий в терминологии, каждая область подходит к предмету по-своему и интересуется вопросами об этих объектах, имеющими отношение к данной дисциплине. Использование геометрического языка, как это принято в геометрии инцидентности, определяет темы и примеры, которые обычно представляются. Однако можно перевести результаты из одной дисциплины на терминологию другой, но это часто приводит к неуклюжим и запутанным утверждениям, которые не кажутся естественным развитием темы. В примерах, выбранных для этой статьи, мы используем только те, которые имеют выраженный геометрический смысл. Особый интерес представляет частный случай, связанный с конечными множествами точек на евклидовой плоскости и тем, что можно сказать о количестве и типах (прямых) линий, которые они определяют. Некоторые результаты, полученные в этой ситуации, могут быть распространены на более общие случаи, поскольку рассматриваются только свойства инцидентности.

Структуры заболеваемости

Инцидентная структура (P, L, I) состоит из множества P, элементы которого называются точками, непересекающегося множества L, элементы которого называются прямыми, и отношения инцидентности I между ними, то есть подмножества P × L, элементы которого называются флагами. Если (A, l) является флагом, то говорят, что точка A инцидентна прямой l или прямая l инцидентна точке A (терминология симметрична), и записывают A I l. Интуитивно, точка и прямая находятся в этом отношении тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой. Если точка B и прямая m не образуют флаг, то есть точка не лежит на прямой, пара (B, m) называется антифлагом.

Расстояние в структуре частоты

В структуре инцидентности нет естественного понятия расстояния (метрики). Однако комбинаторная метрика существует в соответствующем графе инцидентности (графе Леви), а именно – длина кратчайшего пути между двумя вершинами в этом двудольном графе. Расстояние между двумя объектами структуры инцидентности – двумя точками, двумя прямыми или точкой и прямой – можно определить как расстояние между соответствующими вершинами в графе инцидентности этой структуры. Другой способ определения расстояния снова использует понятие теории графов в связанной структуре, на этот раз – граф коллинеарности структуры инцидентности. Вершинами графа коллинеарности являются точки структуры инцидентности, и две точки соединяются, если существует прямая, инцидентная обеим точкам. Расстояние между двумя точками структуры инцидентности тогда можно определить как расстояние между ними в графе коллинеарности. Когда расстояние рассматривается в структуре инцидентности, необходимо указывать, каким образом оно определяется.

Основные геометрические примеры

Некоторые из основных концепций и терминология берут начало в геометрических примерах, в частности, в проективных и аффинных плоскостях.

Самолет Фану

Эта известная геометрия инцидентности была разработана итальянским математиком Джино Фано. В своей работе по доказательству независимости набора аксиом для проективного n-мерного пространства, которое он разработал, он построил конечное трехмерное пространство с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями, в котором каждая прямая содержала только три точки. Плоскости в этом пространстве состояли из семи точек и семи прямых и теперь известны как плоскости Фано. Плоскость Фано нельзя представить в евклидовой плоскости, используя только точки и отрезки прямых (то есть она не реализуема). Это следствие теоремы Сильвестра — Галлаи, согласно которой каждая реализуемая геометрия инцидентности должна содержать обычную прямую, то есть прямую, содержащую только две точки. Плоскость Фано не содержит такой прямой (то есть это конфигурация Сильвестра — Галлаи), поэтому она не реализуема. Полный четырёхугольник состоит из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. В плоскости Фано три точки, не лежащие на полном четырёхугольнике, являются диагональными точками этого четырёхугольника и лежат на одной прямой. Это противоречит аксиоме Фано, часто используемой в качестве аксиомы для евклидовой плоскости, которая утверждает, что три диагональные точки полного четырёхугольника никогда не лежат на одной прямой.

Конфигурация Гессен

Аффинная плоскость третьего порядка представляет собой конфигурацию (94, 123). При вложении в некоторое окружающее пространство она называется конфигурацией Гессе. Она не может быть реализована в евклидовой плоскости, но может быть реализована в комплексной проективной плоскости как девять точек перегиба эллиптической кривой, с 12 прямыми, инцидентными тройкам этих точек. Эти 12 прямых можно разбить на четыре класса по три прямые в каждом, при этом прямые в каждом классе попарно не пересекаются. Эти классы называются параллельными классами прямых. Добавление четырех новых точек, каждая из которых добавляется ко всем прямым одного параллельного класса (так что все эти прямые теперь пересекаются), и одной новой прямой, содержащей только эти четыре новые точки, приводит к проективной плоскости третьего порядка, конфигурации (134). И наоборот, начиная с проективной плоскости третьего порядка (она единственна) и удаляя любую одну прямую и все точки на этой прямой, получается эта аффинная плоскость третьего порядка (она также единственна). Удаление одной точки и четырех прямых, проходящих через эту точку (но не других точек на этих прямых), дает конфигурацию Мёбиуса–Кантора (83).

Теорема Сильвестра-Галлая

Вопрос, поставленный Дж. Дж. Сильвестером в 1893 году и окончательно решенный Тибором Галлаи, касался расположения конечного множества точек на евклидовой плоскости. Теорема (Сильвестр — Галлаи): Конечный набор точек на евклидовой плоскости либо лежат на одной прямой, либо существует прямая, проходящая ровно через две из этих точек. Прямая, проходящая ровно через две точки, в этом контексте называется обычной прямой. Сильвестр, вероятно, пришел к этому вопросу, размышляя о возможности вложения конфигурации Гессе.

Теорема де Брюйна Эрдоса

Сходный результат — теорема де Брюйна — Эрдоша. Николас Говерт де Брюйн и Пол Эрдош доказали эту теорему в более общем контексте проективных плоскостей, но она также справедлива для евклидовой плоскости. Теорема формулируется следующим образом:

В проективной плоскости любое некомпланарное множество из n точек определяет по крайней мере n различных прямых. Как указали авторы, поскольку их доказательство было комбинаторным, результат верен в более широком контексте, а именно в любой инцидентной геометрии, в которой через каждую пару различных точек проходит единственная прямая. Они также отмечают, что версию для евклидовой плоскости можно доказать из теоремы Сильвестра — Галлаи с помощью индукции.