Кіріспе
Математикалық топты генераторлар мен қатынастар арқылы анықтау
specifying generators and relations of a group
In mathematics, a presentation is one method of specifying a group. A presentation of a group G comprises a set S of generators—so that every element of the group can be written as a product of powers of some of these generators—and a set R of relations among those generators. We then say G has presentation
Informally, G has the above presentation if it is the "freest group" generated by S subject only to the relations R. Formally, the group G is said to have the above presentation if it is isomorphic to the quotient of a free group on S by the normal subgroup generated by the relations R.
As a simple example, the cyclic group of order n has the presentation
where 1 is the group identity. This may be written equivalently as
thanks to the convention that terms that do not include an equals sign are taken to be equal to the group identity. Such terms are called relators, distinguishing them from the relations that do include an equals sign. Every group has a presentation, and in fact many different presentations; a presentation is often the most compact way of describing the structure of the group. A closely related but different concept is that of an absolute presentation of a group.
топтың генераторларын және қатынастарын анықтау
Математикада, презентация – топты анықтаудың бір тәсілі. G тобының презентациясы S генераторлар жиынтығынан тұрады, сондықтан топтың кез келген элементін осы генераторлардың белгілі бір санының дәрежелерінің көбейтіндісі ретінде жазуға болады, сондай-ақ R – осы генераторлар арасындағы қатынастар жиынтығы. Осылайша, G тобының презентациясы бар дейміз.
specifying generators and relations of a group
In mathematics, a presentation is one method of specifying a group. A presentation of a group G comprises a set S of generators—so that every element of the group can be written as a product of powers of some of these generators—and a set R of relations among those generators. We then say G has presentation
Informally, G has the above presentation if it is the "freest group" generated by S subject only to the relations R. Formally, the group G is said to have the above presentation if it is isomorphic to the quotient of a free group on S by the normal subgroup generated by the relations R.
As a simple example, the cyclic group of order n has the presentation
where 1 is the group identity. This may be written equivalently as
thanks to the convention that terms that do not include an equals sign are taken to be equal to the group identity. Such terms are called relators, distinguishing them from the relations that do include an equals sign. Every group has a presentation, and in fact many different presentations; a presentation is often the most compact way of describing the structure of the group. A closely related but different concept is that of an absolute presentation of a group.
Бейресми түрде, G тобының жоғарыда көрсетілген презентациясы бар, егер ол S генераторларымен еркін құрылған "еркін топ" болса және тек R қатынастарына ғана бағынса. Формальды түрде, G тобы S генераторларымен еркін топтың R қатынастарымен құрылған нормальды ішкі тобына қатысты изоморфты болса, онда оның жоғарыда көрсетілген презентациясы бар.
specifying generators and relations of a group
In mathematics, a presentation is one method of specifying a group. A presentation of a group G comprises a set S of generators—so that every element of the group can be written as a product of powers of some of these generators—and a set R of relations among those generators. We then say G has presentation
Informally, G has the above presentation if it is the "freest group" generated by S subject only to the relations R. Formally, the group G is said to have the above presentation if it is isomorphic to the quotient of a free group on S by the normal subgroup generated by the relations R.
As a simple example, the cyclic group of order n has the presentation
where 1 is the group identity. This may be written equivalently as
thanks to the convention that terms that do not include an equals sign are taken to be equal to the group identity. Such terms are called relators, distinguishing them from the relations that do include an equals sign. Every group has a presentation, and in fact many different presentations; a presentation is often the most compact way of describing the structure of the group. A closely related but different concept is that of an absolute presentation of a group.
Мысал ретінде, n реттік циклдік топтың презентациясы мынадай:
specifying generators and relations of a group
In mathematics, a presentation is one method of specifying a group. A presentation of a group G comprises a set S of generators—so that every element of the group can be written as a product of powers of some of these generators—and a set R of relations among those generators. We then say G has presentation
Informally, G has the above presentation if it is the "freest group" generated by S subject only to the relations R. Formally, the group G is said to have the above presentation if it is isomorphic to the quotient of a free group on S by the normal subgroup generated by the relations R.
As a simple example, the cyclic group of order n has the presentation
where 1 is the group identity. This may be written equivalently as
thanks to the convention that terms that do not include an equals sign are taken to be equal to the group identity. Such terms are called relators, distinguishing them from the relations that do include an equals sign. Every group has a presentation, and in fact many different presentations; a presentation is often the most compact way of describing the structure of the group. A closely related but different concept is that of an absolute presentation of a group.
мұнда 1 – топтың бірлік элементі. Теңдік белгісі жоқ мүшелер топтың бірлік элементіне тең деп есептелетін конвенцияға сәйкес, мұны басқаша да жазуға болады. Мұндай мүшелер қатынастар емес, реляторлар деп аталады, оларды теңдік белгісі бар қатынастардан ажыратады. Кез келген топтың презентациясы бар, тіпті одан да көп түрлі презентациялар болуы мүмкін; презентация көбінесе топтың құрылымын сипаттаудың ең ықшам тәсілі болып табылады. Топтың абсолютті презентациясы – осыған ұқсас, бірақ әртүрлі ұғым.
specifying generators and relations of a group
In mathematics, a presentation is one method of specifying a group. A presentation of a group G comprises a set S of generators—so that every element of the group can be written as a product of powers of some of these generators—and a set R of relations among those generators. We then say G has presentation
Informally, G has the above presentation if it is the "freest group" generated by S subject only to the relations R. Formally, the group G is said to have the above presentation if it is isomorphic to the quotient of a free group on S by the normal subgroup generated by the relations R.
As a simple example, the cyclic group of order n has the presentation
where 1 is the group identity. This may be written equivalently as
thanks to the convention that terms that do not include an equals sign are taken to be equal to the group identity. Such terms are called relators, distinguishing them from the relations that do include an equals sign. Every group has a presentation, and in fact many different presentations; a presentation is often the most compact way of describing the structure of the group. A closely related but different concept is that of an absolute presentation of a group.
Анықтама
S жиыны болсын және FS S жиыны бойынша еркін топ болсын. R жиыны S жиынындағы сөздер жиыны болсын, сондықтан R сөздердің ішкі жиынын анықтайды. Р жиынының әрбір элементін қамтитын ең кіші нормальды кіші топтың көмегімен бөлуді қарастырайық. (Бұл кіші топ R-дің N нормальды жабылуы деп аталады.) Содан кейін топ коэффициенттік топ ретінде анықталады. S жиынының элементтері генераторлар деп аталады, ал R жиынының элементтері реляторлар деп аталады. Егер G тобы изоморфты болса, онда G тобының презентациясы болады делінеді. Реляторларды x және y сөздері түрінде жазу қалыпты жағдай. Бұл x және y сөздерінің бейнелерінің үлестік топта тең болуы керек дегенді білдіреді. Мысалы, реляторлар тізіміндегі rn сөзіне тең. Осыдан біз (изоморфизмге дейін) тек саналатын шекті түрде жасалған және рекурсивті түрде берілген топтар ғана бар екенін шығара аламыз. Бернхард Нейман екі генераторлы изоморфты емес топтардың саны санауға келмейтін екенін көрсетті. Сондықтан, рекурсивті түрде берілмейтін шекті түрде жасалған топтар бар.
The elements of S are called the generators of and the elements of R are called the relators. A group G is said to have the presentation if G is isomorphic to
It is a common practice to write relators in the form where x and y are words on S. What this means is that This has the intuitive meaning that the images of x and y are supposed to be equal in the quotient group. Thus, for example, rn in the list of relators is equivalent with From this we can deduce that there are (up to isomorphism) only countably many finitely generated recursively presented groups. Bernhard Neumann has shown that there are uncountably many non isomorphic two generator groups. Therefore, there are finitely generated groups that cannot be recursively presented.
Тарих
Топты генераторлар мен қатынастар арқылы ең алғашқы көрсетулердің бірі 1856 жылы ирланд математигі Уильям Роуэн Гамильтонның икозиандық есептеуі – икосаэдрлік топты ұсыну арқылы жасалды. Алғашқы жүйелі зерттеуді 1880-жылдардың басында Феликс Клейннің шәкірті Вальтер фон Дайк жүргізді, осылай комбинаторлық топ теориясының негізін қалады.
Кейбір теоремалар
Теорема. Әр топтың презентациясы болады. Мұны көрсету үшін, G тобын қарастырайық. G тобындағы FG еркін тобын қарастырайық. Еркін топтардың әмбебап қасиетіне сәйкес, φ: FG → G бірегей топ гомоморфизмі бар, оның G-ге шектелуі сәйкестік функциясы болады. K осы гомоморфизмнің ядросы болсын. Онда K, FG-де нормальды, демек, оның нормальды жабылуына тең. Сәйкестік функциясы сюръективті болғандықтан, φ да сюръективті. Осылайша, Бірінші изоморфизм теоремасы бойынша, бұл презентация G және K екеуі де қажеттіден әлдеқайда үлкен болса, өте тиімсіз болуы мүмкін. Салдары. Кез келген шектеулі топтың шектеулі презентациясы бар. Топтың элементтерін генераторлар ретінде, ал Кейли кестесін қатынастар ретінде алуға болады.
Новиков-Бун теоремасы
Топтар үшін сөз мәселесіне берілген теріс жауапта, берілген екі сөз u және v үшін, олар топтағы бірдей элементті көрсететін алгоритмнің жоқтығын анықтайтын шектік ұсыныс бар екендігі айтылады. Бұл фактіні 1955 жылы Пётр Новиков дәлелдеді, ал 1958 жылы Уильям Бун осыған қатысты басқа дәлел келтірді.
Жетіспеушілік
Шекті ұсынылымның жетіспеушілігі нөлге тең, ал шекті ұсынылған G тобының жетіспеушілігі, def(G) деп белгіленетін, G-нің барлық ұсынылымдары бойынша жетіспеушіліктің максималды мәні болып табылады. Шекті топтың жетіспеушілігі оң емес. Шур көбейтушісі шекті G тобы үшін -def(G) генераторлар арқылы құрастырылуы мүмкін, және бұл сан қажет болған жағдайда G тобы тиімді болады.
Геометриялық топтар теориясы
Топтың берілуі геометриялық топтар теориясы тұрғысынан геометрияны анықтайды: онда Кейли графигі болады, оның метрикасы бар, ол сөздік метрика деп аталады. Сондай-ақ, нәтижесінде екі рет – әлсіз рет және Брухат реті, сондай-ақ сәйкес Хассе диаграммалары пайда болады. Коксетер топтары мұның маңызды мысалы болып табылады. Бұдан әрі, осы графтың кейбір қасиеттері (жалпы геометрия) ішкі болып табылады, яғни генераторлардың таңдалуына тәуелсіз.