Введение

Определение математической группы с помощью генераторов и отношений

Определение генераторов и отношений группы. В математике представление — один из способов задания группы. Представление группы G состоит из множества S генераторов, так что каждый элемент группы может быть записан как произведение степеней некоторых из этих генераторов, и множества R отношений между этими генераторами. Тогда говорят, что G имеет представление

Неформально, G имеет указанное представление, если это "свободная группа" с наименьшим количеством определяющих соотношений, порожденная S и подчиненная только отношениям R. Формально, группа G имеет указанное представление, если она изоморфна факторгруппе свободной группы, порожденной S, по нормальной подгруппе, порожденной отношениями R.

В качестве простого примера, циклическая группа порядка n имеет представление

где 1 — нейтральный элемент группы. Это можно записать эквивалентно как

благодаря соглашению, что члены, не содержащие знак равенства, считаются равными нейтральному элементу группы. Такие члены называются определяющими, в отличие от отношений, которые содержат знак равенства. Каждая группа имеет представление, и, более того, множество различных представлений; представление часто является наиболее компактным способом описания структуры группы. Тесно связанным, но отличным понятием является абсолютное представление группы.

Определение

Пусть S – множество, а FS – свободная группа на S. Пусть R – множество слов на S, так что R естественным образом определяет подмножество . Чтобы сформировать группу с представлением , возьмите факторгруппу от FS по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей каждый элемент из R. (Эта подгруппа называется нормальным замыканием N множества R в FS.) Группа затем определяется как факторгруппа .

Элементы S называются образующими группы , а элементы R – определяющими соотношениями. Группа G называется заданной представлением , если G изоморфна . Общепринято записывать определяющие соотношения в виде , где x и y – слова на S. Это означает, что . Это интуитивно означает, что образы x и y должны быть равны в факторгруппе. Таким образом, например, соотношение rn в списке определяющих соотношений эквивалентно . Из этого мы можем заключить, что существует (с точностью до изоморфизма) лишь счетно много конечно порожденных рекурсивно представленных групп. Бернхард Нейман показал, что существует несчетно много неизоморфных двухпорожденных групп. Следовательно, существуют конечно порожденные группы, которые нельзя представить рекурсивно.

История

Одно из самых ранних представлений группы с помощью образующих и определяющих соотношений было дано ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икосианском исчислении – представлении икосаэдрической группы. Первое систематическое исследование было проведено Уолтером фон Диком, учеником Феликса Клейна, в начале 1880-х годов, заложив основы комбинаторной теории групп.

Некоторые теоремы

Теорема. Каждая группа имеет представление. Чтобы это увидеть, рассмотрим для данной группы G свободную группу FG, порожденную G. По универсальному свойству свободных групп, существует единственный групповой гомоморфизм φ: FG → G, чей рестрикт на G является тождественным отображением. Пусть K – ядро этого гомоморфизма. Тогда K нормальна в FG, следовательно, совпадает со своим нормальным замыканием. Поскольку тождественное отображение сюръективно, φ также сюръективно, а значит, по первой теореме об изоморфизмах, FG/K изоморфна G. Это представление может быть весьма неэффективным, если и G, и K значительно больше, чем необходимо. Следствие. Каждая конечная группа имеет конечное представление. В качестве образующих можно взять элементы группы, а в качестве определяющих соотношений – таблицу Кэли.

Теорема Новикова Боуна

Отрицательное решение проблемы слов для групп утверждает, что существует конечная презентация, для которой не существует алгоритма, который, получив на вход два слова u и v, определял бы, задают ли u и v один и тот же элемент в группе. Это было доказано Петром Новиковым в 1955 году, а Уильям Бун получил другое доказательство в 1958 году.

Недостаток

Дефицит конечного представления равен нулю, а дефицит конечно представленной группы G, обозначаемый def(G), — это максимум дефицита по всем представлениям G. Дефицит конечной группы неположителен. Мультипликатор Шура конечной группы G может быть порожден −def(G) генераторами, и группа G является эффективной, если это число необходимо.

Теория геометрических групп

Представление группы определяет геометрию в смысле геометрической теории групп: существует граф Кэли, который имеет метрику, называемую метрикой слов. Также возникают два порядка – слабый порядок и порядок Бруата, и соответствующие им диаграммы Хассе. Важным примером служат группы Коксетера. Более того, некоторые свойства этого графа (крупномасштабная геометрия) являются внутренними, то есть не зависят от выбора образующих.