Риман беттерін зерттеудегі графтар мен «балалар суреті»

Кіріспе

Риман беттерін зерттеу үшін қолданылатын графиктер

Математикада, дизайн д’анфан – Риман беттерін зерттеу және рационал сандардың абсолютті Галуа тобының әрекеті үшін комбинаторлық инварианттар ұсыну үшін қолданылатын график кіріктіруінің бір түрі. Осы кіріктірулердің атауы француз тілінде «балалар суреті» дегенді білдіреді; оның көпше түрі – dessins d’enfant, «балалар суреттері» немесе dessins d’enfants, «балалардың суреттері». Дизайн д’анфан – бұл график, оның төбелері қара және ақ түстермен кезектесіп боялған, және көп жағдайда қарапайым жазықтық болатын бағытталған бетке енгізілген. Түстеудің болуы үшін график екі бөлікті болуы керек. Кіріктіру беттерінің топологиялық дискілер болуы талап етіледі. Бет пен кіріктіруді айналу жүйесі арқылы, яғни график әрбір төбесін қоршаған қабырғалардың циклдық ретін пайдалану арқылы комбинаторлық түрде сипаттауға болады, бұл қабырғалардың бетте сағат тілімен кішкентай шеңбермен жүрген жолмен кесілу ретін сипаттайды. Кез келген дизайн оның орналасқан бетін Риман бетінің құрылымымен қамтамасыз ете алады. Осылай пайда болатын Риман беттерінің қайсылары екенін сұрау табиғи. Жауабын Белий теоремасы береді, онда суреттермен сипатталатын Риман беттері алгебралық сандар өрісінде алгебралық қисықтар ретінде анықталады. Абсолютті Галуа тобы осы нақты қисықтарды бір-біріне түрлендіреді, соның арқасында негізгі суреттер де өзгереді. Бұл тақырыпты егжей-тегжейлі қарастыру үшін қараңыз немесе .

19 ғасыр

Десин д'Энфанттың алғашқы прото-формалары 1856 жылы Уильям Роуэн Гамильтонның икозиандық есептемесінде пайда болды; қазіргі терминдермен айтқанда, бұл икосаэдрлік граф бойынша Гамильтондық жолдар. Феликс Клейн қазіргі заманғы танымал десин д'Энфанттар мен Белый функцияларын қолданды. Клейн осы диаграммаларды Linienzüge деп атады (неміс тілінен, Linienzug – "сызық жолы", көпше түрі, сонымен қатар көпбұрыш термині ретінде де қолданылады); ол 0-дің кері бейнесі үшін ақ шеңберді, ал 1-дің кері бейнесі үшін '+' белгісін пайдаланды, бұл қазіргі нотациядағы 0 үшін қара шеңбер және 1 үшін ақ шеңберден өзгеше. Ол осы диаграммаларды Риман сферасының өзінің 11 еселі жабынының құрастырылуына, монодромия тобымен, Клейн квартикасымен байланысты 7 еселі жабынның алдыңғы құрастырылымдарынан кейін қолданды. Бұлардың барлығы оның квинтикалық теңдеудің геометриясы және топты зерттеуімен байланысты болды, оның 1884/88 жылдарғы Икосаэдрге арналған лекцияларында жинақталған. Осы үш топтан осылай құрастырылған үш беткейдің арасындағы тығыз байланыс кейіннен үшеулік құбылысы арқылы анықталды.

20 ғасыр

Қазіргі заманғы түріндегі балалар суреттері бір ғасырдан кейін қайта ашылып, 1984 жылы Александр Гротендик өзінің Esquisse d'un Programme еңбегінде атады. Гротендик балалар суреттеріндегі Галуа әрекетін ашқандығы туралы былай дейді: Теорияның бір бөлігі Гротендикке дейін біраз уақыт бұрын тәуелсіз түрде әзірленген болатын. Олар топологиялық беттердегі бейнелеулер, Риман беттеріндегі бейнелеулер және белгілі бір ерекше генераторлары бар топтар арасындағы сәйкестікті көрсетеді, бірақ Галуа әрекетін қарастырмайды. Олардың бейнелеу туралы ұғымы балалар суретінің нақты бір мысалына сәйкес келеді. Кейінірек жасалған жұмыстар шекарасы бар беттерге де қатысты зерттеуді кеңейтеді.

Карталар мен гиперкарталар

Дизайндағы төбе граф теориялық дәрежеге ие, яғни оның Белй функциясының сындық нүктесі ретінде дәрежесіне тең келетін инцидентті қабырғалардың саны. Жоғарыдағы мысалдағы барлық ақ төбелердің дәрежесі екіге тең; әрбір ақ төбеде екі қабырғасы бар сызбалар «таза» деп аталады, ал оларға сәйкес Белй функциялары «таза» функциялар деп аталады. Мұндай жағдайда, сызбаны қара төбелер ғана төбелері болатын және әрбір ақ төбе үшін шеттері ақ төбенің екі қара көршісінде болатын қарапайым енгізілген граф арқылы сипаттауға болады. Мысалы, суретте көрсетілген сызбаны қара төбелер жұбы түрінде, олардың арасында қабырға және төбелердің бірінде өзіндік цикл ретінде қарапайым түрде салуға болады. Таза сызбаның қара төбелерін ғана салу және ақ төбелерді белгісіз қалдыру қалыпты жағдай; картаның әр қабырғасының ортасына ақ төбе қосу арқылы толық сызбаны қалпына келтіруге болады. Осылайша, графтың кез келген бетін диск ретінде (яғни топологиялық карта ретінде) енгізу, графтың төбелерін сызбаның қара төбелері ретінде қарастырып, әр енгізілген графтың қабырғасының ортасына ақ төбелерді орналастыру арқылы сызбаны тудырады. Егер карта Белй функциясына сәйкес келсе, оның дуалды картасы (сызық сегментінің кері бейнелерінен құрылған сызба) көбейтуге кері шамаға сәйкес келеді. Таза емес сызбаны оның барлық төбелерін қара түске бояу және оның әр қабырғасына жаңа ақ төбелерді қосу арқылы бір бетте таза сызбаға түрлендіруге болады. Белй жұптарының сәйкес түрленуі – Белй функциясын таза Белй функциясымен алмастыру. Осы формуладан Белй функциясының сындық нүктелерін тікелей есептеуге болады: , , және Осылайша, – сызық сегментінің орта нүктесінің астындағы бейнелеу, ал сызбаның қабырғалары сызбадан құрылған қабырғаларды бөліп көрсетеді. Таза сызбаны карта ретінде қарастырғанда, кез келген сызба – гиперкарта болып табылады: яғни, қара төбелер төбелерді, ал ақ төбелер гиперқабырғаларды білдіретін гиперграфтың суреті.

A vertex in a dessin has a graph theoretic degree, the number of incident edges, that equals its degree as a critical point of the Belyi function. In the example above, all white points have degree two; dessins with the property that each white point has two edges are known as clean, and their corresponding Belyi functions are called pure. When this happens, one can describe the dessin by a simpler embedded graph, one that has only the black points as its vertices and that has an edge for each white point with endpoints at the white point's two black neighbors. For instance, the dessin shown in the figure could be drawn more simply in this way as a pair of black points with an edge between them and a self loop on one of the points. It is common to draw only the black points of a clean dessin and to leave the white points unmarked; one can recover the full dessin by adding a white point at the midpoint of each edge of the map. Thus, any embedding of a graph in a surface in which each face is a disk (that is, a topological map) gives rise to a dessin by treating the graph vertices as black points of a dessin, and placing white points at the midpoint of each embedded graph edge. If a map corresponds to a Belyi function , its dual map (the dessin formed from the preimages of the line segment ) corresponds to the multiplicative inverse
A dessin that is not clean can be transformed into a clean dessin in the same surface, by recoloring all of its points as black and adding new white points on each of its edges. The corresponding transformation of Belyi pairs is to replace a Belyi function by the pure Belyi function One may calculate the critical points of directly from this formula: , , and Thus, is the preimage under of the midpoint of the line segment , and the edges of the dessin formed from subdivide the edges of the dessin formed from
Under the interpretation of a clean dessin as a map, an arbitrary dessin is a hypermap: that is, a drawing of a hypergraph in which the black points represent vertices and the white points represent hyperedges.

Тұрақты карталар мен үшбұрышты топтар

Бес Платондық қатты денелер – тұрақты тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр және икосаэдр – екі өлшемді беттер ретінде қарастырылғанда, кез келген жалаушаның (бір-бірімен жанасатын төбе, қабырға және жақтан тұратын үштік) беттің симметриясы арқылы кез келген басқа жалаушаға түрлендірілуі мүмкін. Жалпы алғанда, кез келген жалауды симметрия арқылы кез келген басқа жалауға түрлендіруге болатын, бетке енгізілген карта тұрақты карта деп аталады. Егер тұрақты карта таза сызба жасау үшін қолданылса, ал нәтижесіндегі сызба үшбұрышты Риман бетін құру үшін қолданылса, онда үшбұрыштардың қабырғалары беттің симметрия ослары бойымен орналасады, ал осы оске көрістіру үшбұрыштық топ деп аталатын симметрия тобын жасайды, онда үшбұрыштар негізгі домендерді құрайды. Мысалы, суретте тұрақты додекаэдрден бастап құрастырылған үшбұрыштар жиынтығы көрсетілген. Егер тұрақты карта бірден үлкен гендерлі бетке жатса, онда беттің жалпы жамылғысы гиперболалық жазықтық болып табылады, ал гиперболалық жазықтықтағы көтерілген үшбұрыштылықтан құрылған үшбұрыштық топ – гиперболалық жазықтықтың дискретті изометриялар жиынтығын көрсететін (қоспақты) Фуксиан тобы болып табылады. Бұл жағдайда бастапқы бет осы топтағы шекті индекске ие Γ кіші тобының гиперболалық жазықтықтың бөлігі болып табылады. Керісінше, берілген Риман беті, бұрыштары бар үшбұрыштармен (сфераның, евклидтік жазықтықтың немесе гиперболалық жазықтықтың плиткасы) плитканың бөлігі болса, онда оған сәйкес сызба – бұл топтың екінші және үшінші ретті генераторларымен анықталатын Кейли графигі, немесе эквивалентті түрде, сол беттің әр төбесінде үшбұрыштан тұратын плиткасы. Бұл плитканың төбелері сызбаның қара нүктелерін, қабырғалардың орталары ақ нүктелерді, ал жақтардың орталары шексіздік нүктелерін көрсетеді.

Ағаш және Шаббат полиномиялары

Ең қарапайым екі жақты графтар – ағаштар. Кез келген ағаштың ішке орналастырылуы бір ғана аймаққа ие, демек Эйлер формуласы бойынша сфералық бетте жатады. Сәйкес Белий жұбы Риман сферасының түрлендіруін құрайды, егер полюсті нүктесіне орналастырсақ, оны полином түрінде көрсетуге болады. Керісінше, 0 және 1 шекті сындық мәндері бар кез келген полином Риман сферасынан өзіне Белий функциясын құрайды, ол бір шексіз мәнді сындық нүктеге ие және ағаш болатын бала суретіне сәйкес келеді. Полиномның дәрежесі сәйкес ағаштағы қабырғалар санына тең. Мұндай полиномдық Белий функциясы Джордж Шабаттың құрметіне Шабат полиномы деп аталады. Мысалы, тек бір шекті сындық нүктесі және сындық мәні бар мономиалды қарастырайық, екеуі де нөлге тең. 1 сындық мән болмаса да, оны Риман сферасынан өзіне Белий функциясы ретінде қарастыруға болады, өйткені оның сындық мәндерінің барлығы жиынтықта орналасқан. Сәйкес бала суреті – бұл ақ жапырақтары орталық қара түйіндіге қосылған жұлдыз (толық екі жақты граф). Жалпы алғанда, екі сындық мәні бар полином Шабат полиномы деп аталуы мүмкін. Мұндай полиномды 0 және 1 криттік мәндері бар Белий функциясы ретінде нормалдауға болады, бірақ оны нормаланбаған түрінде қалдыру ыңғайлырақ болуы мүмкін. Шабат полиномдарының маңызды мысалдарының бірі – бірінші түріндегі Чебышев полиномдары, олардың сындық мәндері -1 және 1 болып табылады. Сәйкес суреттер жол графтарының түрін алады, олар жолдың қабырғаларымен қара және ақ түйіндер арасында кезектеседі. Шабат полиномдары мен Чебышев полиномдары арасындағы байланысқа байланысты Шабат полиномдары кейде жалпыланған Чебышев полиномдары деп аталады. Әртүрлі ағаштар, әдетте, әртүрлі Шабат полиномдарына сәйкес келеді, сондай-ақ бір ағаштың әртүрлі ішке орналастырылуы немесе түсі де әртүрлі полиномдарға сәйкес келеді. Нормалдауға және аргументінің сызықтық түрлендірулеріне дейін Шабат полиномы ішке орналастырылған ағаштың түсінен бірегей түрде анықталады, бірақ берілген ішке орналастырылған ағаштың бала суреті ретінде қамтитын Шабат полиномын табу әрқашан оңай емес.

The simplest bipartite graphs are the trees. Any embedding of a tree has a single region, and therefore by Euler's formula lies in a spherical surface. The corresponding Belyi pair forms a transformation of the Riemann sphere that, if one places the pole at , can be represented as a polynomial. Conversely, any polynomial with 0 and 1 as its finite critical values forms a Belyi function from the Riemann sphere to itself, having a single infinite valued critical point, and corresponding to a dessin d'enfant that is a tree. The degree of the polynomial equals the number of edges in the corresponding tree. Such a polynomial Belyi function is known as a Shabat polynomial, after George Shabat. For example, take to be the monomial having only one finite critical point and critical value, both zero. Although 1 is not a critical value for , it is still possible to interpret as a Belyi function from the Riemann sphere to itself because its critical values all lie in the set The corresponding dessin d'enfant is a star having one central black vertex connected to white leaves (a complete bipartite graph ). More generally, a polynomial having two critical values and may be termed a Shabat polynomial. Such a polynomial may be normalized into a Belyi function, with its critical values at 0 and 1, by the formula

but it may be more convenient to leave in its un normalized form. An important family of examples of Shabat polynomials are given by the Chebyshev polynomials of the first kind, , which have −1 and 1 as critical values. The corresponding dessins take the form of path graphs, alternating between black and white vertices, with edges in the path. Due to the connection between Shabat polynomials and Chebyshev polynomials, Shabat polynomials themselves are sometimes called generalized Chebyshev polynomials. Different trees will, in general, correspond to different Shabat polynomials, as will different embeddings or colorings of the same tree. Up to normalization and linear transformations of its argument, the Shabat polynomial is uniquely determined from a coloring of an embedded tree, but it is not always straightforward to find a Shabat polynomial that has a given embedded tree as its dessin d'enfant.