Введение

Графическое изображение, используемое для изучения поверхностей Римана

В математике, dessin d'enfant — это тип графа, вложенного в поверхность, используемый для изучения поверхностей Римана и для предоставления комбинаторных инвариантов для действия абсолютной группы Галуа рациональных чисел. Название этих вложений с французского переводится как «рисунок ребёнка»; множественное число — dessins d'enfant («рисунки ребёнка») или dessins d'enfants («рисунки детей»). Dessin d'enfant — это граф, вершины которого окрашены попеременно в чёрный и белый цвет, вложенный в ориентированную поверхность, которая во многих случаях является просто плоскостью. Для существования такой раскраски граф должен быть двудольным. Области вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием системы поворотов — циклического порядка рёбер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором рёбра будут пересекаться путём, движущимся по часовой стрелке на поверхности в небольшой петле вокруг вершины. Любой dessin d'enfant может наделить поверхность, в которую он вложен, структурой поверхности Римана. Естественно задаться вопросом, какие поверхности Римана возникают таким образом. Ответ даёт теорема Белы́я, которая утверждает, что поверхности Римана, которые могут быть описаны с помощью dessins d'enfant, — это именно те, которые могут быть определены как алгебраические кривые над полем алгебраических чисел. Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и, следовательно, преобразует лежащие в их основе dessins d'enfant. Более подробное рассмотрение этой темы можно найти в .

19 век

Ранние прототипы рисунков «детские рисунки» (dessins d'enfants) появились уже в 1856 году в икозианском исчислении Уильяма Роуэна Гамильтона; в современных терминах это гамильтоновы пути на икосаэдрическом графе. Феликс Клейн использовал узнаваемые современные рисунки «детские рисунки» и функции Белый. Клейн называл эти диаграммы Linienzüge (нем., мн. ч. от Linienzug – «линейный путь», также используется как термин для многоугольника); он использовал белый круг для прообраза 0 и знак «+» для прообраза 1, а не чёрный круг для 0 и белый круг для 1, как в современной нотации. Он использовал эти диаграммы для построения 11-кратного накрытия сферы Римана самой собой, с группой монодромии , опираясь на более ранние построения 7-кратного накрытия с монодромией, связанной с квартикой Клейна. Все это было связано с его исследованиями геометрии уравнения пятой степени и группы , собранными в его знаменитых лекциях 1884/88 годов об икосаэдре. Три поверхности, построенные таким образом из этих трёх групп, гораздо позже были показаны тесно связанными посредством феномена троичности.

20 век

Затем, спустя более чем столетие, детские рисунки в их современном виде были заново открыты и названы Александром Гротендиком в 1984 году в его "Эскизе программы". Гротендик писал о своем открытии действия Галуа на детских рисунках: Часть теории уже была разработана независимо еще до Гротендика. Они описывают соответствие между отображениями на топологических поверхностях, отображениями на поверхностях Римана и группами с определенными выделенными образующими, но не рассматривают действие Галуа. Их понятие отображения соответствует частному случаю детского рисунка. Последующие работы расширяют рассмотрение на поверхности с границей.

Карты и гиперкарты

Вершина в дессе́не имеет степень графа, равную числу инцидентных ребер, которая совпадает с ее степенью как критической точки функции Бе́ли. В приведенном выше примере все белые точки имеют степень два; дессены, в которых каждая белая точка имеет два ребра, называются чистыми, а соответствующие им функции Бе́ли – чистыми. В этом случае дессен можно описать более простым вложенным графом, который имеет только черные точки в качестве вершин и ребро для каждой белой точки, соединяющее ее с двумя черными соседними точками. Например, дессен, показанный на рисунке, можно изобразить проще как пару черных точек с ребром между ними и петлей на одной из точек. Обычно изображают только черные точки чистого дессена, оставляя белые точки без обозначений; полный дессен можно восстановить, добавив белую точку в середину каждого ребра карты. Таким образом, любое вложение графа на поверхность, в котором каждая грань является диском (то есть топологическая карта), порождает дессен, рассматривая вершины графа как черные точки дессена и размещая белые точки в середине каждого ребра вложенного графа. Если карта соответствует функции Бе́ли, ее двойственная карта (дессен, сформированный из прообразов отрезка прямой) соответствует мультипликативной инверсии. Нечистый дессен можно преобразовать в чистый дессен на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом его ребре. Соответствующее преобразование пар Бе́ли состоит в замене функции Бе́ли на чистую функцию Бе́ли. Критические точки можно вычислить непосредственно из этой формулы: , , и . Таким образом, является прообразом середины отрезка прямой под , а ребра дессена, сформированного из , подразделяют ребра дессена, сформированного из . При интерпретации чистого дессена как карты, произвольный дессен является гиперкартой, то есть изображением гиперграфа, в котором черные точки представляют вершины, а белые точки – гиперребра.

Регулярные карты и группы треугольников

Пять платоновских тел – правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают свойством, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, все из которых имеют общую точку) может быть перенесена в любой другой флаг посредством симметрии поверхности. В более общем смысле, отображение, встроенное в поверхность с тем же свойством, то есть любое флаг может быть преобразовано в любой другой флаг симметрией, называется регулярным отображением. Если регулярное отображение используется для построения чистого дессена, а полученный дессен используется для построения треугольной римановой поверхности, то ребра треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения относительно этих линий порождают группу симметрии, называемую треугольной группой, для которой треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показан набор треугольников, сгенерированных таким образом, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярное отображение лежит на поверхности, чей род больше единицы, универсальным покрытием поверхности является гиперболическая плоскость, а треугольная группа в гиперболической плоскости, образованная из поднятой треуголизации, является (сокомпактной) группой Фукса, представляющей собой дискретное множество изометрий гиперболической плоскости. В этом случае исходная поверхность является фактор-пространством гиперболической плоскости по конечному подгруппе индекса Γ в этой группе. И наоборот, если риманова поверхность является фактор-пространством мощения (мощения сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами , , и ), то соответствующий дессен является графом Кэли, заданным генераторами группы порядка два и порядка три, или, эквивалентно, мощением той же поверхности -угольниками, по три сходящимися в каждой вершине. Вершины этого мощения дают черные точки дессена, центры ребер дают белые точки, а центры граней дают точки на бесконечности.

Многочленовые деревья и Шабат

Самые простые двусторонние графы — это деревья. Любое вложение дерева имеет единственную область, и поэтому, согласно формуле Эйлера, лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белый образует преобразование сферы Римана, которое, если поместить полюс в , может быть представлено в виде многочлена. И наоборот, любой многочлен с 0 и 1 в качестве конечных критических значений образует функцию Белого от сферы Римана к самой себе, имея одну бесконечно удалённую критическую точку и соответствующий дезинфан (dessin d'enfant), являющийся деревом. Степень многочлена равна числу ребер в соответствующем дереве. Такой полином Белого известен как полином Шабата, в честь Джорджа Шабата. Например, возьмем мономиал , имеющий только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба равные нулю. Хотя 1 не является критическим значением для , его всё же можно интерпретировать как функцию Белого от сферы Римана к самой себе, поскольку все его критические значения лежат в множестве . Соответствующий дезинфан — это звезда с одной центральной чёрной вершиной, соединённой с белыми листьями (полный двусторонний граф ). В более общем случае, многочлен, имеющий два критических значения и , может быть назван полиномом Шабата. Такой многочлен можно нормализовать до функции Белого с критическими значениями 0 и 1 по формуле, но может быть удобнее оставить его в ненормализованном виде. Важным семейством примеров полиномов Шабата являются полиномы Чебышёва первого рода, , которые имеют −1 и 1 в качестве критических значений. Соответствующие дезинфаны принимают форму графов путей, чередующихся между чёрными и белыми вершинами, с ребрами в пути. В силу связи между полиномами Шабата и полиномами Чебышёва, сами полиномы Шабата иногда называют обобщёнными полиномами Чебышёва. Различные деревья, как правило, соответствуют различным полиномам Шабата, как и различные вложения или раскраски одного и того же дерева. До нормализации и линейных преобразований аргумента, полином Шабата однозначно определяется раскраской вложенного дерева, но не всегда просто найти полином Шабата, для которого данное вложенное дерево является его дезинфаном.