Кіріспе
Абстракт алгебра түсінігі
Абстракт алгебрада топтың туындатушы жиыны – топтың элементтері жиынының кіші жиыны болып табылады, мұнда топтың әрбір элементін жиынның шекті санындағы элементтері мен олардың кері элементтерінің комбинациясы (топ операциясы бойынша) түрінде өрнектеуге болады. Басқаша айтқанда, егер топтың кіші жиыны болса, онда , жиыннан туындаған кіші топ, топтың барлық элементтерін қамтитын ең кішкентай кіші топ, ол жиынның элементтерін қамтитын барлық кіші топтардың қиылысына тең; немесе, элементтерінің шекті көбейтіндісі және олардың керісі түрінде өрнектеуге болатын топтың барлық элементтерінен тұратын кіші топ. (Топ шексіз болса, кері элементтер қажет екенін ескеріңіз; шекті топта элементтің керісі сол элементтің дәрежесі ретінде өрнектеледі.) Егер , онда біз оны туындайды дейміз, ал жиынның элементтері генераторлар немесе топ генераторлары деп аталады. Егер бос жиын болса, онда бос көбейтінді сәйкестік ретінде қарастырылатындықтан, ол тривиальды топ болып табылады. жиынында бір ғана элемент болса, онда әдетте былай жазылады: Бұл жағдайда , элементтің дәрежелерінің циклдік тобы, циклдік топ, және біз бұл топты туындайды дейміз. Элемент топты туындайды деу, топтың өзіне тең дейтінмен бірдей. Шекті топтар үшін бұл топқа шексіз генераторлар қажет болуы мүмкін дегенмен де сәйкес келеді. Мысалы, рационал сандардың қосынды тобы шекті түрде туындатылмайды. Ол барлық бүтін сандардың кері шамаларынан туындайды, бірақ осы генераторлардың кез келген шекті саны генераторлық жиыннан алынса да, ол генераторлық жиын болып қалады. Мұндай жағдайда, генераторлық жиынның барлық элементтері, шын мәнінде, бүкіл топтың барлық элементтері сияқты «генерацияламайтын элементтер» болып табылады – төмендегі Фраттини кіші тобын қараңыз. Егер – топологиялық топ болса, онда топтың кіші жиыны, егер ол топта тығыз болса, яғни оның жабылуы бүкіл топқа тең болса, топологиялық генераторлар жиыны деп аталады.
A group may need an infinite number of generators. For example the additive group of rational numbers is not finitely generated. It is generated by the inverses of all the integers, but any finite number of these generators can be removed from the generating set without it ceasing to be a generating set. In a case like this, all the elements in a generating set are nevertheless "non generating elements", as are in fact all the elements of the whole group − see Frattini subgroup below. If is a topological group then a subset of is called a set of topological generators if is dense in , i. e. the closure of is the whole group .
Түпкілікті топ
Егер |G| шекті болса, онда G тобы шекті түрде туындаған деп аталады. Әсіресе, шекті түрде туындаған абельдік топтардың құрылымы оңай сипатталады. Шекті түрде туындаған топтар үшін дұрыс болатын көптеген теоремалар жалпы топтар үшін орындалмайды. Егер шекті топты S жиыны тудырса, онда әрбір топ элементін S әріптерінен құралған, топтың ретінен кем немесе тең ұзындықтағы сөз түрінде жазуға болады. Кез келген шекті топ шекті түрде туындаған, себебі қосылу бойынша бүтін сандар 1 және -1 арқылы шекті түрде туындайтын шексіз топтың мысалы болып табылады, бірақ қосылу бойынша рационал сандар тобы шекті түрде туындамайды. Ешқандай санаусыз топ шекті түрде туындамайды. Мысалы, қосылу бойынша нақты сандар тобы… Бір топтың әртүрлі кіші жиындары осы топты тудыруы мүмкін. Мысалы, егер a және b бүтін сандар болса және 1 = ең үлкен ортақ бөлгіш(a, b) болса, онда Безу теңдігі бойынша a және b қосылу бойынша бүтін сандар тобын да тудырады. Шекті түрде туындаған топтың кез келген гомоморфтық бейнесі шекті түрде туындаған (бейнедегі туындаушылардың жиыны гомоморфтық бейнеде шекті туындаушы жиынтықты береді), бірақ шекті түрде туындаған топтың кіші тобы міндетті түрде шекті түрде туындамайды. Мысалы, екі туындаушысы a және b болатын еркін топты қарастырайық (ол анық шекті түрде туындаған, себебі |{a, b}| = 2), және S жиыны a^n түріндегі барлық элементтерден тұрады, мұндағы n – кез келген натурал сан. Бұл жиын санауға болатын шексіз көп туындаушысы бар еркін топқа изоморфты, сондықтан шекті түрде туындамайды. Алайда, шекті түрде туындаған абельдік топтың кез келген кіші тобы өзі шекті түрде туындаған. Шындығында, одан да көп айтуға болады: барлық шекті түрде туындаған топтардың класы кеңейтулер бойынша жабық. Мұны көрсету үшін (шекті түрде туындаған) қалыпты кіші топ пен гомоморфтық бейне үшін туындаушы жиынтықты алыңыз. Содан кейін қалыпты кіші топтың туындаушылары, гомоморфтық бейнедегі туындаушылардың алдын ала бейнелерімен бірге, топты тудырады.
Different subsets of the same group can be generating subsets. For example, if and are integers with 1=[[greatest common divisor, then also generates the group of integers under addition by Bézout's identity. While it is true that every quotient of a finitely generated group is finitely generated (the images of the generators in the quotient give a finite generating set), a subgroup of a finitely generated group need not be finitely generated. For example, let be the free group in two generators, and (which is clearly finitely generated, since ), and let be the subset consisting of all elements of of the form for some natural number is isomorphic to the free group in countably infinitely many generators, and so cannot be finitely generated. However, every subgroup of a finitely generated abelian group is in itself finitely generated. In fact, more can be said: the class of all finitely generated groups is closed under extensions. To see this, take a generating set for the (finitely generated) normal subgroup and quotient. Then the generators for the normal subgroup, together with preimages of the generators for the quotient, generate the group.
Еркін топ
Кез келген жиынмен туындаған ең жалпы топ – сол жиынмен еркін туындаған топ. Кез келген жиынмен туындаған әрбір топ осы топтың фактортобына изоморфты, және бұл қасиет топтың презентациясын жазуда пайдаланылады.
Фраттинидің кіші тобы
Бір қызықты қосымша тақырып – генератор емес элементтер. Егер топтың элементін қамтитын кез келген жиын топты генерацияласа, ал осы элементті алып тастағанда да генерациялай берсе, онда ол элемент генератор емес деп аталады. Қосылу бойынша бүтін сандардағы жалғыз генератор емес элемент – 0. Барлық генератор емес элементтер жиыны – Frattini субтобын құрайды.
Жарты топтар және моноидтар
Егер жарты топ немесе моноид болса, оның генерациялау жиынтығын қолдануға болады – яғни, -ті қамтитын ең кіші жарты топ немесе моноид құрайтын жиын. Жоғарыда келтірілген топтың генерациялау жиынтығының шекті қосындыларды қолданатын анықтамасы жарты топтар немесе моноидтармен жұмыс істегенде сәл өзгеруі керек. Шындығында, бұл анықтамада кері операция ұғымын қолдану қажет емес. Егер жинақтың әрбір мүшесі оның мүшелерінің шекті қосындысы болса, онда ол жинақ жарты топты генерациялайды деп айтылады. Сол сияқты, егер жинақтың әрбір нөлдік емес мүшесі оның мүшелерінің шекті қосындысы болса, онда ол жинақ моноидты генерациялайды деп айтылады. Мысалы, {1} – табиғи сандар жиынтығының моноид генераторы. {1} жиынтығы оң табиғи сандардың жарты топ генераторы болып табылады. Дегенмен, 0 бүтін санын 1-дің (бос емес) қосындысы түрінде көрсету мүмкін емес, сондықтан {1} табиғи сандардың жарты топ генераторы емес. Сол сияқты, {1} бүтін сандар жиынтығының топ генераторы болса да, {1} бүтін сандар жиынтығының моноид генераторы емес. Өйткені, -1 бүтін санын 1-дің шекті қосындысы түрінде көрсетуге болмайды.
The definitions of generating set of a group using finite sums, given above, must be slightly modified when one deals with semigroups or monoids. Indeed, this definition should not use the notion of inverse operation anymore. The set is said to be a semigroup generating set of if each element of is a finite sum of elements of Similarly, a set is said to be a monoid generating set of if each non zero element of is a finite sum of elements of
For example, {1} is a monoid generator of the set of natural numbers The set {1} is also a semigroup generator of the positive natural numbers However, the integer 0 can not be expressed as a (non empty) sum of 1s, thus {1} is not a semigroup generator of the natural numbers. Similarly, while {1} is a group generator of the set of integers , {1} is not a monoid generator of the set of integers. Indeed, the integer −1 cannot be expressed as a finite sum of 1s.