Введение

Концепция абстрактной алгебры

В абстрактной алгебре генерирующим множеством группы называется подмножество множества группы, такое что каждый элемент группы может быть представлен как комбинация (относительно групповой операции) конечного числа элементов этого подмножества и их обратных. Иными словами, если является подмножеством группы , то подгруппа , порожденная , является наименьшей подгруппой , содержащей каждый элемент , которая равна пересечению всех подгрупп, содержащих элементы ; эквивалентно, – это подгруппа, состоящая из всех элементов , которые могут быть выражены как конечное произведение элементов из и их обратных. (Следует отметить, что обратные элементы необходимы только в случае бесконечной группы; в конечной группе обратный элемент может быть выражен как степень этого элемента.) Если , то мы говорим, что порождает , а элементы в называются образующими или генераторами группы. Если – пустое множество, то – тривиальная группа , поскольку мы считаем пустое произведение равным единичному элементу. Когда в содержится только один элемент , обычно записывается как . В этом случае является циклической подгруппой степеней , циклической группой, и мы говорим, что эта группа порождена . Эквивалентно утверждению, что элемент порождает группу, является утверждение, что совпадает со всей группой . Для конечных групп это также эквивалентно тому, что имеет порядок .

Группе может потребоваться бесконечное число образующих. Например, аддитивная группа рациональных чисел не является конечно порожденной. Она порождается обратными ко всем целым числам, но любое конечное число этих образующих можно удалить из порождающего множества, не переставая быть порождающим множеством. В таком случае все элементы порождающего множества тем не менее являются «не образующими элементами», как и все элементы всей группы – см. подгруппу Фраттини ниже. Если является топологической группой, то подмножество называется множеством топологических образующих, если плотно в , то есть замыкание равно всей группе .

Конечно сгенерированная группа

Если конечно, то группа называется конечно порождённой. Структура конечно порождённых абелевых групп, в частности, легко описывается. Многие теоремы, справедливые для конечно порождённых групп, не выполняются для групп в общем случае. Доказано, что если конечная группа порождается подмножеством , то каждый элемент группы может быть представлен в виде слова из алфавита длиной не более порядка группы. Каждая конечная группа конечно порождена, поскольку целые числа относительно сложения являются примером бесконечной группы, которая конечно порождается как 1, так и −1, но группа рациональных чисел относительно сложения не может быть конечно порождена. Ни одна несчётная группа не может быть конечно порождена. Например, группа действительных чисел относительно сложения, различные подмножества одной и той же группы могут быть порождающими. Например, если и – целые числа, такие что 1 = НОД( , ), то также порождает группу целых чисел относительно сложения по тождеству Безу. Хотя верно, что каждый фактор-группа конечно порождённой группы конечно порождена (образы порождающих элементов в фактор-группе дают конечный порождающий набор), подгруппа конечно порождённой группы не обязана быть конечно порождённой. Например, пусть – свободная группа в двух порождающих, и (которая явно конечно порождена, так как ), и пусть – подмножество, состоящее из всех элементов вида для некоторого натурального числа . Эта подгруппа изоморфна свободной группе в счётном бесконечном числе порождающих, и поэтому не может быть конечно порождена. Однако каждая подгруппа конечно порождённой абелевой группы сама по себе конечно порождена. Более того, можно сказать следующее: класс всех конечно порождённых групп замкнут относительно расширений. Чтобы увидеть это, возьмите порождающее множество для (конечно порождённой) нормальной подгруппы и фактор-группы. Тогда порождающие элементы для нормальной подгруппы вместе с прообразами порождающих элементов для фактор-группы порождают группу.

Свободная группа

Наиболее общая группа, порожденная множеством, — это свободно порожденная группа. Каждая группа, порожденная этим множеством, изоморфна частному этой группы, что используется при записи представления группы.

Подгруппа Фраттини

Интересная сопутствующая тема – это негенераторы. Элемент группы является негенератором, если любое множество, содержащее этот элемент и порождающее группу, по-прежнему порождает группу при исключении этого элемента. В целых числах с операцией сложения единственным негенератором является 0. Множество всех негенераторов образует подгруппу группы, называемую подгруппой Фраттини.

Полугруппы и моноиды

Если S – полугруппа или моноид, то можно по-прежнему использовать понятие генерирующего множества. Множество S называется полугрупповым/моноидным генерирующим множеством, если S – наименьшая полугруппа/моноид, содержащая .

Определения генерирующего множества группы с использованием конечных сумм, приведенные выше, должны быть немного изменены при работе с полугруппами или моноидами. Действительно, в этом определении не следует использовать понятие обратного элемента. Множество называется полугрупповым генерирующим множеством, если каждый элемент из S является конечной суммой элементов из . Аналогично, множество называется моноидным генерирующим множеством, если каждый ненулевой элемент из S является конечной суммой элементов из .

Например, {1} является моноидным генератором множества натуральных чисел. Множество {1} также является полугрупповым генератором множества положительных натуральных чисел. Однако целое число 0 нельзя представить в виде (непустой) суммы единиц, поэтому {1} не является полугрупповым генератором множества натуральных чисел. Аналогично, хотя {1} является генератором группы множества целых чисел, {1} не является моноидным генератором множества целых чисел. Действительно, целое число −1 нельзя представить в виде конечной суммы единиц.