Кіріспе
Ықтималдық теориясының тұжырымдамасы
Ықтималдық теориясында фракциялық Браун қозғалысы (fBm), сонымен қатар фракталды Браун қозғалысы деп аталады, Браун қозғалысының жалпылануы болып табылады. Классикалық Браун қозғалысынан айырмашылығы, fBm-нің ілгерілеулері тәуелсіз болуы міндетті емес. fBm – нөлден басталатын, кез келген t үшін нөлдік күтуге ие және келесі ковариациялық функциясы бар үнемі уақыт Гаусс процесі:
In probability theory, fractional Brownian motion (fBm), also called a fractal Brownian motion, is a generalization of Brownian motion. Unlike classical Brownian motion, the increments of fBm need not be independent. fBm is a continuous time Gaussian process on , that starts at zero, has expectation zero for all in , and has the following covariance function:
мұнда H – (0, 1) аралығындағы нақты сан, фракциялық Браун қозғалысына байланысты Хёрст индексі немесе Хёрст параметрі деп аталады. Хёрст экспонентасы нәтижедегі қозғалыстың тегіссіздігін сипаттайды, оның жоғары мәні тегіс қозғалысқа әкеледі. Ол енгізілген: H мәні fBm қандай процесс екенін анықтайды: егер H = 1/2 болса, онда процесс шын мәнінде Браун қозғалысы немесе Винер процесі болып табылады; егер H > 1/2 болса, онда процесс ілгерілеулері оң корреляцияға ие; егер H < 1/2 болса, онда процесс ілгерілеулері теріс корреляцияға ие. Фракциялық Браун қозғалысының тұрақты ілгерілеулері бар: X(t) = BH(s+t) − BH(s) (бұл мән кез келген s үшін бірдей). Ілгерілеу процесі X(t) фракциялық Гаусс шуы деп аталады. Фракциялық Браун қозғалысының жалпылауы да бар: n-ші ретті фракциялық Браун қозғалысы, n fBm деп қысқартылады. n fBm – Гауссқа ұқсас, өздігінен ұқсас, стационарлық емес процесс, оның n-ші ретті ілгерілеулері стационарлық. n = 1 үшін n fBm – классикалық fBm. Браун қозғалысы сияқты, ол жалпылайды, фракциялық Браун қозғалысы 19 ғасыр биологы Роберт Браунның есімімен аталады; фракциялық Гаусс шуы математик Карл Фридрих Гаусс атымен аталады.
The value of H determines what kind of process the fBm is:
if H = 1/2 then the process is in fact a Brownian motion or Wiener process;
if H > 1/2 then the increments of the process are positively correlated;
if H < 1/2 then the increments of the process are negatively correlated. Fractional Brownian motion has stationary increments X(t) = BH(s+t) − BH(s) (the value is the same for any s). The increment process X(t) is known as fractional Gaussian noise. There is also a generalization of fractional Brownian motion: n th order fractional Brownian motion, abbreviated as n fBm. n fBm is a Gaussian, self similar, non stationary process whose increments of order n are stationary. For n = 1, n fBm is classical fBm. Like the Brownian motion that it generalizes, fractional Brownian motion is named after 19th century biologist Robert Brown; fractional Gaussian noise is named after mathematician Carl Friedrich Gauss.
Тұрақтылық
Үлгі жолдары дерлік еш жерде туындыланбайды. Дегенмен, траекториялардың басым көпшілігі H-ден қатаң төмен кез келген реттік Hölder үздіксіздігіне ие: әрбір мұндай траектория үшін, кез келген T > 0 және кез келген ε > 0 үшін, 0 < s, t < T үшін (көптеген жағдайларда) c тұрақтысы табылады, осыған сәйкес
теңсіздік орындалады.
Өлшем
Ықтималдығы 1-ге тең болғанда, BH(t) графигінің Хаусдорф және қораптық өлшемдері 2−H-қа тең болады.
Интеграциялау
Тұрақты Браун қозғалысына қатысты, фракциялық Браун қозғалысына қатысты стохастикалық интегралдарды анықтауға болады, олар көбінесе "фракциялық стохастикалық интегралдар" деп аталады. Бірақ, жалпы алғанда, тұрақты Браун қозғалысына қатысты интегралдардан өзгеше, фракциялық стохастикалық интегралдар жартылай мартингаль болып табылмайды.
Жиілік доменін түсіндіру
Браундық қозғалысты (яғни интегралдау арқылы) сүзгіленген ақ шу ретінде қарастырылғандай, фракциялық Браундық қозғалыс та (фракциялық интеграцияға сәйкес келетін) сүзгіленген ақ шу болып табылады.
Үлгі жолдары
fBm-нің практикалық компьютерлік реализацияларын жасау мүмкін, бірақ олар тек шектеулі жуықтама болып табылады. Таңдалған үлгі жолдары fBm процесіндегі дискретті үлгі алынған нүктелерді көрсетеді деп есептеуге болады. Төменде үш реализация көрсетілген, әрқайсысы 0,75 Хёрст параметріне ие 1000 нүктеден тұрады. Төменде үш түрлі fBm-нің реализациялары көрсетілген, әрқайсысы 1000 нүктеден көрсетеді: біріншісі 0,15 Хёрст параметрімен, екіншісі 0,55 Хёрст параметрімен және үшіншісі 0,95 Хёрст параметрімен. Хёрст параметрі неғұрлым жоғары болса, қисық сызық тағдырлы болады.