Введение
Концепция теории вероятности
В теории вероятности, фракционное движение Брауна (fBm), также называемое фрактальным движением Брауна, является обобщением движения Брауна. В отличие от классического движения Брауна, инкременты fBm не обязаны быть независимыми. fBm – это непрерывно-временной гауссовский процесс на , начинающийся с нуля, имеющий нулевое математическое ожидание для всех в , и обладающий следующей ковариационной функцией:
In probability theory, fractional Brownian motion (fBm), also called a fractal Brownian motion, is a generalization of Brownian motion. Unlike classical Brownian motion, the increments of fBm need not be independent. fBm is a continuous time Gaussian process on , that starts at zero, has expectation zero for all in , and has the following covariance function:
где H – действительное число в интервале (0, 1), называемое индексом Херста или параметром Херста, связанным с фракционным движением Брауна. Показатель Херста описывает шероховатость результирующего движения, при этом более высокое значение приводит к более гладкому движению. Он был введен . Значение H определяет, какой процесс представляет собой fBm:
если H = 1/2, то процесс фактически является движением Брауна или процессом Винера;
если H > 1/2, то инкременты процесса положительно коррелированы;
если H < 1/2, то инкременты процесса отрицательно коррелированы. Фракционное движение Брауна имеет стационарные инкременты X(t) = BH(s+t) − BH(s) (значение одинаково для любого s). Процесс приращений X(t) известен как фракционный гауссовский шум. Существует также обобщение фракционного движения Брауна: фракционное движение Брауна n-го порядка, сокращенно n fBm. n fBm – это гауссовский, самоподобный, нестационарный процесс, инкременты n-го порядка которого являются стационарными. Для n = 1, n fBm является классическим fBm. Как и движение Брауна, которое оно обобщает, фракционное движение Брауна названо в честь биолога XIX века Роберта Брауна; фракционный гауссовский шум назван в честь математика Карла Фридриха Гаусса.
The value of H determines what kind of process the fBm is:
if H = 1/2 then the process is in fact a Brownian motion or Wiener process;
if H > 1/2 then the increments of the process are positively correlated;
if H < 1/2 then the increments of the process are negatively correlated. Fractional Brownian motion has stationary increments X(t) = BH(s+t) − BH(s) (the value is the same for any s). The increment process X(t) is known as fractional Gaussian noise. There is also a generalization of fractional Brownian motion: n th order fractional Brownian motion, abbreviated as n fBm. n fBm is a Gaussian, self similar, non stationary process whose increments of order n are stationary. For n = 1, n fBm is classical fBm. Like the Brownian motion that it generalizes, fractional Brownian motion is named after 19th century biologist Robert Brown; fractional Gaussian noise is named after mathematician Carl Friedrich Gauss.
Регулярность
Пробные траектории почти нигде не дифференцируемы. Однако почти все траектории локально гёльдеровы непрерывны любого порядка, строго меньшего H: для каждой такой траектории, для любого T > 0 и для любого ε > 0 существует (случайная) константа c, такая что
для 0 < s, t < T.
Размер
С вероятностью 1 график BH(t) имеет как размерность Хаусдорфа, так и размерность Минковского 2−H.
Интеграция
Что касается регулярного броуновского движения, то можно определить стохастические интегралы по дробному броуновскому движению, которые обычно называют "дробными стохастическими интегралами". Однако, в общем случае, в отличие от интегралов по регулярному броуновскому движению, дробные стохастические интегралы не являются полумартингалами.
Интерпретация частоты
Так же, как броуновское движение можно рассматривать как белый шум, отфильтрованный (то есть проинтегрированный), дробное броуновское движение – это белый шум, отфильтрованный (соответствующий дробному интегрированию).
Пути выборки
Практические компьютерные реализации fBm могут быть сгенерированы, хотя они представляют собой лишь конечное приближение. Полученные траектории можно рассматривать как дискретные точки выборки на процессе fBm. Ниже представлены три реализации, каждая из которых содержит 1000 точек fBm с параметром Херста 0,75. Ниже представлены реализации трех различных типов fBm, каждая из которых содержит 1000 точек: первая с параметром Херста 0,15, вторая с параметром Херста 0,55 и третья с параметром Херста 0,95. Чем выше параметр Херста, тем более гладкой будет кривая.