Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, жергілікті тығыз топ – негізгі топологиясы жергілікті тығыз және Хаусдорф ақсиомасын қанағаттандыратын G топологиялық тобы. Жергілікті тығыз топтар маңызды, себебі математиканың әртүрлі салаларында кездесетін көптеген топтар жергілікті тығыз болып келеді және мұндай топтардың Хаар өлшемі деп аталатын табиғи өлшемі болады. Бұл G-де Борель өлшенетін функцияларының интегралдарын анықтауға мүмкіндік береді, соның арқасында Фурье түрлендіруі және басқа да стандартты талдау ұғымдары кеңейтіледі. Топтардың бейнелеу теориясының көптеген нәтижелері топ бойынша орташалау арқылы дәлелденеді. Компактты топтар үшін, осы дәлелдемелерді өңдеу нормаланған Хаар интегралы бойынша орташалау арқылы ұқсас нәтижелерге әкеледі. Ал жалпы жергілікті тығыз жағдайда, мұндай тәсілдер міндетті түрде қолданылмайды. Соның нәтижесінде пайда болған теория – гармониялық талдаудың орталық бөлігі. Жергілікті тығыз абельдік топтардың бейнелеу теориясы Понтрягин дуалдығы арқылы сипатталады.
In mathematics, a locally compact group is a topological group G for which the underlying topology is locally compact and Hausdorff. Locally compact groups are important because many examples of groups that arise throughout mathematics are locally compact and such groups have a natural measure called the Haar measure. This allows one to define integrals of Borel measurable functions on G so that standard analysis notions such as the Fourier transform and spaces can be generalized. Many of the results of finite group representation theory are proved by averaging over the group. For compact groups, modifications of these proofs yields similar results by averaging with respect to the normalized Haar integral. In the general locally compact setting, such techniques need not hold. The resulting theory is a central part of harmonic analysis. The representation theory for locally compact abelian groups is described by Pontryagin duality.
Мысалдар мен қарсы мысалдар
Кез келген компакт топ жергілікті компакт болып табылады. Атап айтқанда, көбейту бойынша модульдері бірлікке тең кешенді сандардың шеңбер тобы T компактты, демек жергілікті компактты. Шеңбер тобы тарихи тұрғыдан алғашқы топологиялық емес тривиальды топ ретінде, сонымен қатар жергілікті компакттылық қасиетіне ие болып, осы жерде ұсынылған жалпы теорияны іздеуге түрткі болды. Кез келген дискретті топ жергілікті компактты болады. Сондықтан жергілікті компактты топтар теориясы, кез келген топқа дискретті топология берілуі мүмкін болғандықтан, қарапайым топтар теориясын да қамтиды. Локалды Эвклидтік Ли тобы – жергілікті компактты топтар. Хаусдорф топологиялық векторлық кеңістік, егер және тек қана ол шекті өлшемді болса, жергілікті компактты болады. Нақты сандар жиынының ішкі жиыны ретінде қарастырылғанда, рационал сандардың Q адитивті тобы жергілікті компактты емес. Егер дискретті топология берілсе, ол жергілікті компактты болады. Кез келген жай сан p үшін p-адик сандардың Qp адитивті тобы жергілікті компактты.
Any compact group is locally compact. In particular the circle group T of complex numbers of unit modulus under multiplication is compact, and therefore locally compact. The circle group historically served as the first topologically nontrivial group to also have the property of local compactness, and as such motivated the search for the more general theory, presented here. Any discrete group is locally compact. The theory of locally compact groups therefore encompasses the theory of ordinary groups since any group can be given the discrete topology. Lie groups, which are locally Euclidean, are all locally compact groups. A Hausdorff topological vector space is locally compact if and only if it is finite dimensional. The additive group of rational numbers Q is not locally compact if given the relative topology as a subset of the real numbers. It is locally compact if given the discrete topology. The additive group of p adic numbers Qp is locally compact for any prime number p.
Қасиеттері
Гомогенділік принципі бойынша, топологиялық топ үшін негізгі кеңістіктің жергілікті тығыздығын тек бірлік элементінде тексеру жеткілікті. Яғни, G тобы жергілікті тығыз кеңістік болып табылады, егер және тек егер бірлік элементінің тығыз маңайы болса. Осыдан әрбір нүктеде тығыз маңайлардың жергілікті базасы бар екендігі шығады. Жергілікті тығыз топтың кез келген жабық кіші тобы жергілікті тығыз болады. (Рационалдар тобы мысалы ретінде көрсеткендей, жабылу шарты қажет.) Керісінше, Хаусдорф тобының кез келген жергілікті тығыз кіші тобы жабық болады. Жергілікті тығыз топтың кез келген фактор тобы жергілікті тығыз болады. Жергілікті тығыз топтар отбасының көбейтіндісі жергілікті тығыз болады, егер және тек егер оның шекті санынан басқа барлық факторлары тығыз болса. Топологиялық топтар топологиялық кеңістік ретінде әрқашан толыққанды реттелген болады. Жергілікті тығыз топтар қалыпты болудың күшті қасиетіне ие. Бірінші рет саналатын кез келген жергілікті тығыз топ топологиялық топ ретінде метрикалық болады (яғни, топологиямен үйлесімді сол жақты инвариантты метрикамен жабдылуы мүмкін) және толық болады. Егер кеңістік екінші рет саналатын болса, метриканы дұрыс таңдауға болады. (Топологиялық топтар туралы мақаланы қараңыз.) G поляк тобында Haar нөлдік жиындарының σ-алгебрасы G жергілікті тығыз болса және тек сонда ғана саналатын тізбектік шартты қанағаттандырады.
By homogeneity, local compactness of the underlying space for a topological group need only be checked at the identity. That is, a group G is a locally compact space if and only if the identity element has a compact neighborhood. It follows that there is a local base of compact neighborhoods at every point. Every closed subgroup of a locally compact group is locally compact. (The closure condition is necessary as the group of rationals demonstrates.) Conversely, every locally compact subgroup of a Hausdorff group is closed. Every quotient of a locally compact group is locally compact. The product of a family of locally compact groups is locally compact if and only if all but a finite number of factors are actually compact. Topological groups are always completely regular as topological spaces. Locally compact groups have the stronger property of being normal. Every locally compact group which is first countable is metrisable as a topological group (i. e. can be given a left invariant metric compatible with the topology) and complete. If furthermore the space is second countable, the metric can be chosen to be proper. (See the article on topological groups.) In a Polish group G, the σ algebra of Haar null sets satisfies the countable chain condition if and only if G is locally compact.