Введение
В математике локально компактная группа — это топологическая группа G, для которой лежащая в основе топология локально компактна и хаусдорфова. Локально компактные группы важны, поскольку многие примеры групп, встречающихся в математике, являются локально компактными, и такие группы обладают естественной мерой, называемой мерой Хаара. Это позволяет определять интегралы борелевских измеримых функций на G, что позволяет обобщить понятия стандартного анализа, такие как преобразование Фурье и функциональные пространства. Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются посредством усреднения по группе. Для компактных групп модификации этих доказательств дают аналогичные результаты посредством усреднения относительно нормализованного интеграла Хаара. В общем случае локальной компактности такие методы не всегда применимы. Получающаяся теория является центральной частью гармонического анализа. Теория представлений локально компактных абелевых групп описывается двойственностью Понтрягина.
Примеры и контрпримеры
Любая компактная группа локально компактна. В частности, круговая группа T комплексных чисел с единичным модулем относительно умножения компактна и, следовательно, локально компактна. Круговая группа исторически была первой топологически нетривиальной группой, обладающей также свойством локальной компактности, и именно поэтому послужила стимулом для поиска более общей теории, представленной здесь. Любая дискретная группа локально компактна. Таким образом, теория локально компактных групп включает в себя теорию обычных групп, поскольку любой группе можно задать дискретную топологию. Группы Ли, которые локально евклидовы, являются локально компактными группами. Топологическое векторное пространство Хаусдорфа локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Аддитивная группа рациональных чисел Q не является локально компактной, если рассматривать ее с индуцированной топологией как подмножество действительных чисел. Она локально компактна, если ей задана дискретная топология. Аддитивная группа p-адических чисел Qp локально компактна для любого простого числа p.
Свойства
При однородности локальную компактность базового пространства для топологической группы достаточно проверять только в единице. То есть, группа G является локально компактным пространством тогда и только тогда, когда элемент единицы имеет компактную окрестность. Отсюда следует, что в каждой точке существует локальная база компактных окрестностей. Каждая замкнутая подгруппа локально компактной группы локально компактна. (Условие замкнутости необходимо, что демонстрирует группа рациональных чисел.) Обратно, каждая локально компактная подгруппа группы Хаусдорфа замкнута. Каждое фактор-пространство локально компактной группы локально компактно. Произведение семейства локально компактных групп локально компактно тогда и только тогда, когда все, кроме конечного числа сомножителей, являются компактными. Топологические группы всегда полностью регулярны как топологические пространства. Локально компактные группы обладают более сильным свойством – нормальностью. Каждая локально компактная группа, являющаяся счетно первой, метризуема как топологическая группа (то есть, допускает левоинвариантную метрику, согласованную с топологией) и полна. Если при этом пространство счетно вторая, то метрику можно выбрать правильной. (См. статью о топологических группах.) В польской группе G сигма-алгебра множеств меры Гаара нуля удовлетворяет условию счётной цепи тогда и только тогда, когда G локально компактна.