Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе топтар теориясында, "Ли типіндегі топ" термині көбінесе шекті өрістегі мәндері бар редуктивті сызықтық алгебралық топтың рационалдық нүктелер тобымен тығыз байланысты шекті топтарды білдіреді. "Ли типіндегі топ" фразасының қатысты, нақты анықтамасы жоқ, бірақ Ли типіндегі шекті қарапайым топтардың маңызды жиынтығы нақты анықтамаға ие, және олар шекті қарапайым топтардың жіктелуіндегі топтардың басым бөлігін құрайды. "Ли типіндегі топтар" атауы (шексіз) Ли топтарымен тығыз байланысына байланысты, себебі компактты Ли тобын нақты сандар өрісіндегі редуктивті сызықтық алгебралық топтың рационалдық нүктелері ретінде қарастыруға болады. және Ли типіндегі топтар туралы стандартты анықтамалар болып табылады.
In mathematics, specifically in group theory, the phrase group of Lie type usually refers to finite groups that are closely related to the group of rational points of a reductive linear algebraic group with values in a finite field. The phrase group of Lie type does not have a widely accepted precise definition, but the important collection of finite simple groups of Lie type does have a precise definition, and they make up most of the groups in the classification of finite simple groups. The name "groups of Lie type" is due to the close relationship with the (infinite) Lie groups, since a compact Lie group may be viewed as the rational points of a reductive linear algebraic group over the field of real numbers. and are standard references for groups of Lie type.
Классикалық топтар
Бұл сұраққа алғашқы көзқарас – Л. Э. Диксон мен Жан Диодоннның шекті және басқа да өрістердегі классикалық топтарды анықтау және егжей-тегжейлі зерттеуі болды. Эмиль Артин мұндай топтардың ретін зерттеді, мақсаты – сәйкес келу жағдайларын жіктеу. Классикалық топ – бұл, шамамен айтқанда, арнайы сызықтық, ортогональды, симплектикалық немесе унитарлық топ. Бұл топтардың туынды кіші топтарын немесе орталық факторларын қарастыру арқылы берілген бірнеше шағын өзгерістер бар, соңғысы проективті сызықтық топтарды тудырады. Оларды шекті өрістерде (немесе кез келген басқа өрісте) нақты сандардағы сияқты құруға болады. Олар Шевалье және Штайнберг топтарының An, Bn, Cn, Dn, 2An, 2Dn серияларымен сәйкес келеді.
An initial approach to this question was the definition and detailed study of the so called classical groups over finite and other fields by These groups were studied by L. E. Dickson and Jean Dieudonné. Emil Artin investigated the orders of such groups, with a view to classifying cases of coincidence. A classical group is, roughly speaking, a special linear, orthogonal, symplectic, or unitary group. There are several minor variations of these, given by taking derived subgroups or central quotients, the latter yielding projective linear groups. They can be constructed over finite fields (or any other field) in much the same way that they are constructed over the real numbers. They correspond to the series An, Bn, Cn, Dn,2An, 2Dn of Chevalley and Steinberg groups.
Шевалье топтары
Шевалье топтарын шекті өрістердегі Лай топтары деп қарастыруға болады. Бұл теория алгебралық топтар теориясымен және Ли алгебралары бойынша жұмыстар арқылы нақтыланды, осы арқылы Шевалье тобының ұғымы бөлініп шықты. Шевалье барлық кешенді қарапайым Ли алгебралары (немесе олардың әмбебап орамдық алгебралары) үшін Шевалье негізін (шекті өрістердегі интегралды форманың бір түрі) құрды, оны бүтін сандардағы сәйкес алгебралық топтарды анықтау үшін пайдалануға болады. Атап айтқанда, ол олардың кез келген шекті өрістегі мәндерімен нүктелерін алуға мүмкіндік алды. Ли алгебралары An, Bn, Cn, Dn үшін бұл белгілі классикалық топтарды берді, бірақ оның құрылысы сонымен қатар ерекше Ли алгебраларына байланысты топтарды да берді: E6, E7, E8, F4 және G2. G2 типіндегі (кейде Диксон топтары деп аталады) топтар бұрыннан-ақ құрылған, ал E6 типіндегі топтар құрылған.
Chevalley groups can be thought of as Lie groups over finite fields. The theory was clarified by the theory of algebraic groups, and the work of on Lie algebras, by means of which the Chevalley group concept was isolated. Chevalley constructed a Chevalley basis (a sort of integral form but over finite fields) for all the complex simple Lie algebras (or rather of their universal enveloping algebras), which can be used to define the corresponding algebraic groups over the integers. In particular, he could take their points with values in any finite field. For the Lie algebras An, Bn, Cn, Dn this gave well known classical groups, but his construction also gave groups associated to the exceptional Lie algebras E6, E7, E8, F4, and G2. The ones of type G2 (sometimes called Dickson groups) had already been constructed by , and the ones of type E6 by .
Шекті қарапайым топтармен байланыстар
Ли типіндегі шекті топтар, циклдік, симметриялық және ауыспалы топтардан кейін математикада қарастырылған алғашқы топтардың бірі болды, ал проективті арнайы сызықтық топтар, PSL(2, p), алғашқы шекті өрістерде Эварист Галуамен 1830 жылдары құрастырылды. Ли типіндегі шекті топтарды жүйелі зерттеу Камилл Джорданның PSL(2, q) тобының q ≠ 2, 3 үшін қарапайым екендігі туралы теоремасымен басталды. Бұл теорема жоғары өлшемді проективті топтарға жалпыланады және PSL(n, q) түріндегі шекті қарапайым топтардың маңызды шексіз отбасын береді. Басқа классикалық топтарды Леонард Диксон 20-ғасырдың басында зерттеді. 1950 жылдары Клод Шевалье тиісті қайта формулировкадан кейін, жартылай қарапайым Ли топтары туралы көптеген теоремалардың k кездейсоқ өрісіндегі алгебралық топтарға аналогтары бар екенін түсінді, бұл қазір Шевалье топтары деп аталатын құрылымға әкелді. Сонымен қатар, компактті қарапайым Ли топтарының жағдайындағыдай, сәйкес топтар абстрактіл топтар ретінде дерлік қарапайым болып шықты (Титстің қарапайымдық теоремасы). 19-ғасырдан бері басқа шекті қарапайым топтардың бар екені белгілі болғанмен (мысалы, Матье топтары), біртіндеп барлық шекті қарапайым топтарды Шевалье құрылымының тиісті кеңейтулерімен, сондай-ақ циклдік және ауыспалы топтармен есептеуге болады деген сенім қалыптасты. Сонымен қатар, ерекшеліктер – спорадикалық топтар – Ли типіндегі шекті топтармен көптеген қасиеттерді бөліседі және әсіресе, Титстің геометриялық мағынасында оларды құрастыруға және сипаттауға болады. Бұл сенім қазір теоремаға айналды – шекті қарапайым топтардың жіктелуі. Шекті қарапайым топтар тізімін қарастырғанда, шекті өріс үстіндегі Ли типіндегі топтарға циклдік топтар, ауыспалы топтар, Титс тобы және 26 спорадикалық қарапайым топтардан басқа барлық шекті қарапайым топтар кіретіні көрінеді.
Finite groups of Lie type were among the first groups to be considered in mathematics, after cyclic, symmetric and alternating groups, with the projective special linear groups over prime finite fields, PSL(2, p) being constructed by Évariste Galois in the 1830s. The systematic exploration of finite groups of Lie type started with Camille Jordan's theorem that the projective special linear group PSL(2, q) is simple for q ≠ 2, 3. This theorem generalizes to projective groups of higher dimensions and gives an important infinite family PSL(n, q) of finite simple groups. Other classical groups were studied by Leonard Dickson in the beginning of 20th century. In the 1950s Claude Chevalley realized that after an appropriate reformulation, many theorems about semisimple Lie groups admit analogues for algebraic groups over an arbitrary field k, leading to construction of what are now called Chevalley groups. Moreover, as in the case of compact simple Lie groups, the corresponding groups turned out to be almost simple as abstract groups (Tits simplicity theorem). Although it was known since 19th century that other finite simple groups exist (for example, Mathieu groups), gradually a belief formed that nearly all finite simple groups can be accounted for by appropriate extensions of Chevalley's construction, together with cyclic and alternating groups. Moreover, the exceptions, the sporadic groups, share many properties with the finite groups of Lie type, and in particular, can be constructed and characterized based on their geometry in the sense of Tits. The belief has now become a theorem – the classification of finite simple groups. Inspection of the list of finite simple groups shows that groups of Lie type over a finite field include all the finite simple groups other than the cyclic groups, the alternating groups, the Tits group, and the 26 sporadic simple groups.
Нотациялау мәселелері
Ли типті шекті топтар үшін стандартты белгілеу жоқ, ал әдебиетте олар үшін үйлеспейтін және шатастыратын белгілеу жүйелерінің ондаған саны бар. PSL(n, q) қарапайым тобы әдетте PSL(n, Fq) алгебралық тобының Fq-ға бағаланған нүктелерінің PSL(n, Fq) тобымен бірдей емес. Мәселе SL(n) → PSL(n) сияқты алгебралық топтардың сюръективті бейнелеуі, кейбір (алгебралық жабық емес) өрістегі мәндермен сәйкес топтардың сюръективті бейнелеуін міндетті түрде тудырмауында. Бұған ұқсас мәселелер шекті өрістердегі мәндері бар басқа алгебралық топтардың нүктелерімен де кездеседі. An−1 типіндегі топтар кейде PSL(n, q) (проективті арнайы сызықтық топ) немесе L(n, q) арқылы белгіленеді. Cn типіндегі топтар кейде Sp(2n, q) (симплектикалық топ) немесе (шатастыратындай) Sp(n, q) арқылы белгіленеді. Dn ("ортогональды" топтар) типіндегі топтар үшін белгілеу әсіресе шатастыратын. Қолданылатын кейбір символдар: O(n, q), O−(n, q), PSO(n, q), Ωn(q), бірақ көптеген конвенциялар бар, сондықтан олар нақты көрсетілмейінше, олардың қай топқа сәйкес келетінін нақты айту мүмкін емес. Мәселенің түбі – қарапайым топ O ортогональды тобы да, PSO проективті арнайы ортогональды тобы да емес, PSO-ның кіші тобы болып табылады, сондықтан оның классикалық белгісі жоқ. Әсіресе жағымсыз тұзақ – кейбір авторлар, мысалы ATLAS, ортогональды топ емес, қарапайым топ үшін O(n, q) белгісін қолданады. Ω, PΩ белгілерін Жан Диодонне енгізді, бірақ оның анықтамасы n ≤ 4 үшін қарапайым емес, сондықтан бірдей белгі n ≥ 5 үшін келіседі, бірақ төменгі өлшемдерде сәл өзгеше топ үшін қолданылуы мүмкін. Штайнберг топтары үшін кейбір авторлар 2An(q2) (және т.б.) деп жазады, ал басқалары осы топты 2An(q) деп белгілейді. Мәселе екі өріс қатысты: біреуі q2 ретінде, екіншісі оның q ретіндегі тұрақты өрісі, және оларды белгілеуге кіргізу керек пе, әртүрлі пікірлер бар. "2An(q2)" конвенциясы логикалық және дәйекті, бірақ "2An(q)" конвенциясы әлдеқайда көп таралған және алгебралық топтарға қатысты конвенцияға жақын. Авторлар An(q) сияқты топтар қарапайым немесе қарапайым байланысқан алгебралық топтағы мәндері бар нүктелер тобын білдіре ме, жоқ па деген мәселеде әртүрлі пікірде. Мысалы, An(q) арнайы сызықтық топ SL(n+1, q) немесе проективті арнайы сызықтық топ PSL(n+1, q) болуы мүмкін. Сондықтан 2A2(4) авторға байланысты 4 топтың кез келгені болуы мүмкін.
There is no standard notation for the finite groups of Lie type, and the literature contains dozens of incompatible and confusing systems of notation for them. The simple group PSL(n, q) is not usually the same as the group PSL(n, Fq) of Fq valued points of the algebraic group PSL(n). The problem is that a surjective map of algebraic groups such as SL(n) → PSL(n) does not necessarily induce a surjective map of the corresponding groups with values in some (non algebraically closed) field. There are similar problems with the points of other algebraic groups with values in finite fields. The groups of type An−1 are sometimes denoted by PSL(n, q) (the projective special linear group) or by L(n, q). The groups of type Cn are sometimes denoted by Sp(2n, q) (the symplectic group) or (confusingly) by Sp(n, q). The notation for groups of type Dn ("orthogonal" groups) is particularly confusing. Some symbols used are O(n, q), O−(n, q), PSO(n, q), Ωn(q), but there are so many conventions that it is not possible to say exactly what groups these correspond to without it being specified explicitly. The source of the problem is that the simple group is not the orthogonal group O, nor the projective special orthogonal group PSO, but rather a subgroup of PSO, which accordingly does not have a classical notation. A particularly nasty trap is that some authors, such as the ATLAS, use O(n, q) for a group that is not the orthogonal group, but the corresponding simple group. The notation Ω, PΩ was introduced by Jean Dieudonné, though his definition is not simple for n ≤ 4 and thus the same notation may be used for a slightly different group, which agrees in n ≥ 5 but not in lower dimension. For the Steinberg groups, some authors write 2An(q2) (and so on) for the group that other authors denote by 2An(q). The problem is that there are two fields involved, one of order q2, and its fixed field of order q, and people have different ideas on which should be included in the notation. The "2An(q2)" convention is more logical and consistent, but the "2An(q)" convention is far more common and is closer to the convention for algebraic groups. Authors differ on whether groups such as An(q) are the groups of points with values in the simple or the simply connected algebraic group. For example, An(q) may mean either the special linear group SL(n+1, q) or the projective special linear group PSL(n+1, q). So 2A2(4) may be any one of 4 different groups, depending on the author.