Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, в частности в теории групп, фраза «группа типа Ли» обычно относится к конечным группам, тесно связанным с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы над конечным полем. Фраза «группа типа Ли» не имеет общепринятого точного определения, однако важный класс конечных простых групп типа Ли имеет чёткое определение и составляет основную часть групп в классификации конечных простых групп. Название «группы типа Ли» обусловлено тесной связью с (бесконечными) группами Ли, поскольку компактную группу Ли можно рассматривать как множество рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел. и являются стандартными источниками информации о группах типа Ли.
In mathematics, specifically in group theory, the phrase group of Lie type usually refers to finite groups that are closely related to the group of rational points of a reductive linear algebraic group with values in a finite field. The phrase group of Lie type does not have a widely accepted precise definition, but the important collection of finite simple groups of Lie type does have a precise definition, and they make up most of the groups in the classification of finite simple groups. The name "groups of Lie type" is due to the close relationship with the (infinite) Lie groups, since a compact Lie group may be viewed as the rational points of a reductive linear algebraic group over the field of real numbers. and are standard references for groups of Lie type.
Классические группы
Первоначальным подходом к этому вопросу было определение и детальное изучение так называемых классических групп над конечными и другими полями. Эти группы изучались Л. Э. Диксоном и Жаном Диодонне. Эмиль Артин исследовал порядки таких групп с целью классификации случаев совпадений. Классическая группа, грубо говоря, — это специальная линейная, ортогональная, симплектическая или унитарная группа. Существует несколько незначительных вариаций этих групп, получаемых взятием производных подгрупп или центральных факторгрупп, причем последние приводят к проективным линейным группам. Они могут быть построены над конечными полями (или любым другим полем) практически так же, как и над действительными числами. Они соответствуют рядам An, Bn, Cn, Dn, 2An, 2Dn групп Шевалле и Штайнберга.
An initial approach to this question was the definition and detailed study of the so called classical groups over finite and other fields by These groups were studied by L. E. Dickson and Jean Dieudonné. Emil Artin investigated the orders of such groups, with a view to classifying cases of coincidence. A classical group is, roughly speaking, a special linear, orthogonal, symplectic, or unitary group. There are several minor variations of these, given by taking derived subgroups or central quotients, the latter yielding projective linear groups. They can be constructed over finite fields (or any other field) in much the same way that they are constructed over the real numbers. They correspond to the series An, Bn, Cn, Dn,2An, 2Dn of Chevalley and Steinberg groups.
Группы Шевалье
Группы Шевалье можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была прояснена теорией алгебраических групп и работами по алгебрам Ли, посредством которых концепция группы Шевалье была выделена. Шевалье построил базис Шевалье (некий вид интегральной формы, но над конечными полями) для всех комплексных простых алгебр Ли (или, точнее, их универсальных огибающих алгебр), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог рассматривать их точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли An, Bn, Cn, Dn это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E6, E7, E8, F4 и G2. Группы типа G2 (иногда называемые группами Диксона) уже были построены , а группы типа E6 – .
Chevalley groups can be thought of as Lie groups over finite fields. The theory was clarified by the theory of algebraic groups, and the work of on Lie algebras, by means of which the Chevalley group concept was isolated. Chevalley constructed a Chevalley basis (a sort of integral form but over finite fields) for all the complex simple Lie algebras (or rather of their universal enveloping algebras), which can be used to define the corresponding algebraic groups over the integers. In particular, he could take their points with values in any finite field. For the Lie algebras An, Bn, Cn, Dn this gave well known classical groups, but his construction also gave groups associated to the exceptional Lie algebras E6, E7, E8, F4, and G2. The ones of type G2 (sometimes called Dickson groups) had already been constructed by , and the ones of type E6 by .
Отношения с конечными простыми группами
Конечные группы типа Ли были одними из первых групп, рассматриваемых в математике после циклических, симметричных и чередующихся групп, при этом проективные специальные линейные группы над конечными полями, PSL(2, p), были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп типа Ли началось с теоремы Камилла Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL(n, q) конечных простых групп. Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале XX века. В 1950-х годах Клод Шевалье осознал, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k, что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалье. Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы (теорема о простоте Тица). Хотя с XIX века было известно о существовании других конечных простых групп (например, групп Матье), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями построения Шевалье вместе с циклическими и чередующимися группами. Более того, исключения – спорадические группы – имеют много общих свойств с конечными группами типа Ли и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Тица. Это убеждение теперь стало теоремой – классификацией конечных простых групп. Анализ списка конечных простых групп показывает, что группы типа Ли над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, чередующихся групп, группы Тица и 26 спорадических простых групп.
Finite groups of Lie type were among the first groups to be considered in mathematics, after cyclic, symmetric and alternating groups, with the projective special linear groups over prime finite fields, PSL(2, p) being constructed by Évariste Galois in the 1830s. The systematic exploration of finite groups of Lie type started with Camille Jordan's theorem that the projective special linear group PSL(2, q) is simple for q ≠ 2, 3. This theorem generalizes to projective groups of higher dimensions and gives an important infinite family PSL(n, q) of finite simple groups. Other classical groups were studied by Leonard Dickson in the beginning of 20th century. In the 1950s Claude Chevalley realized that after an appropriate reformulation, many theorems about semisimple Lie groups admit analogues for algebraic groups over an arbitrary field k, leading to construction of what are now called Chevalley groups. Moreover, as in the case of compact simple Lie groups, the corresponding groups turned out to be almost simple as abstract groups (Tits simplicity theorem). Although it was known since 19th century that other finite simple groups exist (for example, Mathieu groups), gradually a belief formed that nearly all finite simple groups can be accounted for by appropriate extensions of Chevalley's construction, together with cyclic and alternating groups. Moreover, the exceptions, the sporadic groups, share many properties with the finite groups of Lie type, and in particular, can be constructed and characterized based on their geometry in the sense of Tits. The belief has now become a theorem – the classification of finite simple groups. Inspection of the list of finite simple groups shows that groups of Lie type over a finite field include all the finite simple groups other than the cyclic groups, the alternating groups, the Tits group, and the 26 sporadic simple groups.
Проблемы нотации
Стандартной нотации для конечных групп типа Ли не существует, и в литературе содержится множество несовместимых и запутанных систем обозначений для них. Простая группа PSL(n, q) обычно не совпадает с группой PSL(n, Fq) из Fq-значных точек алгебраической группы PSL(n). Проблема в том, что сюръективное отображение алгебраических групп, такое как SL(n) → PSL(n), не обязательно индуцирует сюръективное отображение соответствующих групп со значениями в некотором (неалгебраически замкнутом) поле. Подобные проблемы возникают с точками других алгебраических групп со значениями в конечных полях. Группы типа An−1 иногда обозначаются PSL(n, q) (проективная специальная линейная группа) или L(n, q). Группы типа Cn иногда обозначаются Sp(2n, q) (симплектическая группа) или (сбивающим с толку) Sp(n, q). Обозначение групп типа Dn ("ортогональные" группы) особенно запутанно. Используются различные символы: O(n, q), O−(n, q), PSO(n, q), Ωn(q), но существует так много соглашений, что невозможно точно сказать, каким группам они соответствуют, если это не указано явно. Источник проблемы в том, что простая группа не является ортогональной группой O, ни проективной специальной ортогональной группой PSO, а скорее подгруппой PSO, которая, следовательно, не имеет классического обозначения. Особенно коварна ситуация, когда некоторые авторы, например, в ATLAS, используют O(n, q) для группы, которая не является ортогональной группой, а соответствующей простой группой. Обозначения Ω, PΩ были введены Жаном Диодонне, хотя его определение не является простым для n ≤ 4, и поэтому одно и то же обозначение может использоваться для немного отличающейся группы, которая совпадает при n ≥ 5, но не в меньших размерностях. Для групп Штейнберга некоторые авторы пишут 2An(q2) (и так далее) для группы, которую другие авторы обозначают 2An(q). Проблема в том, что задействованы два поля: одно порядка q2 и его фиксированное поле порядка q, и у разных авторов разные представления о том, какое из них должно быть включено в обозначение. Конвенция "2An(q2)" более логична и последовательна, но конвенция "2An(q)" гораздо более распространена и ближе к конвенции для алгебраических групп. Авторы расходятся во мнениях относительно того, являются ли такие группы, как An(q), группами точек со значениями в простой или простосвязной алгебраической группе. Например, An(q) может означать либо специальную линейную группу SL(n+1, q), либо проективную специальную линейную группу PSL(n+1, q). Таким образом, 2A2(4) может быть любой из 4 различных групп, в зависимости от автора.
There is no standard notation for the finite groups of Lie type, and the literature contains dozens of incompatible and confusing systems of notation for them. The simple group PSL(n, q) is not usually the same as the group PSL(n, Fq) of Fq valued points of the algebraic group PSL(n). The problem is that a surjective map of algebraic groups such as SL(n) → PSL(n) does not necessarily induce a surjective map of the corresponding groups with values in some (non algebraically closed) field. There are similar problems with the points of other algebraic groups with values in finite fields. The groups of type An−1 are sometimes denoted by PSL(n, q) (the projective special linear group) or by L(n, q). The groups of type Cn are sometimes denoted by Sp(2n, q) (the symplectic group) or (confusingly) by Sp(n, q). The notation for groups of type Dn ("orthogonal" groups) is particularly confusing. Some symbols used are O(n, q), O−(n, q), PSO(n, q), Ωn(q), but there are so many conventions that it is not possible to say exactly what groups these correspond to without it being specified explicitly. The source of the problem is that the simple group is not the orthogonal group O, nor the projective special orthogonal group PSO, but rather a subgroup of PSO, which accordingly does not have a classical notation. A particularly nasty trap is that some authors, such as the ATLAS, use O(n, q) for a group that is not the orthogonal group, but the corresponding simple group. The notation Ω, PΩ was introduced by Jean Dieudonné, though his definition is not simple for n ≤ 4 and thus the same notation may be used for a slightly different group, which agrees in n ≥ 5 but not in lower dimension. For the Steinberg groups, some authors write 2An(q2) (and so on) for the group that other authors denote by 2An(q). The problem is that there are two fields involved, one of order q2, and its fixed field of order q, and people have different ideas on which should be included in the notation. The "2An(q2)" convention is more logical and consistent, but the "2An(q)" convention is far more common and is closer to the convention for algebraic groups. Authors differ on whether groups such as An(q) are the groups of points with values in the simple or the simply connected algebraic group. For example, An(q) may mean either the special linear group SL(n+1, q) or the projective special linear group PSL(n+1, q). So 2A2(4) may be any one of 4 different groups, depending on the author.