Кіріспе

Шексіз реттіліктердің векторлық кеңістігі

Функционалдық талдау және математиканың осымен байланысты салаларында, реттілік кеңістігі – элементтері нақты немесе кешенді сандардың шексіз реттіліктері болып табылатын векторлық кеңістік. Балама түрінде, ол – табиғи сандардан нақты немесе кешенді сандар өрісі K-ға дейінгі функциялар жиыны. Мұндай функциялардың барлық жиыны K элементтері бар барлық мүмкін шексіз тізбектер жиынымен табиғи түрде сәйкестендіріледі және функциялардың нүктелік қосылуы және нүктелік скалярлық көбейтуі операциялары арқылы векторлық кеңістікке айналуы мүмкін. Барлық реттілік кеңістіктер осы кеңістіктің сызықтық кіші кеңістіктері болып табылады. Реттік кеңістіктер әдетте нормамен немесе кемінде топологиялық векторлық кеңістіктің құрылымымен жабдықталады. Талдаудағы ең маңызды реттік кеңістіктер – p-дәрежелі қосындысы шекті тізбектерден тұратын, p-нормасы бар кеңістіктер. Бұл Lp кеңістіктерінің табиғи сандар жиынындағы санау шарасының ерекше жағдайлары. Конвергентті немесе нөлдік тізбектер сияқты тізбектердің басқа маңызды кластары да c және c0 деп белгіленетін реттік кеңістіктерді құрайды, олар sup-нормамен жабдықталады. Кез келген реттік кеңістік нүктелік жуықтасу топологиясымен жабдықталуы мүмкін, оның аясында ол FK кеңістігі деп аталатын Фреше кеңістігінің ерекше түрі болады.

c, c0 және c00

Конвергентті тізбек – кез келген осындай тізбек, он үшін лимит бар. Барлық конвергентті тізбектердің c жиыны – векторлық кеңістіктің c деп аталатын векторлық подпространствосы болып табылады. Әрбір конвергентті тізбек шектелгендіктен, c – кеңістік l∞-ның сызықтық подпространствосы болып табылады. Бұған қоса, бұл тізбек кеңістігі жоғарғы нормаға қатысты жабық подпространство болып табылады, сондықтан ол осы нормаға қатысты Банах кеңістігі болып табылады. Егер тізбек нөлге конвергенцияланса, онда ол нөлдік тізбек деп аталады және оған конвергенция жасайды. Нөлге конвергенцияланатын барлық тізбектердің жиынтығы – жабық векторлық подпространство болып табылады. Supremum нормасымен жабдықталғанда, ол c0 деп белгіленетін және немесе нөлдік тізбектер кеңістігі деп аталатын Банах кеңістігіне айналады. c00 – тек шекті түрде нөлден өзгеше элементтері бар тізбектерден тұратын кеңістік l∞-ның подпространствосы. Бұл жабық подпространство емес, сондықтан шексіздік нормасына қатысты Банах кеңістігі емес. Мысалы, тізбек, онда алғашқы n мүшесі үшін (n үшін) және қалғандары нөлге тең (яғни, ) – Коши тізбегі, бірақ ол кеңістік l∞-дағы тізбекке конвергенцияланбайды.

lp кеңістіктер саны өсіп келеді

, үшін кеңістіктер өсіп келеді, қосу операторы үздіксіз: үшін, мына теңдік орындалады. Шындығында, теңсіздік -қа қатысты біртекті, сондықтан оны дәлелдеу үшін тек қана қарастыру жеткілікті. Бұл жағдайда, біз тек қана көрсетуіміз керек, бірақ егер болса, онда барлық үшін , демек .