Введение
Векторное пространство бесконечных последовательностей
В функциональном анализе и смежных областях математики, пространство последовательностей — это векторное пространство, элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, это пространство функций, элементами которого являются функции из множества натуральных чисел в поле K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство посредством операций поточечного сложения функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжаются нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства. Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются пространства, состоящие из последовательностей, суммируемых в p-й степени, с p-нормой. Это частные случаи пространств Lp для счетной меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, обозначаемые соответственно c и c₀, с супремум-нормой. Любое пространство последовательностей также может быть снабжено топологией поточечной сходимости, при которой оно становится особым типом пространства Фреше, называемым пространством FK.
c, c0 и c00
Сходящаяся последовательность — это любая последовательность, для которой существует предел. Множество c всех сходящихся последовательностей является векторным подпространством пространства l∞, называемым c. Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена, c является линейным подпространством l∞. Более того, это пространство последовательностей является замкнутым подпространством l∞ относительно нормы-супремум, и, следовательно, является пространством Банаха относительно этой нормы. Последовательность, сходящаяся к 0, называется нулевой последовательностью и считается сходящейся к нулю. Множество всех последовательностей, сходящихся к 0, является замкнутым векторным подпространством l∞, которое при оснащении нормой-супремум становится пространством Банаха, обозначаемым c0, и называется пространством c0 или пространством нулевых последовательностей.
Пространство c00 — это подпространство l∞, состоящее из всех последовательностей, имеющих лишь конечное число ненулевых элементов. Это не замкнутое подпространство и, следовательно, не является пространством Банаха относительно нормы-супремум. Например, последовательность, где равны 1 для первых n элементов (для n > 0) и равна 0 везде в противном случае (то есть, для k ≠ 1, 2, ..., n), является последовательностью Коши, но она не сходится к последовательности в c.
Пространства увеличиваются в p
Для , пространства возрастают в , при этом оператор включения непрерывен: для , справедливо неравенство. Действительно, это неравенство однородно относительно , поэтому достаточно доказать его при условии, что . В этом случае нам нужно лишь показать, что для . Но если , то для всех , и тогда .