Кіріспе
Математикада, әсіресе гомотопия теориясында, карталау конусы – топологияның құрылысы, ол бөлу кеңістігіне (quotient space) ұқсас. Ол гомотопиялық кофибр деп те аталады. Оның дуалы, фибрация, карталау талшығы деп аталады. Карталау конусын цилиндрдің бастапқы шеті бір нүктеге дейін сығылған карталау цилиндрі ретінде қарастыруға болады. Сондықтан, карталау конустары нүктеленген кеңістіктердің гомотопиялық теориясында жиі қолданылады.
Дөңгелектің үлгісі
Егер шеңбер болса, карталау конусын Y пен дисктың ажыратылған қосылысының үлестік кеңістігі ретінде қарастыруға болады, мұнда шеңберінің шекарасындағы әрбір x нүктесі Y нүктесімен сәйкестендіріледі. Мысалы, егер Y диск болса, ал шеңберді оның шекарасы ретінде стандартты енгізу болса, онда карталау конусы олардың шекаралары бойынша біріктірілген екі дискке гомеоморфты болады, яғни топологиялық тұрғыдан сфераға тең.
Екілік құрылым: карталау талшығы
Карталау конусына қос – карталау талшығы. Бұрыштама картаны ескере отырып, карталау талшығын былай анықтайды: Мұнда I – бірлік аралығы және кеңістіктегі үздіксіз жол (экспоненциалдық объект). Карталау талшығы кейде ; деп белгіленеді, бірақ бұл карталау цилиндрінің сол белгісімен қайшы келеді. Бұл карталау конусына екілік, себебі жоғарыда көрсетілген көбейтінді – карталау конусын құру үшін қолданылатын түрткіге екілік болатын талшықты көбейтінді немесе кері тартылу. Бұл жағдайда, екілік негізінен каррилеуге ұқсас, карталау конусы карриленген формаға ие, мұнда – бірлік аралығынан кеңістікке барлық үздіксіз карталардың кеңістігі үшін тағы бір белгілеу. Екі нұсқа да серіктес функтор арқылы байланысты. Карталардың қысқартылған сипатын сақтауын байқаңыз: бір жағдайда конусқа дейінгі жол, ал екінші жағдайда – негізгі нүктеге дейінгі жолдар.
Here, I is the unit interval and is a continuous path in the space (the exponential object) The mapping fiber is sometimes denoted as ; however this conflicts with the same notation for the mapping cylinder. It is dual to the mapping cone in the sense that the product above is essentially the fibered product or pullback which is dual to the pushout used to construct the mapping cone. In this particular case, the duality is essentially that of currying, in that the mapping cone has the curried form where is simply an alternate notation for the space of all continuous maps from the unit interval to The two variants are related by an adjoint functor. Observe that the currying preserves the reduced nature of the maps: in the one case, to the tip of the cone, and in the other case, paths to the basepoint.
КҚ-комплекстер
Ұяшық тіркеу.
Негізгі топқа әсер ету
X кеңістігі және X негізгі тобының элементін көрсететін бұранданы (loop) ескере отырып, карталау конусын (mapping cone) құруға болады. Бұл бұранданы , және осылайша негізгі тобындағы бұранданың эквиваленттік класы (equivalence class) тек сәйкестік элементіне (identity element) тең болады. Генераторлар мен қатынастар арқылы берілген топтық презентациядан, сол негізгі топқа ие 2-комлекс (2 complex) алынады.