Конус отображения в топологии: определение, свойства и применение в гомотопической теории. Аналог частного пространства, двойственность с волокном отображения.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, особенно в теории гомотопии, конус отображения — это топологическая конструкция, аналогичная факторпространству. Он также называется гомотопическим кофибром и обозначается как. Его двойственное понятие, фибрация, называется волокном отображения. Конус отображения можно представить как цилиндр отображения, у которого начальная оконечность цилиндра схлопнута в точку. Таким образом, конусы отображений часто используются в теории гомотопии указанных пространств.
In mathematics, especially homotopy theory, the mapping cone is a construction of topology, analogous to a quotient space. It is also called the homotopy cofiber, and also notated Its dual, a fibration, is called the mapping fibre. The mapping cone can be understood to be a mapping cylinder with the initial end of the cylinder collapsed to a point. Thus, mapping cones are frequently applied in the homotopy theory of pointed spaces.
Пример круга
Если – это круг, то отображающий конус можно рассматривать как факторпространство непересекающегося объединения Y с диском , образованного отождествлением каждой точки x на границе с точкой в Y. Рассмотрим, например, случай, когда Y – это диск, а – стандартное включение окружности в качестве границы . Тогда отображающий конус гомеоморфен двум дискам, соединенным по их границе, которая топологически является сферой .
If is the circle , the mapping cone can be considered as the quotient space of the disjoint union of Y with the disk formed by identifying each point x on the boundary of to the point in Y. Consider, for example, the case where Y is the disk , and is the standard inclusion of the circle as the boundary of Then the mapping cone is homeomorphic to two disks joined on their boundary, which is topologically the sphere .
Двойная конструкция: картографическое волокно
Двойственным к конусу отображения является волокно отображения. Для заданной указанной карты определяется волокно отображения как
The dual to the mapping cone is the mapping fibre Given the pointed map one defines the mapping fiber as
Здесь I – единичный интервал, а – непрерывный путь в пространстве (экспоненциальный объект). Волокно отображения иногда обозначается как , однако это совпадает с обозначением цилиндра отображения. Оно двойственно конусу отображения в том смысле, что указанное произведение по существу является волокнистым произведением или оттягиванием , которое двойственно расширению, используемому для построения конуса отображения. В этом конкретном случае дуальность по существу является каррированием: конус отображения имеет каррированную форму , где – просто альтернативное обозначение для пространства всех непрерывных отображений из единичного интервала в . Эти два варианта связаны сопряжённым функтором. Отметим, что каррирование сохраняет редуцированную природу отображений: в одном случае – к вершине конуса, а в другом – к базовой точке.
Here, I is the unit interval and is a continuous path in the space (the exponential object) The mapping fiber is sometimes denoted as ; however this conflicts with the same notation for the mapping cylinder. It is dual to the mapping cone in the sense that the product above is essentially the fibered product or pullback which is dual to the pushout used to construct the mapping cone. In this particular case, the duality is essentially that of currying, in that the mapping cone has the curried form where is simply an alternate notation for the space of all continuous maps from the unit interval to The two variants are related by an adjoint functor. Observe that the currying preserves the reduced nature of the maps: in the one case, to the tip of the cone, and in the other case, paths to the basepoint.
Комплексы CW
Прикрепляю ячейку.
Attaching a cell.
Влияние на основную группу
При заданном пространстве X и петле, представляющей элемент фундаментальной группы X, можно построить конус отображения. Это делает петлю стягиваемой в этом конусе, и, следовательно, класс эквивалентности петли в фундаментальной группе конуса будет просто тождественным элементом. При заданном определении группы генераторами и соотношениями, получается 2-мерный комплекс с этой фундаментальной группой.
Given a space X and a loop representing an element of the fundamental group of X, we can form the mapping cone The effect of this is to make the loop contractible in , and therefore the equivalence class of in the fundamental group of will be simply the identity element. Given a group presentation by generators and relations, one gets a 2 complex with that fundamental group.