Жергілікті диффеоморфизм: Математикалық анықтама және қасиеттері
Local diffeomorphism
Жақын диффеоморфизм – гладкий манифольдтар арасындағы жергілікті дифференциалдық құрылымды сақтайтын математикалық түрлендіру. Теоремалар мен қасиеттері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе дифференциалдық топологияда, жергілікті диффеоморфизм – тегіс көптүрліліктер арасындағы, жергілікті дифференциалдау құрылымын сақтайтын бейнелеу. Жергілікті диффеоморфизмнің нақты анықтамасы төменде келтірілген.
In mathematics, more specifically differential topology, a local diffeomorphism is intuitively a map between Smooth manifolds that preserves the local differentiable structure. The formal definition of a local diffeomorphism is given below.
Қасиеттері
Карта жергілікті диффеоморфизм болып табылады, егер және тек қана егер ол тегіс суға бату (тегіс жергілікті ендіру) және ашық карта болса. Кері функция теоремасы бойынша, тегіс карта жергілікті диффеоморфизм болады, егер және тек қана егер оның туындысы барлық нүктелерде сызықтық изоморфизм болса. Бұл оның бастапқы және соңғы өлшемдерінің тең болуын білдіреді. Екі байланысқан, тең өлшемді көптүрлілік арасындағы карта жергілікті диффеоморфизм болады, егер және тек қана егер ол тегіс суға бату (тегіс жергілікті ендіру) болса, немесе балама ретінде, егер және тек қана егер ол тегіс суға бату болса. Бұған себебі, әрбір тегіс суға бату жергілікті инъективті функция болып табылады, ал доменнің инварианттылығы тең өлшемді көптүрліліктер арасындағы кез келген үздіксіз инъективті функцияның міндетті түрде ашық карта екенін кепілдік береді.
A map is a local diffeomorphism if and only if it is a smooth immersion (smooth local embedding) and an open map. The inverse function theorem implies that a smooth map is a local diffeomorphism if and only if the derivative is a linear isomorphism for all points This implies that and must have the same dimension. A map between two connected manifolds of equal dimension is a local diffeomorphism if and only if it is a smooth immersion (smooth local embedding), or equivalently, if and only if it is a smooth submersion. This is because every smooth immersion is a locally injective function while invariance of domain guarantees that any continuous injective function between manifolds of equal dimensions is necessarily an open map.
Талқылау
Мысалы, барлық көптіктер топологиялық тұрғыдан жергілікті жағынан бірдей көрінсе де (кейбір үшін ), олардың дифференциалданатын құрылымдары жергілікті түрде бірдей қалыпта бола ма деген сұрақ туындайды. Мысалы, дифференциалдық көптікке айналдыратын екі түрлі дифференциалданатын құрылымды қолдануға болады, бірақ бұл екі құрылым да жергілікті диффеоморфты емес (төменде қараңыз). Жергілікті диффеоморфизмдер дифференциалданатын құрылымды жергілікті түрде сақтаса да, доменнің бүкіл (тегіс) көптік екенін қамтамасыз ету үшін осы (жергілікті) диффеоморфизмдерді "біріктіруге" мүмкіндік болуы керек. Мысалы, 2 сферадан Евклидтік 2 кеңістігіне глобалды диффеоморфизм болуы мүмкін емес, дегенмен олардың жергілікті дифференциалданатын құрылымдары бірдей. Бұл себебі барлық жергілікті диффеоморфизмдер үздіксіз, тығыз кеңістіктің үздіксіз бейнесі тығыз болады, сфера тығыз, ал Евклидтік 2 кеңістігі тығыз емес.
For instance, even though all manifolds look locally the same (as for some ) in the topological sense, it is natural to ask whether their differentiable structures behave in the same manner locally. For example, one can impose two different differentiable structures on that make into a differentiable manifold, but both structures are not locally diffeomorphic (see below). Although local diffeomorphisms preserve differentiable structure locally, one must be able to "patch up" these (local) diffeomorphisms to ensure that the domain is the entire (smooth) manifold. For example, there can be no global diffeomorphism from the 2 sphere to Euclidean 2 space although they do indeed have the same local differentiable structure. This is because all local diffeomorphisms are continuous, the continuous image of a compact space is compact, the sphere is compact whereas Euclidean 2 space is not.
Мысалдар
Дифеоморфизм — биективті жергілікті дифеоморфизм. Тегіс жапқыш карта — нысанадағы әрбір нүктенің картамен тегіс жабылған аймағы болатын жергілікті дифеоморфизм.
A diffeomorphism is a bijective local diffeomorphism. A smooth covering map is a local diffeomorphism such that every point in the target has a neighborhood that is evenly covered by the map.