Введение
В математике, и в частности в дифференциальной топологии, локальный диффеоморфизм интуитивно представляет собой отображение между гладкими многообразиями, сохраняющее локальную дифференцируемую структуру. Формальное определение локального диффеоморфизма дано ниже.
Характеристики
Карта является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда она является гладким погружением (гладким локальным вложением) и открытым отображением. Теорема об обратной функции подразумевает, что гладкое отображение является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда его производная является линейным изоморфизмом во всех точках. Это подразумевает, что и должны иметь одинаковую размерность. Отображение между двумя связными многообразиями одинаковой размерности является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно является гладким погружением (гладким локальным вложением), или, эквивалентно, тогда и только тогда, когда оно является гладким сюръективным погружением. Это связано с тем, что каждое гладкое погружение является локально инъективным отображением, а инвариантность области гарантирует, что любое непрерывное инъективное отображение между многообразиями равной размерности обязательно является открытым отображением.
Обсуждение
Например, даже если все многообразия выглядят локально одинаково (как для некоторых ) в топологическом смысле, естественно спросить, ведут ли их дифференцируемые структуры себя одинаково локально. Например, на можно наложить две различные дифференцируемые структуры, превращающие его в дифференцируемое многообразие, но обе эти структуры не являются локально диффеоморфными (см. ниже). Хотя локальные диффеоморфизмы сохраняют дифференцируемую структуру локально, необходимо иметь возможность "склеить" эти (локальные) диффеоморфизмы, чтобы обеспечить, чтобы область определения была всем (гладким) многообразием. Например, не существует глобального диффеоморфизма между 2-сферой и двумерным евклидовым пространством, хотя они и обладают одинаковой локальной дифференцируемой структурой. Это происходит потому, что все локальные диффеоморфизмы непрерывны, непрерывное отображение компактного пространства является компактным, сфера компактна, а двумерное евклидово пространство – нет.
Примеры
Диффеоморфизм — это биективный локальный диффеоморфизм. Плавное отображение покрытия — это локальный диффеоморфизм, такой что для каждой точки в области значений существует окрестность, равномерно покрываемая этим отображением.