Кіріспе

Топологиялық векторлық кеңістіктің түрі. Функционалдық талдау және математиканың осымен байланысты салаларында, баррельді кеңістік (сонымен қатар баррельді кеңістік деп жазылады) – бұл топологиялық векторлық кеңістік (ТВК), онда кеңістіктегі әрбір баррельді жиын нөлдік вектордың маңы болып табылады. Баррельді жиын немесе топологиялық векторлық кеңістіктегі баррель – бұл дөңес, теңгерілген, сіңіретін және жабық жиын. Баррельді кеңістіктер зерттеледі, себебі Банах-Штейнхаус теоремасының бір түрі олар үшін де сақталады. Баррельді кеңістіктер енгізілген…

Бәрәлі

Нақты немесе күрделі векторлық кеңістіктің дөңес және теңгерімді ішкі жиыны диск деп аталады және ол дисктелген, толық дөңес немесе дөңес теңгерімді деп аталады. Топологиялық векторлық кеңістікте (ТВК) A немесе a – жабық сіңіретін диск болатын ішкі жиынтық; яғни, баррель – дөңес, теңгерімді, жабық және сіңіретін ішкі жиынтық. Кез келген баррельде бастапқы нүкте болуы керек. Егер және егер кез келген ішкі жиын болса, онда ол дөңес, теңгерімді және сіңіретін жиын болады, егер және тек қана егер бұл барлық өлшемдер үшін шын болса. Егер онда баррельдің жабық ішкі жиын болуы талабы ғана бастапқы нүктенің төмен өлшемді векторлық ішкі кеңістіктеріне байланысты емес.

Егер кез келген ТВК болса, онда бастапқы нүктенің әрбір жабық дөңес және теңгерімді маңы міндетті түрде баррель болады (өйткені бастапқы нүктенің әрбір маңы міндетті түрде сіңіретін ішкі жиын). Шындығында, әрбір жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктің бастапқы нүктесінде толығымен баррельдерден тұратын маңай негізі болады. Алайда, жалпы жағдайда, бастапқы нүктенің маңы емес баррельдер болуы мүмкін; "баррельдік кеңістіктер" – бұл әрбір баррель міндетті түрде бастапқы нүктенің маңы болып табылатын дәл сол ТВК. Кез келген шекті өлшемді топологиялық векторлық кеңістік – баррельдік кеңістік, сондықтан бастапқы нүктенің маңы емес баррельдердің мысалдары тек шексіз өлшемді кеңістіктерде ғана кездеседі.

Баррельдер мен баррель еместердің мысалдары

Кез келген дөңес, теңгерілген және сіңіретін кіші жиынның жабылуы – баррель. Себебі кез келген дөңес (сәйкесінше, кез келген теңгерілген, кез келген сіңіретін) кіші жиынның жабылуы осы қасиетке ие. Мысалдар тобы: Егер (кешенді векторлық кеңістік ретінде қарастырылса) немесе (нақты векторлық кеңістік ретінде қарастырылса) тең болса. Нақты немесе кешенді векторлық кеңістік болсын, баррель әрқашан нөлдің маңындағы аймақ болады (осылайша, бұл баррельдік кеңістіктің мысалы). Кез келген функцияны және әрбір бұрыш үшін нөлден бастап нүктеге дейінгі жабық сызық сегментін белгілейік. Содан кейін ол әрқашан (нақты векторлық кеңістік) сіңіретін кіші жиын болады, бірақ (кешенді векторлық кеңістік) сіңіретін кіші жиын болады, егер және тек қана нөлдің маңындағы аймақ болса. Сонымен қатар, егер және тек қана барлық үшін тең болса, кіші жиын теңгерілген болады (егер осы жағдайда және -тің мәндерімен толық анықталады), бірақ кіші жиын ашық немесе жабық шар болса ғана (нөл орталығында, радиусымен) теңгерілген болады. Атап айтқанда, баррельдер – нөл орталығындағы және радиусымен берілген жабық шарлар. Егер онда сіңіретін, бірақ сіңірмейтін, дөңес емес, теңгерілген емес және нөлдің маңындағы аймақ емес жабық кіші жиын болады. Функцияны тиісті түрде таңдау арқылы кіші жиын теңгерілген және сіңіретін, бірақ жабық та, дөңес те емес болуы мүмкін. Кіші жиын теңгерілген, сіңіретін және жабық болсын, бірақ дөңес емес және нөлдің маңындағы аймақ емес, оны келесідей анықтаңыз: үшін (немесе, басқаша айтқанда, бұл үздіксіз дифференциалданатын кез келген оң функция болуы мүмкін, бұл кепілдік береді және жабық екенін қамтамасыз етеді, сондай-ақ нөлдің маңындағы аймақ болуын болдырмайды) және содан кейін анықтап, кеңейтіңіз, бұл теңгерілгендікті қамтамасыз етеді.

Қарсы үлгілер

Барелдік кеңістік Монтельдік, толық, метрикалық, реттелмеген, Байр сияқты немесе Банах кеңістіктерінің индуктивтік лимиті болуы міндетті емес. Барлық нормаланған кеңістіктер барелдік емес. Дегенмен, олардың барлығы инфрабарелдік. Барелдік кеңістіктің жабық ішкі кеңістігі міндетті түрде санаулы квазибарелдік (және, демек, міндетті түрде барелдік емес) болуы керек емес. Фрешет барелдік кеңістігінде барелдік емес тығыз векторлық ішкі кеңістік бар. Толық жергілікті дөңес ТВСТ-ң барелдік емес мысалдары бар. Шексіз өлшемді векторлық кеңістіктегі ең жұқа жергілікті дөңес топология – бұл Хаусдорф барелдік кеңістігі, ол өзінің аз мөлшерлі жиыны болып табылады (және, демек, Бейр кеңістігі емес).

Басқа қасиеттері

Әрбір Хаусдорф бөшкелі кеңістігі жартылай бөшкелі. Бөшкелі кеңістіктен жергілікті дөңес кеңістікке сызықтық бейнелеу дерлік үздіксіз. Жергілікті дөңес кеңістіктен бөшкелі кеңістікке сызықтық бейнелеу дерлік ашық. Бөшкелі кеңістіктердің көбейтіндісінен жергілікті дөңес кеңістікке дерлік үздіксіз болатын жеке-жеке үздіксіз билинейрлік бейнелеу гипоүздіксіз. Жабық графигі бар бөшкелі ТВС-тен толық ТВС-ке сызықтық бейнелеу міндетті түрде үздіксіз болады.