Введение

Тип топологического векторного пространства
В функциональном анализе и смежных областях математики, бочковое пространство (также называемое бочковым пространством) — это топологическое векторное пространство (TVS), для которого любое бочковое множество в пространстве является окрестностью нулевого вектора. Бочковое множество, или бочка, в топологическом векторном пространстве — это множество, которое является выпуклым, сбалансированным, абсорбирующим и замкнутым. Бочковые пространства изучаются, поскольку для них справедлива одна из форм теоремы Банаха — Штейнхауса. Бочковые пространства были введены [имя/имена].

Бочки

Выпуклое и сбалансированное подмножество вещественного или комплексного векторного пространства называется диском и именуется дисковым, абсолютно выпуклым или выпукло-сбалансированным. Бочка в топологическом векторном пространстве (TVS) – это подмножество, являющееся замкнутым поглощающим диском; то есть, бочка – это выпуклое, сбалансированное, замкнутое и поглощающее подмножество. Каждая бочка должна содержать начало координат. Если и если – любое подмножество , то является выпуклым, сбалансированным и поглощающим множеством в тогда и только тогда, когда это верно для в каждом конечномерном векторном подпространстве . Таким образом, если , то требование, чтобы бочка была замкнутым подмножеством , является единственным определяющим свойством, которое не зависит исключительно от (или более низкоразмерных) векторных подпространств .

Если – любое TVS, то каждое замкнутое выпуклое и сбалансированное окрестность начала координат обязательно является бочкой в (поскольку каждая окрестность начала координат обязательно является поглощающим подмножеством). Фактически, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет систему окрестностей в начале координат, состоящую целиком из бочек. Однако, в общем случае, могут существовать бочки, которые не являются окрестностями начала координат; "пространства с бочками" – это именно те TVS, в которых каждая бочка обязательно является окрестностью начала координат. Каждое конечномерное топологическое векторное пространство является пространством с бочками, поэтому примеры бочек, которые не являются окрестностями начала координат, можно найти только в бесконечномерных пространствах.

Примеры бочек и не бочек

Закрытие любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества является бочкой. Это происходит потому, что замыкание любого выпуклого (соответственно, любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества обладает тем же свойством. Рассмотрим примеры: пусть равно (если рассматривать как комплексное векторное пространство) или равно (если рассматривать как вещественное векторное пространство). Независимо от того, является ли вещественным или комплексным векторным пространством, любая бочка в является окрестностью начала координат (следовательно, является примером баррельного пространства). Пусть — произвольная функция, и для каждого угла обозначим замкнутым отрезком прямой от начала координат до точки . Тогда всегда является поглощающим подмножеством (вещественного векторного пространства), но является поглощающим подмножеством (комплексного векторного пространства) тогда и только тогда, когда это окрестность начала координат. Более того, является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда для всех (в этом случае и полностью определяются значениями на ), но является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда это открытый или замкнутый шар с центром в начале координат (радиуса ). В частности, бочки в — это ровно замкнутые шары с центром в начале координат и радиусом в . Если , то является замкнутым подмножеством, которое поглощает в , но не поглощает в и не является ни выпуклым, ни сбалансированным, ни окрестностью начала координат в . При подходящем выборе функции также можно получить сбалансированное и поглощающее подмножество , которое не является ни замкнутым, ни выпуклым. Чтобы было сбалансированным, поглощающим и замкнутым подмножеством , которое не является ни выпуклым, ни окрестностью начала координат, определим на следующим образом: для пусть (в качестве альтернативы, это может быть любая положительная функция на , которая непрерывно дифференцируема, что гарантирует, что и что замкнуто, а также удовлетворяет , что не позволяет быть окрестностью начала координат), а затем расширим на , определив , что гарантирует, что сбалансировано в .

Противопоказания

Барельное пространство не обязано быть пространством Монтеля, полным, метризуемым, не упорядоченным по Байру и не обязано являться индуктивным пределом пространств Банаха. Не все нормированные пространства являются барельными. Однако все они инфрабарельные. Замкнутое подпространство барельного пространства не обязательно является счетно квазибарельным (и, следовательно, не обязательно барельным). Существует плотное векторное подпространство пространства Фреше, являющегося барельным, которое не является барельным. Существуют полные локально выпуклые пространства, которые не являются барельными. Наитончайшая локально выпуклая топология на бесконечномерном векторном пространстве является хаусдорфовым барельным пространством, которое является скудным подмножеством самого себя (и, следовательно, не пространством Байра).

Другие свойства

Каждое хаусдорфово бочкообразное пространство является квази-бочкообразным. Линейное отображение из бочкообразного пространства в локально выпуклое пространство почти непрерывно. Линейное отображение из локально выпуклого пространства на бочкообразное пространство почти открыто. Раздельно непрерывное билинейное отображение из произведения бочкообразных пространств в локально выпуклое пространство является гипонепрерывным. Линейное отображение с замкнутым графиком из бочкообразного ТВС в полное ТВС обязательно непрерывно.