Кіріспе
Нақты квадрат матрицалар, бағаналары мен қатарлары ортогональ бірлік векторлары болып табылады, және күрделі сандар өрісінде ортогоналдылықпен сипатталатын матрицалар. Сызықтық алгебрада ортогональды матрица немесе ортонормальды матрица – бағаналары мен қатарлары ортонормальды векторлар болып табылатын нақты квадрат матрица. Бұл жайлы былай жазуға болады:
matrices with orthogonality over the complex number field
In linear algebra, an orthogonal matrix, or orthonormal matrix, is a real square matrix whose columns and rows are orthonormal vectors. One way to express this is
where Q^(T) is the transpose of Q and I is the identity matrix. This leads to the equivalent characterization: a matrix Q is orthogonal if its transpose is equal to its inverse:
where Q^(−1) is the inverse of Q. An orthogonal matrix Q is necessarily invertible (with inverse 1=Q^(−1) = Q^(T)), unitary (1=Q^(−1) = Q^(∗)), where 1=Q^(∗) is the Hermitian adjoint (conjugate transpose) of Q, and therefore normal (1=Q^(∗)Q = QQ^(∗)) over the real numbers. The determinant of any orthogonal matrix is either +1 or −1. As a linear transformation, an orthogonal matrix preserves the inner product of vectors, and therefore acts as an isometry of Euclidean space, such as a rotation, reflection or rotoreflection. In other words, it is a unitary transformation. The set of n × n orthogonal matrices, under multiplication, forms the group O(n), known as the orthogonal group. The subgroup SO(n) consisting of orthogonal matrices with determinant +1 is called the special orthogonal group, and each of its elements is a special orthogonal matrix. As a linear transformation, every special orthogonal matrix acts as a rotation.
мұнда Q^(T) – Q матрицасының транспозы, ал I – бірлік матрица. Бұл төмендегідей эквивалентті сипаттамаға әкеледі: Q матрицасы ортогональды болып табылады, егер оның транспозы кері матрицасына тең болса:
matrices with orthogonality over the complex number field
In linear algebra, an orthogonal matrix, or orthonormal matrix, is a real square matrix whose columns and rows are orthonormal vectors. One way to express this is
where Q^(T) is the transpose of Q and I is the identity matrix. This leads to the equivalent characterization: a matrix Q is orthogonal if its transpose is equal to its inverse:
where Q^(−1) is the inverse of Q. An orthogonal matrix Q is necessarily invertible (with inverse 1=Q^(−1) = Q^(T)), unitary (1=Q^(−1) = Q^(∗)), where 1=Q^(∗) is the Hermitian adjoint (conjugate transpose) of Q, and therefore normal (1=Q^(∗)Q = QQ^(∗)) over the real numbers. The determinant of any orthogonal matrix is either +1 or −1. As a linear transformation, an orthogonal matrix preserves the inner product of vectors, and therefore acts as an isometry of Euclidean space, such as a rotation, reflection or rotoreflection. In other words, it is a unitary transformation. The set of n × n orthogonal matrices, under multiplication, forms the group O(n), known as the orthogonal group. The subgroup SO(n) consisting of orthogonal matrices with determinant +1 is called the special orthogonal group, and each of its elements is a special orthogonal matrix. As a linear transformation, every special orthogonal matrix acts as a rotation.
мұнда Q^(−1) – Q матрицасының кері матрицасы. Ортогональды Q матрицасы міндетті түрде инверттендіріледі (керісі 1=Q^(−1) = Q^(T)), унитарлық (1=Q^(−1) = Q^(∗)), мұнда 1=Q^(∗) – Q матрицасының гермиттік түйіндесі (конъюгатты транспозы), демек, нақты сандар бойынша нормальды (1=Q^(∗)Q = QQ^(∗)). Кез келген ортогональды матрицаның детерминанты +1 немесе -1 болады. Сызықтық түрлендіру ретінде ортогональды матрица векторлардың ішкі көбейтіндісін сақтайды, сондықтан ол Эвклид кеңістігінің изометриясы болып табылады, мысалы, айналу, шағылысу немесе роторефлексия. Басқаша айтқанда, бұл унитарлық түрлендіру. n × n ортогональды матрицалар жиыны көбейту арқылы O(n) тобын құрайды, ол ортогональды топ деп аталады. SO(n) кіші тобы, детерминанты +1 ортогональды матрицалардан тұрады, арнайы ортогональды топ деп аталады, ал оның әрбір элементі арнайы ортогональды матрица болып табылады. Сызықтық түрлендіру ретінде әр арнайы ортогональды матрица айналу ретінде әрекет етеді.
matrices with orthogonality over the complex number field
In linear algebra, an orthogonal matrix, or orthonormal matrix, is a real square matrix whose columns and rows are orthonormal vectors. One way to express this is
where Q^(T) is the transpose of Q and I is the identity matrix. This leads to the equivalent characterization: a matrix Q is orthogonal if its transpose is equal to its inverse:
where Q^(−1) is the inverse of Q. An orthogonal matrix Q is necessarily invertible (with inverse 1=Q^(−1) = Q^(T)), unitary (1=Q^(−1) = Q^(∗)), where 1=Q^(∗) is the Hermitian adjoint (conjugate transpose) of Q, and therefore normal (1=Q^(∗)Q = QQ^(∗)) over the real numbers. The determinant of any orthogonal matrix is either +1 or −1. As a linear transformation, an orthogonal matrix preserves the inner product of vectors, and therefore acts as an isometry of Euclidean space, such as a rotation, reflection or rotoreflection. In other words, it is a unitary transformation. The set of n × n orthogonal matrices, under multiplication, forms the group O(n), known as the orthogonal group. The subgroup SO(n) consisting of orthogonal matrices with determinant +1 is called the special orthogonal group, and each of its elements is a special orthogonal matrix. As a linear transformation, every special orthogonal matrix acts as a rotation.
Шолу
Ортогональды матрица — унитарлық матрицаның нақты жағдайы, сондықтан ол әрқашан нормальды матрица болып табылады. Біз тек нақты матрицаларды қарастырғанымен, бұл анықтаманы кез келген өрістегі элементтері бар матрицалар үшін де қолдануға болады. Дегенмен, ортогональды матрицалар нүктелік көбейтінділерден табиғи түрде туындайды, ал кешенді сандар матрицалары үшін бұл унитарлық талапқа алып келеді. Ортогональды матрицалар нүктелік көбейтіндіні сақтайды, яғни n өлшемді нақты Эвклид кеңістігіндегі 'u' және 'v' векторлары үшін:
мұнда Q — ортогональды матрица. Ішкі көбейтінді байланысын түсіну үшін n өлшемді нақты Эвклид кеңістігіндегі 'v' векторын қарастырайық. Ортонормальды базис бойынша жазылғанда, 'v' векторының ұзындығының квадраты 'vᵀv' болады. Егер матрицалық түрдегі сызықтық түрлендіру Q'v' вектордың ұзындығын сақтаса, онда:
Осылайша, шекті өлшемді сызықтық изометриялар — айналулар, көшулер және олардың комбинациялары — ортогональды матрицаларды жасайды. Керісінше де рас: ортогональды матрицалар ортогональды түрлендірулерді білдіреді. Алайда, сызықтық алгебра кеңістіктер арасындағы ортогональды түрлендірулерді де қамтиды, олар шекті өлшемді немесе бірдей өлшемді болмауы мүмкін, және олардың ортогональды матрицаға эквиваленті жоқ. Ортогональды матрицалар теориялық және практикалық тұрғыдан маңызды. n × n ортогональды матрицалар матрица көбейту бойынша топты құрайды, бұл топ O(n) деп белгіленеді және математика мен физика ғылымдарында, соның ішінде кіші топтарымен кеңінен қолданылады. Мысалы, молекуланың нүктелік тобы O(3) кіші тобы болып табылады. Ортогональды матрицалардың қозғалатын нүктелік нұсқалары артықшылықты қасиеттерге ие болғандықтан, олар сандық сызықтық алгебраның көптеген алгоритмдерінің кілті болып табылады, мысалы QR жіктелуі. Тағы бір мысал ретінде, тиісті нормалаумен дискретті косинус түрлендіруі (MP3 сығылымында қолданылады) ортогональды матрицамен бейнеленеді.
Жоғары өлшемдер
Өлшеміне қарамастан, ортогональды матрицаларды таза айналу матрицасы ретінде немесе айналу емес ретінде жіктеуге әрқашан болады, бірақ 3 × 3 матрицалар мен одан үлкен матрицалар үшін айналу емес матрицалар, қарапайым көріністерден де күрделі болуы мүмкін. Мысалы,
түп нүктесі арқылы инверсияны және z осінің айналу-инверсиясын көрсетеді. Айналулар жоғары өлшемдерде күрделірек болады; оларды енді бір ғана бұрышпен толық сипаттау мүмкін емес, және олар бірнеше жазықтық кеңістіктеріне әсер етуі мүмкін. 3 × 3 айналу матрицасын ось және бұрыш арқылы сипаттау жиі қолданылады, бірақ бұл тек үш өлшемде ғана қолданылады. Үш өлшемнен жоғары, әрқайсысы айналу жазықтығымен байланысты екі немесе одан да көп бұрыштар қажет. Дегенмен, пермутациялар, көріністер және айналулар үшін жалпы жағдайда қолданылатын негізгі құрылымдық элементтеріміз бар.
Матрицалық қасиеттер
Нақты квадраттық матрица ортогоналды болады, егер және тек қана оның бағандары 'R'^(n) Евклид кеңістігінің ортонормальды негізін құраса, стандартты Евклидтік скалярлық көбейтіндімен, және бұл жағдай тек қана оның қатарлары 'R'^(n) кеңістігінің ортонормальды негізін құрғанда ғана орындалады. Ортогональды (бірақ ортонормальды емес) бағандары бар матрицаны ортогоналды матрица деп атауға болар еді, бірақ мұндай матрицалар ешқандай ерекше қызығушылық тудырмайды және арнайы атауы жоқ; олар тек 1=M^(T)M = D шартын қанағаттандырады, мұнда D – диагональдық матрица. Кез келген ортогоналды матрицаның детерминанты +1 немесе -1 болады. Бұл детерминанттар туралы негізгі фактілерден келіп шығады, яғни:
Керісінше дұрыс емес; ±1 детерминанты бар матрица, тіпті ортогональды бағандары болған жағдайда да, ортогональды екендігіне кепілдік бермейді, бұл келесі контрпримермен көрсетіледі. Пермутациялық матрицалар үшін детерминант қолтаңбаға сәйкес келеді, яғни пермутацияның жұптығы немесе тақтығына байланысты +1 немесе −1 болады, себебі детерминант – қатарлардың кезектесетін функциясы. Детерминантты шектеуден гөрі күштірек факт – ортогоналды матрицаны комплекс сандар арқылы диагональдық түрге келтіруге болады, осылайша өзіндік мәндердің толық жиынтығын көрсетуге болады, олардың барлығының (комплекс) модулі 1-ге тең болуы керек.
Топтық қасиеттер
Әрбір ортогональ матрицаның керісі, екі ортогональ матрицаның матрицалық көбейтіндісі сияқты, қайтадан ортогональ болады. Шын мәнінде, барлық n × n ортогональ матрицалар жиыны топтың барлық аксиомаларын қанағаттандырады. Бұл ортогональ топ деп аталатын және O(n) арқылы белгіленетін, өлшемі компактты Lie тобы. +1 детерминанты бар ортогональ матрицалар O(n) топтың 2-индекстік жолмен жалғасқан нормальды кіші тобын, айналымдардың SO(n) арнайы ортогональ тобын құрайды. O(n)/SO(n) квозиент тобы O(1) тобына изоморфты, проекциялық бейнелеу детерминантқа қарай [+1] немесе [−1] таңдайды. -1 детерминанты бар ортогональ матрицалар бірлік матрицаны қамтымайды, сондықтан олар кіші топты емес, тек косетті құрайды; ол сонымен қатар (жеке) байланысты. Осылайша, әр ортогональ топ екі бөлікке бөлінеді; және проекциялық бейнелеу бөлінетіндіктен, O(n) – SO(n) топтың O(1) топпен жартылай тура көбейтіндісі болып табылады. Практикалық тұрғыдан алғанда, салыстырмалы тұжырым – кез келген ортогональ матрицаны айналым матрицасын алып, оның бағаналарының біреуін теріс мәнге ие ету арқылы алуға болады, біз бұрын 2 × 2 матрицаларында көргендей. Егер n тақ болса, онда жартылай тура көбейтінді шын мәнінде тура көбейтінді болып табылады, ал кез келген ортогональ матрицаны айналым матрицасын алып, мүмкін оның барлық бағаналарын теріс мәнге ие ету арқылы алуға болады. Бұл детерминанттардың қасиетінен туындайды, яғни бағанды теріс мәнге ие ету детерминантты теріс мәнге ие етеді, сондықтан бағандардың тақ (бірақ жұп емес) санын теріс мәнге ие ету детерминантты теріс мәнге ие етеді. Енді (n + 1) × (n + 1) ортогональ матрицаларын қарастырайық, оның оң төменгі жағы 1-ге тең. Соңғы бағанның (және соңғы қатардың) қалған бөлігі нөлдер болуы керек, ал кез келген екі мұндай матрицаның көбейтіндісі бірдей пішінде болады. Матрицаның қалған бөлігі n × n ортогональ матрица; сондықтан O(n) – O(n + 1) (және барлық жоғарырақ топтардың) кіші тобы. Үй иесі матрицасы түріндегі элементарлық айналым кез келген ортогональ матрицаны осы шектеулі пішінге дейін азайта алатындықтан, мұндай айналымдар тізбегі кез келген ортогональ матрицаны бірлік матрицаға жеткізе алады; сондықтан ортогональ топ – айналым тобы. Соңғы баған кез келген бірлік векторға бекітілуі мүмкін, және әрбір таңдау O(n + 1) ішінде O(n) топтың әртүрлі көшірмесін береді; осылайша O(n + 1) – S^(n) бірлік сферасы арқылы талшықты O(n) топпен түйір. Сол сияқты, SO(n) – SO(n + 1) топтың кіші тобы; және кез келген арнайы ортогональ матрицаны ұқсас процедураны қолдана отырып, Гивенс жазықтығының айналуы арқылы жасауға болады. Түйір құрылымы сақталады: SO(n) ↪ SO(n + 1) → S^(n). Бір айналу соңғы бағанның бірінші қатарында нөлді тудырады, ал n - 1 айналулар тізбегі n × n айналу матрицасының соңғы бағанасының соңғы қатарын қоспағанда, барлық нөлге айналады. Жазықтықтар тұрақты болғандықтан, әрбір айналудың тек бір ғана еркіндік дәрежесі бар, ол бұрышы. Индукция бойынша SO(n) сондықтан еркіндік дәрежесіне ие, O(n) да солай. Пермутациялық матрицалар одан да қарапайым; олар Lie тобы емес, тек шекті топты құрайды, n! симметриялық топ Sn. Сол сияқты Sn – Sn+1 топтың кіші тобы. Жұп пермутациялар +1 детерминантты пермутация матрицаларының кіші тобын, реттік кезектесетін топты тудырады.
degrees of freedom, and so does O(n). Permutation matrices are simpler still; they form, not a Lie group, but only a finite group, the order n! symmetric group Sn. By the same kind of argument, Sn is a subgroup of Sn + 1. The even permutations produce the subgroup of permutation matrices of determinant +1, the order alternating group.
Қасиетті түр
Әрі қарай, кез келген ортогональды матрицаның әсері ортогональды екі өлшемді кіші кеңістіктердегі тәуелсіз әрекеттерге жіктеледі. Яғни, егер Q арнайы ортогональды болса, онда әрқашан ортогональды матрица P табуға болады, негіздің (айналмалы) өзгеруі, ол Q матрицасын блок-диагональдық түріне келтіреді:
where the matrices R1, , Rk are 2 × 2 rotation matrices, and with the remaining entries zero. Exceptionally, a rotation block may be diagonal, ±I. Thus, negating one column if necessary, and noting that a 2 × 2 reflection diagonalizes to a +1 and −1, any orthogonal matrix can be brought to the form
The matrices R1, , Rk give conjugate pairs of eigenvalues lying on the unit circle in the complex plane; so this decomposition confirms that all eigenvalues have absolute value 1. If n is odd, there is at least one real eigenvalue, +1 or −1; for a 3 × 3 rotation, the eigenvector associated with +1 is the rotation axis.
мұнда R1, …, Rk матрицалары 2 × 2 айналу матрицалары, ал қалған элементтер нөлге тең. Көбінесе, айналу блогы диагональды болуы мүмкін, ±I. Сондықтан, қажет болған жағдайда бір бағанды теріске айналдырып, және 2 × 2 көрініс +1 және -1 мәндеріне дейін диагональданатынын ескере отырып, кез келген ортогональды матрицаны осы түрге келтіруге болады. R1, …, Rk матрицалары кешенді жазықтықтағы бірлік шеңберінде орналасқан, бірін-біріне жұптасқан өзіндік мәндерді көрсетеді; демек, бұл жіктелу барлық өзіндік мәндердің абсолюттік шамасы 1-ге тең екенін растайды. Егер n тақ сан болса, онда кем дегенде бір нақты өзіндік мән болады, +1 немесе -1; 3 × 3 айналу үшін +1-ге сәйкес келетін өзіндік вектор айналу осін құрайды.
where the matrices R1, , Rk are 2 × 2 rotation matrices, and with the remaining entries zero. Exceptionally, a rotation block may be diagonal, ±I. Thus, negating one column if necessary, and noting that a 2 × 2 reflection diagonalizes to a +1 and −1, any orthogonal matrix can be brought to the form
The matrices R1, , Rk give conjugate pairs of eigenvalues lying on the unit circle in the complex plane; so this decomposition confirms that all eigenvalues have absolute value 1. If n is odd, there is at least one real eigenvalue, +1 or −1; for a 3 × 3 rotation, the eigenvector associated with +1 is the rotation axis.
Артықшылықтары
Сандық талдау сандық сызықтық алгебра үшін ортогональды матрицалардың көптеген қасиеттерін пайдаланады және олар табиғи түрде туындайды. Мысалы, кеңістік үшін ортонрмальды базаны немесе базалардың ортогональды өзгеруін есептеу жиі қажет; екеуі де ортогональды матрицалар түрінде болады. Анықтамасы ±1-ге тең болуы және барлық өзіндік мәндерінің модулі 1-ге тең болуы сандық тұрақтылық үшін өте пайдалы. Мұның бір салдары – шарт саны 1-ге тең (бұл ең төменгі мән), сондықтан ортогональды матрицаға көбейту кезінде қателер ұлғайтылмайды. Көптеген алгоритмдер осы себептен Хаусхолдердің шағылысуы және Гивенс айналымы сияқты ортогональды матрицаларды қолданады. Сонымен қатар, ортогональды матрица тек инверттік емес, оның керісі де индекстерді ауыстыру арқылы дерлік тегін қолжетімді. Пермутациялар, Гаусс жою әдісінің (жартылай таңдаумен) табысты болуы үшін маңызды, онда пермутациялар таңдауды жүзеге асырады. Дегенмен, олар көбінесе матрица ретінде нақты көрсетілмейді; олардың ерекше түрі n индекстер тізімі сияқты тиімді бейнелеуге мүмкіндік береді. Сол сияқты, Хаусхолдер және Гивенс матрицаларын пайдаланатын алгоритмдер көбінесе көбейту және сақтаудың арнайы әдістерін қолданады. Мысалы, Гивенс айналымы көбейтілетін матрицаның тек екі қанатына ғана әсер етеді, бұл n^(3) ретіндегі толық көбейтуді әлдеқайда тиімді n ретіне айналдырады. Бұл шағылысулар мен айналымдарды қолдану матрицаға нөлдерді енгізген кезде, бос қалған орын трансформацияны қайта жасау үшін жеткілікті деректерді сақтауға және оны сенімді түрде жасауға жеткілікті. (Бұрыш сақтау қымбатқа түсетін және жаман әсер ететін болғандықтан, бұрышты сақтамаймыз.)
Кездейсоқ
Кейбір сандық қолданбалар, мысалы Монте-Карло әдістері және жоғары өлшемді деректер кеңістігін зерттеу, біркелкі таратылған кездейсоқ ортогональды матрицаларды жасауды талап етеді. Бұл контексте "біркелкі" түсінігі Haar өлшемімен анықталады, ол негізінен таралудың кез келген таңдалған ортогональды матрицаға көбейтілгенде өзгермеуін қамтамасыз етеді. Тәуелсіз біркелкі таратылған кездейсоқ элементтері бар матрицаларды ортогоналдастыру біркелкі таратылған ортогональды матрицаларға әкелмейді, бірақ тәуелсіз қалыпты таратылған кездейсоқ элементтерінің QR ыдырауы, егер R диагоналі тек оң элементтерді қамтитын болса, осыны қамтамасыз етеді. Бұл идея кейіннен "кіші топ алгоритмі" ретінде жалпыланды (осы формада ол пермутациялар мен айналымдар үшін де жақсы жұмыс істейді). (n + 1) × (n + 1) ортогональды матрицаны жасау үшін n × n матрицасын және n + 1 өлшемді біркелкі таратылған бірлік векторды алыңыз. Осы вектордан Хаусхолдердің бейнелеуін жасап, оны кіші матрицаға қолданыңыз (үлкен өлшемге енгізілген, төменгі оң жақ бұрышта 1 санымен).
Спин және пин
Ортогональды матрицалардың кейбір қолданылуында көзге көрінбейтін техникалық мәселе бар. Детерминанты +1 және −1 болатын топтық компоненттер бір-бірімен байланысты емес, тіпті +1 компоненті, SO(n), жай байланысқа ие емес (SO(1) ерекше жағдай, ол тривиальды). Сондықтан кейде SO(n) үшін, спин тобы Spin(n) жабу тобымен жұмыс істеу тиімді, тіпті қажет. Сол сияқты, O(n) үшін де қоршау топтары, яғни штифт топтары Pin(n) бар. n > 2 болғанда, Spin(n) жай байланысқа ие және осылайша SO(n) үшін әмбебап жапқыш топ болып табылады. Спин тобының ең белгілі мысалы – Spin(3), ол SU(2) немесе бірлік кватерниондар тобынан басқа ештеңе емес. Пин және спин топтары Клиффорд алгебраларының құрамында кездеседі, ал олар өздері ортогональды матрицалардан құрастырылуы мүмкін.
Төртбұрышты матрицалар
Егер Q квадраттық матрица болмаса, онда 1=Q^(T)Q = I және 1=QQ^(T) = I шарттары эквивалентті емес. 1=Q^(T)Q = I шарты Q матрицасының бағаналары ортонормальды екенін көрсетеді. Бұл тек Q n ≤ m (сызықтық тәуелділікке байланысты) өлшемді m × n матрицасы болғанда ғана мүмкін. Сол сияқты, 1=QQ^(T) = I шарты Q матрицасының қатарлары ортонормальды екенін көрсетеді, бұл n ≥ m талап етеді.
Бұл матрицалар үшін стандартты терминология жоқ. Оларды әртүрлі "жартылай ортогональды матрицалар", "ортонормальды матрицалар", "ортогональды матрицалар" және кейде жай ғана "ортонормальды қатарлары/бағаналары бар матрицалар" деп атайды. n ≤ m жағдайында ортонормальды бағаналары бар матрицаларды ортогональды k-фреймдер деп атауға болады және олар Стифель манифольдының элементтері болып табылады.