Введение

Реальная квадратная матрица, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами, а также матрицы с ортогональностью над полем комплексных чисел. В линейной алгебре ортогональная матрица, или ортонормальная матрица, – это реальная квадратная матрица, столбцы и строки которой являются ортонормальными векторами. Один из способов выразить это:

где Qᵀ – транспонированная матрица Q, а I – единичная матрица. Это приводит к эквивалентному определению: матрица Q является ортогональной, если её транспонирование равно её обратной матрице:

где Q⁻¹ – обратная матрица Q. Ортогональная матрица Q обязательно является обратимой (с обратной матрицей 1 = Q⁻¹ = Qᵀ), унитарной (1 = Q⁻¹ = Q*), где 1 = Q* – эрмитово сопряжённая матрица (комплексно сопряжённая транспонированная) Q, и, следовательно, нормальной (1 = Q*Q = QQ*) над действительными числами. Определитель любой ортогональной матрицы равен либо +1, либо −1. Как линейное преобразование, ортогональная матрица сохраняет внутреннее произведение векторов и, следовательно, действует как изометрия евклидова пространства, например, как вращение, отражение или роторефлексия. Иными словами, это унитарное преобразование. Множество n × n ортогональных матриц относительно операции умножения образует группу O(n), известную как ортогональная группа. Подгруппа SO(n), состоящая из ортогональных матриц с определителем +1, называется специальной ортогональной группой, и каждый её элемент является специальной ортогональной матрицей. Как линейное преобразование, каждая специальная ортогональная матрица действует как вращение.

Обзор

Ортогональная матрица — это реальная специализация унитарной матрицы и, следовательно, всегда нормальная матрица. Хотя мы рассматриваем здесь только вещественные матрицы, определение может быть использовано для матриц с элементами из любого поля. Однако ортогональные матрицы естественным образом возникают из скалярных произведений, а для матриц комплексных чисел это приводит к унитарному требованию. Ортогональные матрицы сохраняют скалярное произведение, то есть для векторов 'u' и 'v' в n-мерном вещественном евклидовом пространстве выполняется:

где Q — ортогональная матрица. Чтобы увидеть связь со внутренним произведением, рассмотрим вектор 'v' в n-мерном вещественном евклидовом пространстве. Если он записан относительно ортонормального базиса, то квадрат длины 'v' равен 'vᵀv'. Если линейное преобразование, представленное в матричной форме как Q'v', сохраняет длины векторов, то

Таким образом, конечномерные линейные изометрии — вращения, отражения и их комбинации — порождают ортогональные матрицы. Обратное также верно: ортогональные матрицы подразумевают ортогональные преобразования. Однако линейная алгебра включает в себя ортогональные преобразования между пространствами, которые могут быть бесконечномерными или иметь разные размерности, и для них не существует матричного представления в виде ортогональной матрицы. Ортогональные матрицы важны по ряду теоретических и практических причин. n × n ортогональные матрицы образуют группу относительно умножения матриц, называемую ортогональной группой и обозначаемую O(n), которая вместе со своими подгруппами широко используется в математике и физических науках. Например, точечная группа молекулы является подгруппой O(3). Благодаря выгодным свойствам, которыми обладают ортогональные матрицы в представлении с плавающей точкой, они являются ключевыми для многих алгоритмов численной линейной алгебры, таких как QR-разложение. В качестве другого примера, при соответствующей нормализации дискретное косинусное преобразование (используемое в сжатии MP3) представляется ортогональной матрицей.

Более высокие размеры

Независимо от размерности, всегда можно классифицировать ортогональные матрицы как чисто вращательные или нет, но для матриц 3 × 3 и больше не вращательные матрицы могут быть сложнее, чем отражения. Например,

представляют собой инверсию относительно начала координат и ротоинверсию, соответственно, вокруг оси z. В более высоких размерностях вращения становятся сложнее; их нельзя полностью описать одним углом, и они могут воздействовать на более чем одно плоскостное подпространство. Обычно матрицу вращения 3 × 3 описывают с помощью оси и угла, но это работает только в трех измерениях. В размерностях выше трех требуется два или более углов, каждый из которых связан с плоскостью вращения. Однако у нас есть элементарные строительные блоки для перестановок, отражений и вращений, которые применимы в общем случае.

Свойства матрицы

Реальная квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда её столбцы образуют ортонормальный базис евклидова пространства Rⁿ с обычным евклидовым скалярным произведением, что равносильно тому, что её строки образуют ортонормальный базис Rⁿ. Может возникнуть соблазн назвать ортогональной матрицей матрицу с ортогональными (но не ортонормальными) столбцами, однако такие матрицы не представляют особого интереса и не имеют специального названия; они лишь удовлетворяют условию 1 = MᵀM = D, где D – диагональная матрица. Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или −1. Это следует из основных свойств определителей, а именно:

Обратное утверждение неверно; наличие определителя, равного ±1, не гарантирует ортогональность, даже если столбцы ортогональны, что демонстрирует следующий контрпример. Для матриц перестановок определитель совпадает с сигнатурой, то есть равен +1 или −1 в зависимости от того, является ли перестановка чётной или нечётной, поскольку определитель является знакопеременной функцией строк. Более сильным ограничением, чем требование к определителю, является то, что ортогональную матрицу всегда можно диагонализовать над комплексными числами, чтобы получить полный набор собственных значений, все из которых должны иметь (комплексный) модуль 1.

Собственности группы

Обратная каждой ортогональной матрицы снова ортогональна, как и произведение двух ортогональных матриц. Фактически, множество всех n × n ортогональных матриц удовлетворяет всем аксиомам группы. Это компактная группа Ли размерности , называемая ортогональной группой и обозначаемая O(n). Ортогональные матрицы, детерминант которых равен +1, образуют связную нормальную подгруппу O(n) индекса 2, специальную ортогональную группу SO(n) вращений. Факторгруппа O(n)/SO(n) изоморфна O(1), при этом отображение проекции выбирает [+1] или [−1] в зависимости от детерминанта. Ортогональные матрицы с детерминантом −1 не содержат единичную матрицу и, следовательно, не образуют подгруппу, а лишь класс сопряжённости; она также (отдельно) связна. Таким образом, каждая ортогональная группа распадается на две части; и поскольку проекция расщепляется, O(n) является полупрямым произведением SO(n) на O(1). В практическом плане это означает, что любую ортогональную матрицу можно получить, взяв матрицу вращения и, возможно, изменив знак одного из её столбцов, как мы видели на примере матриц 2 × 2. Если n нечётно, то полупрямое произведение на самом деле является прямым произведением, и любую ортогональную матрицу можно получить, взяв матрицу вращения и, возможно, изменив знак всех её столбцов. Это следует из свойства определителей, согласно которому изменение знака столбца меняет знак определителя, и, следовательно, изменение знака нечётного (но не чётного) числа столбцов меняет знак определителя. Теперь рассмотрим (n + 1) × (n + 1) ортогональные матрицы с элементом в правом нижнем углу, равным 1. Остальные элементы последнего столбца (и последней строки) должны быть равны нулю, а произведение любых двух таких матриц имеет ту же форму. Остальная часть матрицы является n × n ортогональной матрицей; таким образом, O(n) является подгруппой O(n + 1) (и всех высших групп). Поскольку элементарное отражение в виде матрицы Хаусхолдера может привести любую ортогональную матрицу к этой ограниченной форме, последовательность таких отражений может привести любую ортогональную матрицу к единичной; таким образом, ортогональная группа является группой отражений. Последний столбец можно зафиксировать на любом единичном векторе, и каждый выбор даёт другую копию O(n) в O(n + 1); таким образом, O(n + 1) является расслоением над единичной сферой Sⁿ с волокном O(n). Аналогично, SO(n) является подгруппой SO(n + 1); и любую специальную ортогональную матрицу можно сгенерировать с помощью вращений Гивенса на плоскости, используя аналогичную процедуру. Структура расслоения сохраняется: SO(n) ↪ SO(n + 1) → Sⁿ. Одно вращение может создать ноль в первом ряду последнего столбца, а последовательность из n − 1 вращений обнулит все элементы последнего столбца, кроме последнего ряда, в матрице вращения n × n. Поскольку плоскости фиксированы, каждое вращение имеет только одну степень свободы — свой угол. Следовательно, по индукции SO(n) имеет степеней свободы, как и O(n). Матрицы перестановок ещё проще; они образуют не группу Ли, а лишь конечную группу порядка n! — симметрическую группу Sn. По аналогичному аргументу Sn является подгруппой Sn + 1. Чётные перестановки порождают подгруппу матриц перестановок с детерминантом +1, группу переменного порядка.

Каноническая форма

В более широком смысле, эффект любой ортогональной матрицы распадается на независимые действия в ортогональных двухмерных подпространствах. То есть, если Q является специальной ортогональной матрицей, то всегда можно найти ортогональную матрицу P, представляющую собой (вращательное) изменение базиса, которая приведёт Q к блочно-диагональной форме:

где матрицы R1, …, Rk являются матрицами вращения 2 × 2, а остальные элементы – нули. В исключительных случаях блок вращения может быть диагональным, ±I. Таким образом, при необходимости изменив знак одной из колонок, и учитывая, что отражение 2 × 2 диагонализуется к значениям +1 и −1, любую ортогональную матрицу можно привести к форме

Матрицы R1, …, Rk дают комплексно сопряжённые пары собственных значений, лежащих на единичной окружности в комплексной плоскости; таким образом, это разложение подтверждает, что все собственные значения имеют абсолютное значение 1. Если n – нечётное число, то существует по крайней мере одно вещественное собственное значение, +1 или −1; для вращения 3 × 3 собственный вектор, соответствующий значению +1, является осью вращения.

Преимущества

Численный анализ использует многие свойства ортогональных матриц в численной линейной алгебре, и они возникают естественным образом. Например, часто желательно вычислить ортонормальный базис для пространства или выполнить ортогональное преобразование базиса; оба этих действия представляются в виде ортогональных матриц. Наличие определителя, равного ±1, и всех собственных значений с модулем 1 существенно для численной устойчивости. Одно из следствий заключается в том, что число обусловленности равно 1 (что является минимально возможным), поэтому ошибки не усиливаются при умножении на ортогональную матрицу. По этой причине многие алгоритмы используют ортогональные матрицы, такие как отражения Хаусхолдера и вращения Гивенса. Также полезно, что ортогональная матрица не только обратима, но и её обратная может быть вычислена практически без затрат, посредством перестановки индексов. Перестановки необходимы для успешной работы многих алгоритмов, включая основной метод исключения Гаусса с частичным выбором главного элемента (где перестановки обеспечивают выбор). Однако они редко представляются явно в виде матриц; их особая структура позволяет более эффективное представление, например, в виде списка из n индексов. Аналогично, алгоритмы, использующие матрицы Хаусхолдера и Гивенса, обычно применяют специализированные методы умножения и хранения. Например, вращение Гивенса затрагивает только две строки умножаемой матрицы, что снижает вычислительную сложность полного умножения с n³ до значительно более эффективной сложности n. Когда использование этих отражений и вращений вводит нули в матрицу, освободившееся пространство достаточно для хранения необходимых данных для восстановления преобразования и обеспечения его надёжности. (В соответствии с , мы не храним угол вращения, поскольку это и дорого, и приводит к нежелательному поведению.)

Рандомизация

Некоторые численные приложения, такие как методы Монте-Карло и исследование пространств данных высокой размерности, требуют генерации равномерно распределенных случайных ортогональных матриц. В этом контексте "равномерность" определяется с точки зрения меры Гаара, которая, по сути, требует, чтобы распределение не изменялось при умножении на любую произвольно выбранную ортогональную матрицу. Ортогонализация матриц с независимыми равномерно распределенными случайными элементами не приводит к равномерно распределенным ортогональным матрицам, но QR-разложение матриц с независимыми нормально распределенными случайными элементами приводит к такому результату, при условии, что диагональ матрицы R содержит только положительные элементы. Это было заменено более эффективным методом, который впоследствии был обобщен как "алгоритм подгрупп" (в этой форме он также хорошо работает для перестановок и вращений). Для генерации ортогональной матрицы размера (n + 1) × (n + 1) возьмите ортогональную матрицу размера n × n и единичный вектор размерности n + 1, равномерно распределенный на сфере. Постройте отражение Хаусхолдера на основе этого вектора, а затем примените его к матрице меньшего размера (встроенной в матрицу большего размера с единицей в правом нижнем углу).

Спин и пин

Небольшая техническая проблема возникает при некоторых применениях ортогональных матриц. Не только компоненты группы с определителями +1 и −1 не связаны друг с другом, но даже компонент +1, SO(n), не является просто связным (за исключением SO(1), который тривиален). Поэтому иногда бывает полезно или даже необходимо работать с накрывающей группой SO(n) – спиновой группой Spin(n). Аналогично, O(n) также имеет накрывающие группы – группы Pin, Pin(n). Для n > 2, Spin(n) является просто связным и, следовательно, универсальной накрывающей группой для SO(n). Наиболее известным примером спиновой группы является Spin(3), который является ни чем иным, как SU(2), или группой унитарных кватернионов. Группы Pin и Spin можно найти в алгебрах Клиффорда, которые сами могут быть построены из ортогональных матриц.

Матрицы прямоугольные

Если Q не является квадратной матрицей, то условия 1=Q^(T)Q = I и 1=QQ^(T) = I не эквивалентны. Условие 1=Q^(T)Q = I означает, что столбцы Q ортонормальны. Это возможно только если Q – матрица m × n с n ≤ m (в силу линейной зависимости). Аналогично, условие 1=QQ^(T) = I означает, что строки Q ортонормальны, что требует n ≥ m.

Для таких матриц не существует стандартной терминологии. Их называют "полуортогональными матрицами", "ортонормальными матрицами", "ортогональными матрицами", а иногда просто "матрицами с ортонормальными строками или столбцами". В случае n ≤ m матрицы с ортонормальными столбцами могут называться ортогональными k-кадрами и являются элементами многообразия Стифеля.