Кіріспе

Су бетіндегі толқындардың дисперсиясы

Сұйықтық динамикасында су толқындарының дисперсиясы көбінесе жиілік дисперсиясын білдіреді, яғни әртүрлі толқын ұзындығына ие толқындар әртүрлі фазалық жылдамдықпен қозғалады. Осы контексте су толқындары – су бетінде таралатын толқындар, олардың қалпына келтіру күштері гравитация және беттік кернеу болып табылады. Осының салдарынан, бос беті бар су дисперсиялық орта ретінде қарастырылады. Белгілі бір су тереңдігінде, жер бетіндегі гравитациялық толқындар – яғни ауа-су интерфейсінде пайда болатын және оны тегіс күйге қайтару үшін гравитация ғана күш ретінде әрекет ететін толқындар – толқын ұзындығы ұлғайған сайын жылдам таралады. Ал, берілген (тұрақты) толқын ұзындығы үшін, терең судағы гравитациялық толқындардың фазалық жылдамдығы, шалшық судағыдан жоғары болады. Гравитациялық толқындардың мінез-құлқынан өзгеше, капиллярлық толқындар (яғни беттік кернеу күшімен ғана туындайтын) қысқа толқын ұзындығында жылдам қозғалады. Жиілік дисперсиясынан өзге, су толқындары амплитудалық дисперсияны да көрсетеді. Бұл – сызықтық емес құбылыс, оған сәйкес үлкен амплитудалы толқындардың фазалық жылдамдығы кішкентай амплитудалы толқындардан өзгеше болады.

Жер бетіндегі ауырлық толқындары үшін жиілік дисперсиясы

Бұл бөлім гравитация күшімен қозғалатын сұйық қабаттағы толқындардың жиілік дисперсиясын, сызықтық теория бойынша қарастырады. Беттік кернеудің жиілік дисперсиясына тигізетін әсері туралы мәліметтер үшін Airy толқыны теориясы мен капиллярлық толқындар бөлімін қараңыз.

Дисперсиялық қатынас

Төмендегі кестеде бұрыштық жиілік ω = 2π / T және толқын саны k = 2π / λ арасындағы дисперсиялық қатынас ω² = [Ω(k)]² көрсетілген, сондай-ақ фазалық және топтық жылдамдықтар келтірілген. Көп жағдайда, әсіресе жағалау маңында, топтық жылдамдық фазалық жылдамдыққа тең болады.

Тарих

Толық сызықтық дисперсиялық қатынасты алғаш Пиер Симон Лаплас тапты, бірақ оның сызықтық толқын мәселесін шешуінде қателіктер болды. Сызықтық су толқындарының, дисперсияны қоса алғанда, толық теориясын Джордж Биделл Эйри жасады және шамамен 1840 жылы жариялады. Филип Келланд та осыған ұқсас теңдеуді сол шамамен уақытта тапты (бірақ толқын теориясын туындытуда қателіктер жіберді). Шағын тереңдіктегі судың (h / λ шағын) лимиті, ω2 = gh k2, Жозеф Луи Лагранж жасаған.

Жайық су

Амплитудалық дисперсия әсерлері, мысалы, жалғыз толқында байқалады: көлденең төсекпен жай суда тұрақты жылдамдықпен саяхаттайтын бір ғана су дөңгелегі. Жалғыздық толқындар солитонға ұқсас, бірақ толыққанды емес екенін ескеріңіз – екі (қақтылысатын немесе озуға тырысатын) жалғыздық толқындардың өзара әрекеттесуінен кейін олардың амплитудасы сәл өзгереді және тербелістік қалдық қалады. Кортевег-де Вриес теңдеуінің бір солитондық шешімі, толқын биіктігі H толқын шыңынан алыс су тереңдігі h болғанда, мына жылдамдықпен саяхаттайды: Демек, бұл сызықтық емес гравитациялық толқын үшін толқын шыңының астындағы судың жалпы тереңдігі жылдамдықты анықтайды, биік толқындар төмен толқындардан жылдам саяхаттайды. Жалғыз толқын шешімдері тек H-тың оң мәндері үшін ғана бар екенін еске сала кетейік, шұңқыма толқындар жоқ.

Орташа токтағы толқындар: Допплер ауытқуы

Орташа ағыстағы су толқындары (яғни, қозғалатын ортадағы толқын) Допплер эффектісін бастан кешіреді. Егер қозғалмайтын орта үшін дисперсиялық қатынас:

болса, онда орташа жылдамдық векторы V болатын орта үшін Допплер эффектісін ескере отырып, дисперсиялық қатынас былай болады:

мұнда k – толқын саны векторы, ол k-мен байланысты: k = |k|. К•V векторлық көбейтіндісі: k•V = kV cos α, мұнда V – орташа жылдамдық векторының модулі: V = |V|. Ал α – толқын таралу бағыты мен орташа ағын бағыты арасындағы бұрыш. Егер толқындар мен ағыс бір бағытта болса, онда k•V = kV.